22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

28 第2课时 二次函数y=ax2 的图象和性质 ▶ “答案与解析”见P10 1. 若二次函数y=-ax2的图象经过点(-3, 2),则该图象必经过点 ( ) A. (3,-2) B. (2,3) C. (2,-3) D. (3,2) 2. (2024·广东)若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都 在二次函数y=x2 的图象上,则y1,y2,y3 的大小关系正确的是 ( ) A. y3>y2>y1 B. y2>y1>y3 C. y1>y3>y2 D. y3>y1>y2 3. 当ab<0时,y=ax+b与y=ax2的图象大 致是 ( ) A. B. C. D. 4. 已知二次函数y=(m-1)xm 2-2的图象开口 向下,则m 的值是 . 5. 已知y=(k+2)xk 2+k-4 是二次函数,且当 x<0时,y随x的增大而增大. (1) k的值为 ,对称轴为 . (2) 若点A 的坐标为(1,m),则该函数图象上 点A关于对称轴对称的点的坐标为 . (3) 请在如图所示的平面直角坐标系中画出 该函数图象.根据图象可知,当-2≤x<1 时,y的取值范围是 . (第5题) 6. 已知抛物线y=ax2(a>0)过A(2,y1), B(-1,y2)两点,则下列结论中,一定正确 的是 ( ) A. y1>0>y2 B. y2>0>y1 C. y1>y2>0 D. y2>y1>0 7. 如图,正方形四个顶点的坐标依次为 (1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线 y=ax2与该正方形有公共点,则实数 a的取值范围是 ( ) A. 1 9≤a≤3 B. 1 9≤a≤1 C. 1 3≤a≤3 D. 1 3≤a≤1 (第7题) (第9题) 8. 若点(m,n)在抛物线y=ax2(a> 0)上,其中m>0,则关于x 的不等 式a(x-2)2>n的解集为 ( ) A. x<-m+2或x>m+2 B. -m+2<x<m+2 C. x<-m-2或x>m-2 D. -m-2<x<m-2 9. 如图,在平面直角坐标系中,作出① y=2x2, ② y=x2,③ y= 1 2x 2的图象,则从里到外的 三条抛物线对应的函数为 ( ) A. ①②③B. ①③②C. ②③①D. ③②① 10. 已知抛物线y=-x2,则有下列说法:① 抛 物线开口向下,顶点是原点;② 当x>10 时,y随x 的增大而减小;③ 当-1<x<2 时,-4<y<-1;④ 若(m,p),(n,p)是该 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 29 抛物线上两个不同的点,则m+n=0.其中, 正确的有 (填序号). 11. 如图,直线l过A(3,0)和B(0,3)两点,它 与二次函数y=ax2 的图象在第一象限内 交于点P.若△AOP 的面积为3,求该二次 函数的解析式. (第11题) 12. 如图,点A,B 在函数y= 1 4x 2的图象上.已 知点A,B 的横坐标分别为-2,4,直线AB 与y轴交于点C,连接OA,OB. (1) 求直线AB 对应的函数解析式. (2) 求△AOB 的面积. (3) 若函数y= 1 4x 2的图象上存在点P,使 △PAB 的面积等于△AOB 的面积的一半, 则这样的点P 共有 个. (第12题) 13. 分类讨论思想 已 知 函 数 y = x2(x≤0), x(x>0). 若a≤x≤b,m≤y≤ n,则下列说法中,正确的是 ( ) A. 当n-m=1时,b-a有最小值 B. 当n-m=1时,b-a无最大值 C. 当b-a=1时,n-m 有最小值 D. 当b-a=1时,n-m 有最大值 14. 在平面直角坐标系中,直线l:y= a(x+2)(a>0)与x 轴交于点A, 与抛物线y=ax2 交于B,C 两点 (点B 在点C 的左边). (1) 求点A 的坐标. (2) 如图,点B 关于x轴的对称点为B'.当 以A,B',C 为顶点的三角形是直角三角形 时,求实数a的值. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数 售价定为每个(79-m)元,每个的销 售利润为(79-m-59)元,平均每天 可售出(8+2m)个. 根据题意,得(79-m-59)(8+ 2m)=288. 整理,得 m2-16m+64=0,解得 m1=m2=8. ∴ 79-m=79-8=71. ∴ 当销售价定为每个71元时,能使 “贝壳画”平均每天的销售利润为 288元. 第二十二章　二次函数 22.1　二次函数的图象 和性质 第1课时 二次函数 1. D 2. C 3. B 4. 2 5. y= -2πx2+36πx 6. (1) 由题意,得k2-3k+4=2,解 得k1=1,k2=2. ∵ k-1≠0,即k≠1, ∴ k=2. (2) 把k=2代入y=(k-1)· xk 2-3k+4+2x-1,得y=x2+2x-1. 当x=0.5时,y=0.52+2×0.5- 1=14. 不考虑自变量的系数致错 由k2-3k+4=2解得的k的 值中,应去掉使k-1=0的值. 7. B 8. C 解析:根据题意,可得PB=t. ∴ PA=AB-PB=5-t.∴ S= πPB2=πt2,属于二次函数关系,y= 4PA=4(5-t)=-4t+20,属于一次 函数关系. 9. S=-3x2+24x 143≤x<6 解析:由题意,得S=(21-3x+3)· x= -3x2 +24x.由 题 意,可 得 x>1, 21-3x+3>2, 21-3x+3≤10, x<21-3x+3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得14 3 ≤x<6. ∴ S 与x 之 间 的 函 数 解 析 式 为 S=-3x2+24x,自变量x 的取值范 围是14 3≤x<6. 10. 如图,∵ 四边形ABCD 是边长为 2的正方形, ∴ ∠A=∠B=90°. ∴ ∠1+∠2=90°. ∵ 四边形EFGH 为正方形, ∴ ∠HEF=90°,EH=FE. ∴ ∠1+∠3=90°. ∴ ∠2=∠3. 在△AHE 和△BEF 中, ∠A=∠B, ∠2=∠3, EH=FE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AHE≌△BEF. ∴ AE=BF=x,AH=BE=2-x. 在 Rt△AHE 中,由 勾 股 定 理,得 EH2=AE2+AH2=x2+(2-x)2= 2x2-4x+4. ∴ y=2x2-4x+4(0<x<2). (第10题) 11. (1) ∵ △ABC 是等腰直角三 角形, ∴ 易得重叠部分也是等腰直角三角 形,即△AMH 是等腰直角三角形. 由题意,得AN=2tcm. ∴ AM=MN-AN=(20-2t)cm. ∴ MH=AM=(20-2t)cm. ∴ y= 1 2 (20-2t)2=2t2-40t+ 200,自变量t 的 取 值 范 围 是0≤ t≤10. (2) ∵ 当t=1时,y=2×12-40× 1+200=162, ∴ 重叠部分的面积为162cm2. (3) 当y=72时, 1 2 (20-2t)2=72, 解得t=4或t=16(不合题意,舍去). ∴ t=4. 12. C 解析:过点D 作DE⊥AC 于 点E.设BC=a,则AC=4a.∵ DE⊥ AC,∴ ∠DEA=90°.又∵ ∠BAD= 90°,∴ 易 得 ∠BAC= ∠ADE.又 ∵ ∠ACB=∠DEA=90°,AB=DA, ∴ △ABC≌△DAE.∴ BC=AE= a,AC=DE=4a.∴ EC=AC- AE=4a-a=3a.在Rt△DEC 中, DC= EC2+DE2=5a,∴ x=5a, 即a=15x.∴ y= 1 2×a×4a+ 1 2× 4a×4a=10a2=25x 2,即y 与x 之 间的函数解析式为y= 2 5x 2. 13. (1) S=-t2+10t+100. (2) 由勾股定理,可得EF2=BE2+ BF2=t2+(2t)2=5t2(cm2),DF2= CD2+CF2=102+(20-2t)2= (4t2-80t+500)cm2,DE2=AE2+ AD2=(10-t)2+202=(t2-20t+ 500)cm2. ① 当 DE=DF 时,DE2=DF2,即 t2-20t+500=4t2-80t+500,解得 t1=0,t2=20,都不合题意,舍去. ② 当 DE=EF 时,DE2=EF2,即 t2-20t+500=5t2,解 得 t3 = -5-5 21 2 (不合题意,舍去),t4= -5+5 21 2 . ③ 当EF=DF 时,EF2=DF2,即 5t2=4t2 -80t+500,解 得t5 = 10 21-40,t6=-10 21-40(不合 题意,舍去). 综上所述,当△DEF 为等腰三角形 时,t=-5+5 212 或10 21-40. 第2课时 二次函数y=ax2 的 图象和性质 1. D 2. A 3. D 4. -2 5. (1) -3;y轴. (2) (-1,-1). (3) 图象如图所示. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 -4≤y≤0. (第5题) 6. C 7. A 8. A 解析:∵ 点(m,n)在抛物线 y=ax2(a>0)上,∴ n=am2.∴ a· (x-2)2>am2.∵ a>0,∴ (x- 2)2>m2.又∵ m>0,∴ x<-m+2 或x>m+2. 9. A 10. ①②④ 11. 设直线l对应的函数解析式为 y=kx+b. 把 A (3,0),B (0,3)代 入,得 3k+b=0, b=3, 解得 k=-1 , b=3. ∴ 直线l对应的函数解析式为y= -x+3. 设P(t,-t+3)(0<t<3). ∵ △AOP 的面积为3, ∴ 1 2×3 (-t+3)=3,解得t=1. ∴ 点P 的坐标为(1,2). 把P(1,2)代入y=ax2,得a=2. ∴ 二次函数的解析式为y=2x2. 12. (1) ∵ 点A,B 在函数y= 1 4x 2 的图象上,点A,B 的横坐标分别为 -2,4, ∴ 易得A(-2,1),B(4,4). 设直线AB 对应的函数解析式为y= kx+b. ∴ -2k+b=1, 4k+b=4, 解得 k= 1 2 , b=2. ∴ 直线AB 对应的函数解析式为y= 1 2x+2. (2) 在y= 1 2x+2 中,令x=0,则 y=2, ∴ 点C的坐标为(0,2). ∴ OC=2. ∴ S△AOB=S△AOC+S△BOC= 1 2×2× 2+12×2×4=6. (3) 4. 13. C 解析:如图.由图可知,当x≤ 0时,y 随x 的增大而减小;当x>0 时,y随x的增大而增大.当a≤b≤0 时,m=b2,n=a2,此时当n-m=1 时,a2-b2=1.∴ (a-b)(a+b)=1. ∴ b-a=- 1a+b. 当a+b的值越小 时,b-a越小,无限接近0,但不等于 0,即b-a 没有最小值.当0<a≤b 时,m=a,n=b,此时当n-m=1时, b-a=1.当a<0<b时,m=0,此时 当n-m=1时,n=1.当a=-1,b= 1时,b-a的值最大,为1-(-1)= 2.综上所述,当n-m=1时,b-a有 最大值,无最小值.∴ 选项 A,B错 误.当a≤b≤0时,m=b2,n=a2,此 时当b-a=1时,n-m=a2-b2= (a+b)(a-b)=-(a+b).∴ 当a+ b的值越小时,n-m 的值越大,即 n-m 没有最大值.当0<a≤b时, m=a,n=b,此时当b-a=1时,n- m=b-a=1.当a<0<b时,m=0,此 时当b-a=1时,x=a和x=b的函 数值相同时,n-m 的值最小.综上所 述,当b-a=1时,n-m 有最小值,无 最大值.∴ 选项C正确,选项D错误. (第13题) 14. (1) 令y=a(x+2)=0,得x=-2. ∴ 点A 的坐标为(-2,0). (2) 联立 y=a(x+2), y=ax2, ∴ x2-x-2=0. ∴ x=-1或x=2. ∵ 点B 在点C的左边, ∴ B(-1,a),C(2,4a). ∵ 点B 关于x轴的对称点为B', ∴ B'(-1,-a). ∴ AB'2=(-2+1)2+(0+a)2= a2+1,AC2=(2+2)2+(4a-0)2= 16a2+16,B'C2=(2+1)2+(4a+ a)2=25a2+9. 若∠CAB'=90°,则AB'2+AC2=B'C2, 即a2+1+16a2+16=25a2+9. ∴ a=1. 若∠AB'C=90°,则AB'2+B'C2= AC2,即a2+1+25a2+9=16a2+16, ∴ a= 155 . 若∠ACB'=90°,则 AC2+B'C2= AB'2,即16a2+16+25a2+9=a2+ 1,此方程无解. 综上所述,a=1或a= 155 . 第3课时 二次函数y=a(x- h)2+k的图象和性质 1. D 2. C 3. D 4. (1,2) 5. m≥-1 6. (1) ∵ y=a(x-4)2+8, ∴ 顶点C的坐标为(4,8). ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ CD∥AB,CD=AB=4. ∴ 易得A(2,0),B(6,0). ∴ a×(2-4)2+8=0,解得a=-2. (2) ∵ y=-2(x-4)2+8, ∴ 设平移后抛物线对应的函数解析 式为y=-2(x-4)2+8+k. 易知D(0,8). 把D(0,8)代入,得8=-32+8+k, 解得k=32. ∴ 平移后抛物线对应的函数解析式 为y=-2(x-4)2+40,即 y= -2x2+16x+8. 7. C 8. B 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11