21.3 实际问题与一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

∴ (a+b)2-2ab=40,即k2-2(k+ 4)=40,解得k=8或k=-6(不合题 意,舍去). ∴ k=8. (2) 当k=8时,x2-8x+12=0,解得 x1=2,x2=6. ∵ a>b, ∴ a=6,b=2. ∵ 易知∠APB=90°, ∴ AP2+BP2=AB2. 设DP=m. ∴ 4+m2+4+(6-m)2=36,解得 m1=3+5,m2=3-5. ∴ DP=3±5. ∴ 当点P 与点D 相距3+ 5或3- 5时,△APB 为直角三角形. (3) 同(2),可列方程为b2+m2+ (a-m)2+b2=a2,即 m2-am+ b2=0. 当Δ=(-a)2-4b2=0时,点P 有且 只有一个,此时a2=4b2. ∵ a>b>0, ∴ a=2b. ∴ 当a=2b时,使△APB 为直角三 角形的点P 有且只有一个. 21.3　实际问题 与一元二次方程 第1课时 传播与握手等问题 1. B 2. D 3. C 4. 51 5. 12 6. (1) 设每轮传染中平均1人传染了 x人. 根据题意,得1+x+x(x+1)=81, 整理,得x2+2x-80=0,解得x1= 8,x2=-10(不合题意,舍去). ∴ 每轮传染中平均1人传染了8人. (2) 81+81×8=729(人). ∴ 经过三轮传染后共有729人会患 流感. 7. D 8. 13 9. 5 10. 12 11. 设周瑜去世时的年龄的个位上的 数字为x,则十位上的数字为x-3. 依题意,得10(x-3)+x=x2,解得 x1=5,x2=6. 当x=5时,25<30,不合题意,舍去; 当x=6时,36>30,符合题意. ∴ 周瑜去世时的年龄为36岁. 12. (1) n+8. (2) 设这个最小的数为n,则最大的 数为n+8. 根据题意,得n(n+8)=153. 整理,得n2+8n-153=0,解得n1= 9,n2=-17(不合题意,舍去). ∴ 这个最小的数为9. 13. (1) 15;n (n-1) 2 . (2) ① 28. ② 11. (3) ① 10. ② (m+2)(m+1) 2 . (4) 30. (5) 题图中AD 上有6个点,可得AD 上有6×5 2 =15 (条)线段; AB上有5个点,可得AB 上有5×42 = 10(条)线段. ∵ AD 上任意一条线段与AB 上任意 一条线段“握手”,都会构成一个矩形, ∴ 题图中共有15×10=150(个)矩形. AD 上的线段与AB 上的线段“握手” 时,要构成正方形,就要求“握手”的两 条线段必须相等.列表如下: 线段 长度 AD 上的 条数 AB上的 条数 “握手” 次数 1 5 4 5×4=20 2 4 3 4×3=12 3 3 2 3×2=6 4 2 1 2×1=2 由表可得,共“握手”20+12+6+2= 40(次),即题图中共有40个正方形. ∴ 共有150个矩形、40个正方形. 第2课时 平均增长率 与市场营销问题 1. B 增长率(或降低率)问题的规律 设某数为a,平均增长率(或降 低率)为x,则一次增长或降低后的 值为a(1±x),两次增长或降低后 的值为a(1±x)2,以此类推,n 次 增长或降低后的值为a(1±x)n. 2. A 3. D 4. 20% 5. (1) 设该公司投递快件总数的月 增长率为x. 根据题意,得5(1+x)2=6.05,解得 x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题 意,舍去). ∴ 该公司投递快件总数的月增长率 为10%. (2) ∵ 六月份快件总数为6.05× (1+10%)=6.655(万件),16名快 件投递员每月投递快件0.4×16= 6.4(万件), 又∵ 6.4<6.655, ∴ 该公司现有的16名快件投递员不 能完成当年六月份的快件投递任务. 6. C 7. 600+600(1+x)+600(1+ x)2=2850 8. (1) 设十、十一这两个月的平均增 长率为x. 根据题意,得256(1+x)2=400,解得 x1= 1 4=25% ,x2=- 9 4 (不合题意, 舍去). ∴ 十、十一这两个月的平均增长率 为25%. (2) 设当每袋降价m 元时,该网店十 二月份获利4250元. 根据题意,得(40-25-m)(400+ 5m)=4250,解得m1=5,m2=-70 (不合题意,舍去). ∴ 当每袋降价5元时,该网店十二月 份获利4250元. 9. (1) 设y 与x 之间的函数解析式 为y=kx+b(k≠0). 由题意,得 45k+b=55, 55k+b=45, 解得 k=-1 , b=100. ∴ y 与x 之间的函数解析式为y= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 -x+100. (2) 不能. 理由:由题意,令x(-x+100)= 2600. 整理,得x2-100x+2600=0. ∵ Δ=(-100)2-4×1×2600= -400<0, ∴ 该方程无解. ∴ 该 商 品 的 日 销 售 额 不 能 达 到 2600元. 10. (1) 设三、四月份平均每月下调的 百分率为x. 由题意,得7500(1-x)2=6075,解 得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题 意,舍去). ∴ 三、四月份平均每月下调的百分率 是10%. (2) 方案①:6075×100×0.98= 595350(元),方案②:6075×100- 100×1.5×24=603900(元), ∵ 595350<603900, ∴ 选择方案①更优惠. (3) 不会跌破4800元/米2. 理由:∵ 由(1)知,平均每月下调的百 分率是10%, ∴ 6075×(1-10%)2=4920.75(元/米2). ∵ 4920.75>4800, ∴ 六月份该楼盘的均价不会跌破 4800元/米2. 第3课时 几何图形面积类问题 1. D 2. 9 3. 12 4. (1) 设裁去的小正方形的边长为 xcm. 由题意,得(32-2x)(14-2x)=280, 解得x1=2,x2=21(舍去). ∴ 裁去的小正方形的边长为2cm. (2) 能. 设左侧的小正方形的边长为ycm. 根据题意,得(14-2y)· 32-2y 2 = 180,解得y=1或y=22,经检验,y= 22不符合题意,舍去. ∴ 盒子的体积为180×1=180(cm3). 5. C 6. 20 解析:设CD 的长为xm.根据 题意,得x(60-2x)=300+150,即 x2-30x+225=0,解得x1=x2= 15.∴ EF=DC=15m.∵ EF· BF=300m2,∴ BF=20m. 7. 2或3 8. (1) ∵ AB=AC=20cm,∠A= 90°, ∴ BC= 2AB=20 2cm,∠B= ∠C=45°. ∵ 四边形DEFG 是矩形, ∴ DG=EF,∠DGF=∠EFG=90°. ∴ ∠DGB=∠EFC=90°. ∴ △DGB 和△EFC 都是等腰直角 三角形. ∴ DG=BG=EF=FC. 设DG=xcm,则 GF=(20 2- 2x)cm. 由题意,得x(202-2x)=75. 整理,得2x2-202x+75=0,解得 x1= 52 2 ,x2= 152 2 . ∴ 202-2x=152或52. ∴ 矩形卡片DEFG 的长和宽分别为 152 2 cm ,52cm或152cm,522 cm. (2) 根据题意画出图形如图所示. 设AN=acm,则易得AH=(20- a)cm. 由题意,得a(20-a)=75. 整理,得a2-20a+75=0,解得a1= 15,a2=5. 经检验,a1=15,a2=5都符合题意. 此时AH=5cm或15cm. ∴ 矩形卡片的长和宽分别为15cm 和5cm. (第8题) 9. 6 解析:由题意,知AB+BC= 2 13.∵ AB=BC,∴ AB= 13. ∵ AB=BC,BD⊥AC,∴ AC= 2AD,∠ADB=90°.在Rt△ABD 中, AD2+BD2=AB2=13①.设点M 到 AC的距离为h.∴ S△ADM= 1 2AD · h.∵ 动点 M 从点A 出发,沿折线 A-B-C运动,∴ 当点 M 运动到点B 时,△ADM 的面积最大,此时h= BD.由题意,知△ADM 的面积的最 大值 为 3.∴ 1 2AD ·BD =3. ∴ AD·BD=6②.①+2×②,得 AD2+BD2+2AD·BD=13+2× 6=25.∴ (AD+BD)2=25.∴ AD+ BD=5.∴ BD=5-AD③.将③代入 ②,得AD(5-AD)=6.∴ AD=3或 AD=2.∵ AD>BD,∴ AD=3. ∴ AC=2AD=6. 10. (1) 设经过xs,PQ的长是10cm. 过点Q 作QE⊥AB 于点E. 由题意,知AP=3xcm,CQ=2xcm. ∴ 易知PE=|16-2x-3x|=|16- 5x|cm,EQ=6cm. ∴ |16-5x|2+62=102,即(16- 5x)2=64. 解得x1= 8 5 ,x2= 24 5. ∴ 经过8 5s 或24 5s ,P,Q 两点之间的 距离是10cm. (2) 设经过ys,△PBQ 的面积为 12cm2. ① 当0≤y< 16 3 时,PB=(16- 3y)cm, ∴ 1 2PB ·BC=12,即12× (16- 3y)×6=12,解得y=4. ② 当16 3<y≤ 22 3 时,BP=(3y- 16)cm,CQ=2ycm,则 1 2BP ·CQ= 1 2 (3y-16)×2y=12,解得y1=6, y2=- 2 3 (不合题意,舍去). ③ 当22 3<y≤8 时,QP=CQ-CP= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 2y-(3y-22)=(22-y)cm,则 1 2QP ·CB=12 (22-y)×6=12,解 得y=18(不合题意,舍去). 综上所述,经过4s或6s,△PBQ 的 面积为12cm2. 专题特训二　一元二次 方程的实际应用 1. (1) 设每轮传染中平均每人传染 了x人. 依题意,得1+x+x(1+x)=169,即 (1+x)2=169,解得x1=12,x2= -14(不合题意,舍去). ∴ 每轮传染中平均每人传染了12人. (2) 169×(1+12)=2197(人), ∴ 按照这样的传染速度,第三轮传染 后,共有2197人成为该病毒的携带者. 2. 设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为5-x. 根据题意,得(10x+5-x)[10(5- x)+x]=736. 整理,得x2-5x+6=0,解得x1=2, x2=3. 当x=2时,5-x=3;当x=3时,5- x=2. ∴ 原来的两位数为23或32. 3. 设3月到5月营业额的月平均增 长率为x. 由题意,得400(1+10%)(1+x)2= 633.6. ∴ (1+x)2=1.44,解得x1=0.2= 20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). ∴ 3月到5月营业额的月平均增长率 为20%. 4. (1) 设该公司投递快递总件数的 月增长率为x. 根据题意,得10×(1+x)2=12.1,解 得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合 题意,舍去). ∴ 该公司投递快递总件数的月增长 率为10%. (2) 不能. 12.1×(1+10%)=13.31(万件), 21×0.6=12.6(万件). ∵ 12.6<13.31, ∴ 该公司现有的21名快递投递业务员 不能完成今年四月份的快递投递任务. 设增加m 名业务员. 根据题意,得(21+m)×0.6≥13.31, 解得m≥7160. ∴ 至少需要增加2名业务员. 5. 设小正方形的边长为xcm,则方 盒底面的长为(100-2x)cm,宽为 (50-2x)cm. 根据题意,得(100-2x)(50-2x)= 3600, 整理,得x2-75x+350=0,解得 x1=5,x2=70, ∵ 当x=70时,100-2x<0,50- 2x<0,不合题意,舍去, ∴ x=5. ∴ 铁皮各角应该切去的小正方形的 边长是5cm. 6. (1) (20-2x);(13-2x). (2) 依 题 意,得 (20-2x)(13- 2x)=144. 整理,得2x2-33x+58=0,解得 x1=2,x2=14.5(不合题意,舍去). ∴ x的值为2. 7. (1) 60-x10 ;200+x;60-x10 ×20. (2) 依题意,得(200+x)60-x10 - 60-x10 ×20=14000. 整理,得x2-420x+32000=0,解得 x1=320,x2=100. 当x=320时,有游客入住的客房数 量是60-32010=28 (间). 当x=100时,有游客入住的客房数 量是60-10010=50 (间). ∴ 当x=100时,能吸引更多的游客, 每间客房的定价为200+100=300(元). 8. (1) ∵ ∠B=90°,AC=10cm, BC=6cm, ∴ AB=8cm. ∴ BQ=xcm,PB=(8-2x)cm. (2) 由题意,得8-2x=x, ∴ x=83. ∴ 当x=83 时,△PBQ 为等腰三 角形. (3) 假设存在x 的值,使得四边形 APQC的面积为20cm2, 则1 2×6×8- 1 2x (8-2x)=20,解 得x1=x2=2. ∴ 当x=2时,四边形APQC 的面积 为20cm2. 第二十一章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 C [变式] ∵ m 为方程x2+3x- 2024=0的根, ∴ m2+3m-2024=0. ∴ m2+3m=2024. ∴ 原式=m3+3m2-m2-3m- 2024m+2024=m(m2+3m)- (m2 +3m)-2024m +2024= 2024m-2024-2024m+2024=0. 典例2 (1) x1=1,x2=- 5 3. (2) x1= 23 3 -1 ,x2=- 23 3 -1. (3) x1= 1+ 19 3 ,x2= 1- 19 3 . (4) x1=3,x2= 3 5. [变式] (1) y1= 3 2 ,y2=-1. (2) x1= 3+ 17 2 ,x2= 3- 17 2 . (3) x1= 1 2 ,x2=-2. (4) x1=-1,x2=3. 典例3 (1) 当k=0时,方程为x- 2=0,方程有实数根. 当k≠0时,方程为一元二次方程, Δ=[-(3k-1)]2-8k(k-1)=k2+ 2k+1=(k+1)2. ∵ (k+1)2≥0, ∴ 一元二次方程有实数根. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 14 21.3　实际问题与一元二次方程 第1课时 传播与握手等问题 ▶ “答案与解析”见P6 1. 某乒乓球比赛采用双循环制(每两支队伍之 间都进行两场比赛),比赛总场数为380.设 参赛队伍有x支,则可列方程为 ( ) A. 1 2x (x-1)=380 B. x(x-1)=380 C. 2x(x-1)=380 D. x2=380 2. 小明在解决一个关于计算机病毒传播的问题 时,设计算机有x 台,列方程3+x+x(x+ 3)=48,则方程的解中一定不合题意的是 ( ) A. 5 B. 9 C. -5 D. -9 3. 若一个凸多边形有44条对角线,则这个多边 形的边数是 ( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 某中学九年级学生毕业时,每名学生都给同 班其他学生写了一份毕业留言,某班共写了 2550份毕业留言,则该班共有 名 学生. 5. 在一次会议上,每2个参加会议的人都互相 握手1次,一共握了66次手,则这次参加会 议的有 个人. 6. 有1人患了流感,经过两轮传染后共有81人 患了流感. (1) 每轮传染中平均1人传染了几人? (2) 按照这样的传染速度,经过三轮传染后 共有多少人会患流感? 7. 如图所示为一个三角形点阵,从上向下数,第 一行有1个点,第二行有2个点,…,第n行 有n个点.若该三角形点阵前n行的点数之 和为300,则n的值为 ( ) (第7题) A. 30 B. 26 C. 25 D. 24 8. 在学校举行的图书共享仪式上同学们互赠图 书,某组的每名同学都把自己的图书向本组 其他成员赠送一本,共互赠了156本图书,则 该组一共有 名同学. 9. 某校要组织一次乒乓球比赛,参赛的每两支 队伍之间都要比赛1场,根据场地和时间等 条件,赛程计划安排2天,每天安排5场比 赛,则该校应邀请 支队伍参赛. 10. 某种植物的根特别发达,它的主根长出若干 数目的支根,支根中的1 3 又长出同样多的小 支根,而其余支根长出一半数目的小支根, 主根、支根、小支根的总数是109个,则这种 植物的主根长出 个支根. 11. 解读改编诗词(通过列方程算出周瑜去世时 的年龄): 大江东去浪淘尽,千古风流数人物,而立之 年督东吴,早逝英年两位数,十位恰小个位 三,个位平方与寿符,哪位学子算得快,多少 年华属周瑜? 诗词大意如下:周瑜三十岁当 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 15 东吴都督,去世时的年龄是两位数,十位上 的数字比个位上的数字小三,个位上的数字 的平方等于他去世时的年龄. 12. 如图所示为某年5月的月历,在图 上可以用一个方框框出四个数. (1) 若框出的四个数中,最小的数 为n,则最大的数为 (用含n 的代 数式表示). (2) 若框出的四个数中,最小的数与最大的 数的乘积为153,求这个最小的数. (第12题) 13. (1) 在一次聚会上,规定每两人见面必须握 1次手.若参加聚会的人数为6,则共握手 次.若参加聚会的人数为n(n为正 整数),则共握了 (用含n的代数式 表示)次手. (2) ① 一个信息群中有若干成员,每个成员 都分别给群里其他成员发送了一条信息,这 样共有756条信息,这个信息群中共有 个成员. ② 小王毕业后选择去边疆支教,他的亲友 为小王送行,小王及父母与前来送行的客人 一一握手,客人之间也相互握手,但小王及 父母之间不握手,共握手88次,则前来送行 的客人有 人. (3) ① 若一条直线上共有5个点,则这条直 线上共有 条线段. ② 若一条线段AB 上共有m 个点(不含端 点A,B),则共有线段 (用含 m 的代数式表示)条. (4) 一段铁路上共有6个火车站,若一列火 车在往返的过程中,必须停靠每个车站,则 铁路局需为这段线路准备 种不同 的车票. (5) 由边长为1的小正方形拼成如图所示 的矩形ABCD,求图中共有多少个矩形、多 少个正方形. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 16 第2课时 平均增长率与市场营销问题 ▶ “答案与解析”见P6 1. ★某一芯片实现国产化,经过两次降价,每块 芯片的单价由118元降为98元.若两次降价 的百分率相同,设每次降价的百分率为x,根 据题意,列方程为 ( ) A. 118(1-x2)=98 B. 118(1-x)2=98 C. 118(1-2x)=98 D. 98(1+x)2=118 2. 某商场销售一批衬衣,已知平均每天售出 20件衬衣,每件盈利40元.若每件衬衣降价 10元,则平均每天可多售出20件.如果商场 平均每天要盈利1200元,那么每件衬衣应降 价多少元? 若设每件衬衣降价x 元,则可列 方程为 ( ) A. (40-x)(20+2x)=1200 B. (40+x)(20+2x)=1200 C. (40-x)(20-2x)=1200 D. (40+x)(20-2x)=1200 3. 某种服装的原价为每件200元,经过连续两 次涨价,售价为每件338元,则平均每次涨价 的上涨率为 ( ) A. 15% B. 20% C. 25% D. 30% 4. 张师傅开了一家超市,某年3月盈利5000元, 5月盈利7200元.从3月到5月,这家超市 盈利的月平均增长率是 . 5. 现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行 业的高速发展.据调查,某家快递公司某年三 月份与五月份完成投递的快件总数分别是 5万件和6.05万件.现假定该公司每月投递 的快件总数的增长率相同. (1) 求该公司投递快件总数的月增长率. (2) 如果平均每人每月可投递快件0.4万 件,那么该公司现有的16名快件投递员能否 完成当年六月份的快件投递任务? 6. 某商场自元旦以来营业额大增,一月份第一 周的营业额为60万元,前三周的营业额共为 218.4万元.若第二、三周营业额的平均增长 率为m,则m 的值为 ( ) A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% 7. 读书已经成为很多人的一种生活习惯,城市 书院是读书的重要场所之一.据统计,某书院 对外开放的第一个月进书院600人次,进书 院人次逐月增加,到第三个月末累计进书院 2850人次.若设进书院人次的月平均增长率 为x,则可列方程为 . 8. 某村为了将当地农产品外销,建立了网店.该 网店于某年八月底以每袋25元的成本价收 购一批农产品.当农产品售价为每袋40元 时,九月份销售256袋.十、十一月份该农产 品十分畅销,销售量持续走高.在售价不变的 基础上,十一月份的销售量达到400袋.设 十、十一这两个月的平均增长率不变. (1) 求十、十一这两个月的平均增长率. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 17 (2) 十二月份起,该网店采用降价促销的方式 回馈顾客,经调查发现,该农产品每降价1元/ 袋,销售量就增加5袋.当每袋降价多少元 时,该网店十二月份获利4250元? 9. (2024·辽宁)某商场出售一种商品,经市场调 查发现,日销售量y(件)与每件的售价x(元) 之间满足一次函数关系,部分数据如下表: 每件的售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … (1) 求y与x 之间的函数解析式(不要求写 出自变量x的取值范围). (2) 该商品的日销售额能否达到2600元? 如果能,求出每件商品的售价;如果不能,请 说明理由. 10. 某楼盘2024年二月份准备以每平 方米7500元的均价对外销售,由 于国家有关房地产的新政策出台 后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房 地产开发商对价格连续两个月进行下调,四 月份下调到以每平方米6075元的均价开 盘销售. (1) 求三、四月份平均每月下调的百分率. (2) 小颖家现在准备以每平方米6075元的 开盘均价,购买一套100平方米的房子,因 为她家一次性付清购房款,开发商还给予以 下两种优惠方案以供选择:① 打9.8折销 售;② 不打折,送两年物业管理费,物业管 理费是每平方米每月1.5元.小颖家选择哪 种方案更优惠? (3) 如果房价继续回落,按此平均每月下调 的百分率,请预测到六月份该楼盘的均价是 否会跌破4800元/米2,并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 18 第3课时 几何图形面积类问题 ▶ “答案与解析”见P7 1. 将一根长20cm的铁丝剪成两段,并以每一 段铁丝的长度为周长分别做成一个正方形. 若两个正方形的面积之和为12.5cm2,则两 段铁丝的长度分别是 ( ) A. 5cm,15cm B. 12cm,8cm C. 4cm,16cm D. 10cm,10cm 2. 将五个完全相同的小矩形拼成如图所示的大 矩形,大矩形的面积是135cm2,则以小矩形 的宽为边长的正方形的面积是 cm2. (第2题) 3. 已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程 x2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的 面积为 . 4. 有一块长32cm、宽14cm的矩形铁皮. (1) 如图①,如果在铁皮的四个角上裁去四 个边长一样的小正方形后,将其折成底面积 为280cm2 的无盖长方体盒子,求裁去的小 正方形的边长. (2) 由于需要,计划制作一个有盖的长方体 盒子,为了合理利用材料,某学生设计了如图 ②所示的裁剪方案,涂色部分为裁剪下来的 边角料,其中左侧的两个涂色部分为小正方 形,问:能否折出底面积为180cm2的有盖盒 子? 如果能,请求出盒子的体积;如果不能, 请说明理由. (第4题) 5. 《代数学》记载有求方程x2+8x=33的正数 解的几何方法:如图①,先构造一个面积为 x2的正方形,再以正方形的边为一边向外构 造四个面积为2x的矩形,然后以矩形的宽为 边作四个小正方形,得到大正方形的面积为 33+16=49,则该方程的正数解为7-4=3. 小明尝试用此方法解关于x 的方程x2+ 10x+c=0时,构造出如图②所示的正方形. 已知图②中涂色部分的面积和为39,则该方 程的正数解为 ( ) (第5题) A. 23 B. 2 C. 3 D. 45 6. 如图,某工地在直角墙角处,用可建60m长 围墙的建筑材料围成一个矩形堆物场地,中 间用同样的材料分隔为两间,要使所围成的 矩形ABFE 和矩形CDEF 的面积分别是 300m2和150m2,则BF 的长为 m. (第6题) (第7题) 7. 如图,在矩形ABCD 中,AB=10cm, AD=8cm,点P 从点A 出发,沿 AB 以2cm/s的速度向点B 运动, 同时点Q 从点B 出发,沿BC 以1cm/s的速 度向点C 运动,点P 到达终点后,P,Q 两点 同时停止运动.当运动时间为 s时, △BPQ 的面积是6cm2. 8. 某节课上,老师给每名学生发了一张腰长为 20cm的等腰直角三角形硬卡片(如图①②, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 19 AB=AC=20cm,∠A=90°),让学生们利用 它裁出一张矩形卡片,要求裁出的矩形卡片 的四个顶点都在三角形硬卡片的边上,并且 裁出的矩形卡片的面积为75cm2. (1) 方方同学很快完成了自己的设计(如图 ①),并完成计算,请求出他裁出的矩形卡片 DEFG 的长和宽. (2) 圆圆同学看了方方同学的设计后提出了 不同的设计方案,请利用图②大致画出草图, 并求出圆圆同学裁出的矩形卡片的长和宽. (第8题) 9. 如图①,在△ABC 中,AB=BC,BD⊥AC 于 点D(AD>BD),动点M 从点A 出发,沿折 线A-B-C 运动,运动到点C 停止.设点M 的 运动路程为x,△AMD 的面积为y,y关于x 的函数图象如图②所示,则 AC 的长为 . (第9题) 10. 如图,A,B,C,D 为矩形的四个顶 点,AB=16cm,AD=6cm,动点 P,Q分别以3cm/s,2cm/s的速度 从点A,C 同时出发,点Q 从点C 向点D 移动. (1) 若点P 从点A 移动到点B 停止,点Q 随点P 的停止而停止,连接PQ,则经过多 长时间,PQ 的长是10cm? (2) 若点P 沿着AB,BC,CD 的方向移动, 点Q 从点C 移动到点D 停止,点P 随着点 Q 的停止而停止,则经过多少时间,△PBQ 的面积为12cm2? (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程