21.1 一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

第二十一章　一元二次 方程 21.1　一元二次方程 1. D 2. B 3. B 4. 1 5. -22 6. 5y2+6y-15=0,二次项系数为 5,一次项系数为6,常数项为-15. 7. C 解析:∵ 关于x的一元二次方 程(3a+6)x2+3(a2-4)x=2没有 一次项,∴ 3(a2-4)=0,3a+6≠0. ∴ a=2. 忽略一元二次方程的二次项 系数不为0而致错 根据某个条件求一元二次方 程中待定字母的值时,要保证二次 项的系数不为0. 8. B 解析:∵ a是方程x2-x-1= 0的一个根,∴ a2-a-1=0.∴ a2- a=1.∴ 原 式=-(a3-2a)+ 2025=-(a3-a2+a2-a-a)+ 2025=-[a(a2-a)+1-a]+ 2025=-(a+1-a)+2025=-1+ 2025=2024. 9. D 解析:∵ 关于x的一元二次方 程x2+bx+a=0有一个根是-a, ∴ (-a)2-ab+a=0,即a2-ab+ a=0.∵ a≠0,∴ a-b=-1.∴ a- b的值恒为常数. 10. C 解析:根据题意,得a+b+ c=0,a-b+c=0.两式相加,得 2(a+c)=0.∴ a=-c.两式相减,得 2b=0.∴ b=0. 11. m≥0且m≠1 解析:由题意,得 m≥0且m-1≠0,解得m≥0且m≠1. 12. 8 13. x=-1 14. 6 解析:∵ m 是方程x2-2x- 1=0的根,∴ m2-2m-1=0,即 m2-1=2m.∴ m2+ 1m2= m- 1 m 2 +2= m 2-1 m 2 +2=22+ 2=6. 15. (1) ∵ 实数a是方程x2+4x+ 1=0的根, ∴ a2+4a+1=0. ∴ 2a2+8a+2=0,即 2a2+8a= -2. ∴ 2a2+8a+101=99. (2) 1-a-1a=1- a2+1 a . ∵ a2+4a+1=0, ∴ a2+1=-4a. ∴ 1-a-1a=1- -4a a =5. 16. (1) ∵ 关于x 的方程(k+1)· xk 2+1+(k-3)x-1=0是一元一次 方程, ∴ k+1=0, k-3≠0 或 k 2+1=1, k+1+k-3≠0, 解 得k=-1或k=0. ∴ 当k=-1或k=0时,关于x的方 程(k+1)xk 2+1+(k-3)x-1=0是 一元一次方程. (2) ∵ 关于x的方程(k+1)xk 2+1+ (k-3)x-1=0是一元二次方程, ∴ k2+1=2, k+1≠0, 解得k=1. ∴ 当k=1时,关于x 的方程(k+ 1)xk 2+1+(k-3)x-1=0是一元二 次方程. 17. (1) 设所求方程的根为y,则 y=-x. ∴ x=-y. 把x=-y 代入已知方程,得y2- 3y-2=0. ∴ 所求方程为y2-3y-2=0. (2) 设所求方程的根为y,则y= 1 x (x≠0). ∴ x=1y (y≠0). 把x=1y 代入已知方程,得a 1 y 2 + b·1y+c=0. 去分母,得a+by+cy2=0. 若c=0,则ax2+bx=0,即x(ax+ b)=0,可得有一个根为x=0,不符合 题意. ∵ 方程ax2+bx+c=0有两个不为 0的实数根, ∴ c≠0. ∴ 所求方程为cy2+by+a=0(c≠ 0,a≠0). 21.2　解一元二次方程 第1课时 配 方 法 1. B 2. A 3. ± 17 4. (1) 9 4 3 2 (2) 48 4 5. 6+3 6. (1) x1=- 3 2 ,x2= 9 4. (2) x1= 2+ 34 2 ,x2= 2- 34 2 . 配方时易出现的错误 (1) 移项时忘记变号. (2) 系数化为1时漏项. (3) 方程两边没有同时加上一 次项系数一半的平方. 7. B 8. B 9. D 10. A 11. 5 12. ±2 解析:∵ x􀱋4=20, ∴ 4x2+4=20.∴ 4x2=16.∴ x2= 4,解得x=±2. 13. 解不等式5(m-2)+8<6(m- 1)+7,得m>-3, ∴ m 的最小整数解为-2,即a=-2. 将a=-2代入方程x2+2ax+a+ 1=0,得x2-4x-1=0. 配方,得(x-2)2=5. 直接开平方,得x-2=± 5,解得 x1=2+5,x2=2-5. 14. (1) ∵ x2+2xy+5y2+4y+1=0, ∴ x2+2xy+y2+4y2+4y+1=0. ∴ (x+y)2+(2y+1)2=0. ∴ x+y=0,2y+1=0. ∴ x=12 ,y=- 1 2. ∴ xy= 1 2× - 1 2 =-14. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 1 本册教材思维导图 2 21.1　一元二次方程 ▶ “答案与解析”见P1 1. 若方程(a-2)x2+ax-3=0是关于x 的一 元二次方程,则a的取值范围是 ( ) A. a>2 B. a≥0且a≠2 C. a≥2 D. a≠2 2. 把一元二次方程-2x(x+1)+4=x 化成一 般形式后,若二次项系数为2,则一次项系数 和常数项分别是 ( ) A. 3,4 B. 3,-4 C. -3,4 D. -3,-4 3. 已知关于x 的一元二次方程(a+c)x2+ 2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC 三边的长.如果x=-1是方程的根,那么 △ABC 一定是 ( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 边不相等的锐角三角形 4. 若xm+1+6x-1=0是关于x的一元二次方 程,则m 的值是 . 5. 已知2是关于x 的方程x2-x+a=0的一 个根,则a-2-a 2 a+2 的值为 . 6. 把方程2(y+3)(3-y)=3(y+1)2 化成一 般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数 和常数项(要求二次项系数为正整数). 7. 易错题 若关于x 的一元二次方程(3a+ 6)x2+3(a2-4)x=2没有一次项,则a 的 值为 ( ) A. -2或2 B. -2 C. 2 D. 0 8. 若a 是方程x2-x-1=0的一个根,则 -a3+2a+2025的值为 ( ) A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 9. 若关于x的一元二次方程x2+bx+a=0有 一个根是-a(a≠0),则下列代数式的值恒 为常数的是 ( ) A. ab B. a b C. a+b D. a-b 10. 定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个 方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0 (a≠0)是“凤凰”方程,且有一个根为-1,则 下列结论中,正确的是 ( ) A. a=c,b=1 B. a=b,c=0 C. a=-c,b=0 D. a=b=c 11. 如果方程(m-1)x2+ mx-2=0是关于 x的一元二次方程,那么m 的取值范围是 . 12. 如果关于x 的方程(m+3)xm 2-7+(m- 4)x+3=0是一元二次方程,那么这个方程 的二次项系数、一次项系数及常数项的和为 . 13. 若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为x=3,则一元二次方程 a(2x+5)2+b(2x+5)+c=0(a≠0)必有 一个根为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”,标“易错题”的设有“易错警示”,详见“答案与解析”. 第二十一章　一元二次方程 3 14. 如果m 是方程x2-2x-1=0的 根,那么m2+1m2= . 15. 已知实数a是方程x2+4x+1=0的根.求: (1) 2a2+8a+101的值. (2) 1-a-1a 的值. 16. 已知关于x的方程(k+1)xk 2+1+(k-3)· x-1=0. (1) 当k取何值时,它是一元一次方程? (2) 当k取何值时,它是一元二次方程? 17. 新考法·新定义题 请 阅 读 下 面 的 材料: 问题:已知方程x2+x-1=0,求 一个一元二次方程,使它的根分别是已知方 程根的2倍. 解:设所求方程的根为y,则y=2x.∴ x= y 2. 把x=y2 代入已知方程,得 y 2 2 +y2- 1=0.化简,得y2+2y-4=0.∴ 所求方程 为y2+2y-4=0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法,我 们称为“换根法”. 请用材料提供的“换根法”求新方程(要求把 所求方程化为一般形式): (1) 已知方程x2+3x-2=0,求一个一元 二次方程,使它的根分别为已知方程根的相 反数. (2) 已知关于x 的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个不为0的实数根, 求一个一元二次方程,使它的根分别是已知 方程根的倒数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程