第二十一章 专题特训二 一元二次方程的实际应用-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

20 专题特训二　一元二次方程的实际应用 ▶ “答案与解析”见P8 类型一 传播问题 1. 某种病毒具有人传人的特性,若一人携带病 毒,且未进行有效隔离,则经过两轮传染后, 共有169人成为该病毒的携带者. (1) 每轮传染中平均每人传染了多少人? (2) 若不控制传染渠道,则按照这样的传染 速度,第三轮传染后,共有多少人成为该病毒 的携带者? 类型二 数字问题 2. 一个两位数,十位上的数字与个位上的数字 之和为5,把这个两位数的十位上的数字与 个位上的数字对调后,所得的新的两位数与 原来的两位数的积是736,求原来的两位数. 类型三 平均变化率问题 3. 某商场2024年2月的营业额为400万元, 3月的营业额比2月增加10%,5月的营业额 达到633.6万元,求3月到5月营业额的月 平均增长率. 4. 现代互联网技术的广泛应用,促使快递行业 高速发展.据调查,某家小型快递公司2024年 一月份与三月份完成投递的快递总件数分别 为10万和12.1万,现假定该公司每月投递 的快递总件数的增长率相同. (1) 求该公司投递快递总件数的月增长率. (2) 如果平均每人每月最多可投递快递0.6万 件,那么该公司现有的21名快递投递业务员 能否完成今年四月份的快递投递任务? 如果 不能,那么至少需要增加几名业务员? 类型四 面积问题 5. 如图,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm, 在它的四个角各切去一个同样的小正方形, 然后将四周突出的部分折起,制作成一个无 盖方盒.如果制作的无盖方盒的底面积为 3600cm2,那么铁皮各角应该切去的小正方 形的边长是多少? (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 21 6. 如图①所示为一张长20cm、宽13cm的矩形 纸板,将纸板四个角各剪去一个边长为xcm 的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成 一个如图②所示的无盖纸盒. (1) 这个无盖纸盒的长为 cm,宽为 cm(用含x的代数式表示). (2) 若要制成一个底面积是144cm2的无盖 长方体纸盒,求x的值. (第6题) 类型五 销售问题 7. 某青年旅社有60间客房供游客居住,在旅游 旺季,当客房的定价为每天200元时,所有客 房都可以住满.客房定价每提高10元,就会 有1间客房空闲,对有游客入住的客房,旅社 还需要对每间客房支出20元/天的维护费 用,设每间客房的定价提高了x元. (1) 填表(不需要化简): 提价前 提价后 入住的客房数量/间 60 每间客房的价格/(元/天) 200 总维护费用/元 60×20 (2) 若该青年旅社希望每天纯收入为14000元 且能吸引更多的游客,则每间客房的定价为 多少元(纯收入=总收入-维护费用)? 类型六 动态几何问题 8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°, AC=10cm,BC=6cm,现有两个动 点P,Q 分别从点A 和点B 同时出 发,其中点P 以2cm/s的速度,沿AB 向终 点B 移动;点Q 以1cm/s的速度,沿BC 向 终点C 移动,其中一点到达终点时,另一点 也随之停止.连接PQ.设移动时间为xs. (1) 用含x的代数式表示BQ,PB 的长度. (2) 当x为何值时,△PBQ 为等腰三角形? (3) 是否存在x的值,使得四边形APQC 的 面积为20cm2? 若存在,请求出此时x 的 值;若不存在,请说明理由. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 2y-(3y-22)=(22-y)cm,则 1 2QP ·CB=12 (22-y)×6=12,解 得y=18(不合题意,舍去). 综上所述,经过4s或6s,△PBQ 的 面积为12cm2. 专题特训二　一元二次 方程的实际应用 1. (1) 设每轮传染中平均每人传染 了x人. 依题意,得1+x+x(1+x)=169,即 (1+x)2=169,解得x1=12,x2= -14(不合题意,舍去). ∴ 每轮传染中平均每人传染了12人. (2) 169×(1+12)=2197(人), ∴ 按照这样的传染速度,第三轮传染 后,共有2197人成为该病毒的携带者. 2. 设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为5-x. 根据题意,得(10x+5-x)[10(5- x)+x]=736. 整理,得x2-5x+6=0,解得x1=2, x2=3. 当x=2时,5-x=3;当x=3时,5- x=2. ∴ 原来的两位数为23或32. 3. 设3月到5月营业额的月平均增 长率为x. 由题意,得400(1+10%)(1+x)2= 633.6. ∴ (1+x)2=1.44,解得x1=0.2= 20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). ∴ 3月到5月营业额的月平均增长率 为20%. 4. (1) 设该公司投递快递总件数的 月增长率为x. 根据题意,得10×(1+x)2=12.1,解 得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合 题意,舍去). ∴ 该公司投递快递总件数的月增长 率为10%. (2) 不能. 12.1×(1+10%)=13.31(万件), 21×0.6=12.6(万件). ∵ 12.6<13.31, ∴ 该公司现有的21名快递投递业务员 不能完成今年四月份的快递投递任务. 设增加m 名业务员. 根据题意,得(21+m)×0.6≥13.31, 解得m≥7160. ∴ 至少需要增加2名业务员. 5. 设小正方形的边长为xcm,则方 盒底面的长为(100-2x)cm,宽为 (50-2x)cm. 根据题意,得(100-2x)(50-2x)= 3600, 整理,得x2-75x+350=0,解得 x1=5,x2=70, ∵ 当x=70时,100-2x<0,50- 2x<0,不合题意,舍去, ∴ x=5. ∴ 铁皮各角应该切去的小正方形的 边长是5cm. 6. (1) (20-2x);(13-2x). (2) 依 题 意,得 (20-2x)(13- 2x)=144. 整理,得2x2-33x+58=0,解得 x1=2,x2=14.5(不合题意,舍去). ∴ x的值为2. 7. (1) 60-x10 ;200+x;60-x10 ×20. (2) 依题意,得(200+x)60-x10 - 60-x10 ×20=14000. 整理,得x2-420x+32000=0,解得 x1=320,x2=100. 当x=320时,有游客入住的客房数 量是60-32010=28 (间). 当x=100时,有游客入住的客房数 量是60-10010=50 (间). ∴ 当x=100时,能吸引更多的游客, 每间客房的定价为200+100=300(元). 8. (1) ∵ ∠B=90°,AC=10cm, BC=6cm, ∴ AB=8cm. ∴ BQ=xcm,PB=(8-2x)cm. (2) 由题意,得8-2x=x, ∴ x=83. ∴ 当x=83 时,△PBQ 为等腰三 角形. (3) 假设存在x 的值,使得四边形 APQC的面积为20cm2, 则1 2×6×8- 1 2x (8-2x)=20,解 得x1=x2=2. ∴ 当x=2时,四边形APQC 的面积 为20cm2. 第二十一章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 C [变式] ∵ m 为方程x2+3x- 2024=0的根, ∴ m2+3m-2024=0. ∴ m2+3m=2024. ∴ 原式=m3+3m2-m2-3m- 2024m+2024=m(m2+3m)- (m2 +3m)-2024m +2024= 2024m-2024-2024m+2024=0. 典例2 (1) x1=1,x2=- 5 3. (2) x1= 23 3 -1 ,x2=- 23 3 -1. (3) x1= 1+ 19 3 ,x2= 1- 19 3 . (4) x1=3,x2= 3 5. [变式] (1) y1= 3 2 ,y2=-1. (2) x1= 3+ 17 2 ,x2= 3- 17 2 . (3) x1= 1 2 ,x2=-2. (4) x1=-1,x2=3. 典例3 (1) 当k=0时,方程为x- 2=0,方程有实数根. 当k≠0时,方程为一元二次方程, Δ=[-(3k-1)]2-8k(k-1)=k2+ 2k+1=(k+1)2. ∵ (k+1)2≥0, ∴ 一元二次方程有实数根. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8