第1章 专题特训三 一元二次方程的应用&数学活动 矩形绿地中的花洲设计-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

22 专题特训三　一元二次方程的应用 ▶ “答案与解析”见P10 类型一 数字问题 根据数字中存在的相等关系式,建立适当的一元 二次方程解决问题. 1. 一个两位数的个位上的数字与十位上的数字 的和为6,而个位与十位上的数字的积等于 这个两位数的三分之一,求这个两位数. 类型二 信息传递问题 根据实际问题中信息传递的方式,把握其中蕴含 的相等关系式,建立适当的一元二次方程解决问题. 2. 九年级某班的班长在接到学校的紧急通知 后,通知了班级的n 名班委,班委接到通知 后,每人又分别通知了班级的其他n名同学, 这样全班43名同学恰好都接到了一次通知, 求n的值. 类型三 工程问题 根据隐含于工程问题中的工作总量、工作时间与 工作效率之间的相等关系式,建立恰当的一元二次方 程解决问题. 3. 某工程队采用A、B两种型号的设备同时对 长度为4800米的公路进行施工改造.原计 划A型设备每小时铺设路面比B型设备的 2倍多30米,则32小时恰好完成改造任务. (1) A型设备每小时铺设路面多少米? (2) 通过勘察,此工程的实际施工里程比最 初的4800米多了1000米.在实际施工中, B型设备在铺路效率不变的情况下,时间比 原计划增加了(m+25)小时,同时,A型设备 的铺路效率比原计划每小时下降了3m 米, 而铺路时间增加了m 小时,求m 的值. 类型四 图表信息问题 利用图表中数据间隐含的数量关系,进而建立相 等关系式,并构造一元二次方程解决实际问题. 4. 为了节约用水,某水厂规定:某单元居民如果 一个月的用水量不超过x吨,那么这个月该 单元居民只缴10元水费.如果超过x 吨,那 么这个月除了仍要缴10元水费外,超过那部 分按每吨x 100 元缴费. (1) 该单元居民8月用水80吨,超过了“规定 的x吨”,则超过的用水量为 吨,超 过部分应缴水费 元(用含x 的式 子表示). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 23 (2) 下表是该单元居民9月、10月的用水情 况和缴费情况: 月 份 用水量/吨 缴费总数/元 9月 85 25 10月 50 10 根据上表数据,求x的值. 5. 新情境·日常生活 某校乒乓球队举行队内比 赛,比赛规则是每两名队员之间都比赛一场, 每场比赛都要分出胜负,每一场比赛结束后 依据胜负给出相应积分,本次比赛一共进行 了210场,用时两天完成,下面是第一天比赛 结束后部分队员的积分表: 队员编号 比赛场数 胜场/场 负场/场 积分/分 1 10 8 2 18 2 10 10 0 20 3 8 7 1 15 4 8 6 2 14 5 7 0 7 7 (1) 在本次比赛中,有一名队员只输掉了一 场比赛,则该名队员的积分是多少? (2) 如果有一名队员在本次比赛中的积分不 低于34分,那么他最多负 场. 类型五 动态几何问题 6. 如图,AC 是正方形ABCD 的对角 线,AD=8,E 是AC 的中点,动点 P 从点A 出发,沿AB 方向以每秒 1个单位长度的速度向终点B 运动,同时动 点Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速 度先沿BC 方向运动到点C,再沿CD 方向向 终点D 运动,以EP、EQ 为邻边作▱PEQF, 设点P 运动的时间为t秒(0<t<8). (1) 当t=1时,试求PE 的长. (2) 当点F 恰好落在线段AB 上时,求BF 的长. (3) 在整个运动过程中,当▱PEQF 为菱形 时,求t的值. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 24 数学活动　矩形绿地中的花圃设计 ▶ “答案与解析”见P11 1. 某农场计划建造一个矩形养殖场ABCD,为 充分利用现有资源,该矩形养殖场的一边BC 靠墙(墙的长度为9m),其他三边均用栅栏 围成,中间用与墙垂直的栅栏EF 把它分成 两个面积为1∶2的矩形,如图所示.已知栅 栏的总长度为15m,设较小矩形中与墙平行 的一边AE 的长为xm. (1) 填空: ① 养殖场中每一条与墙垂直的边的长均可 用含x的代数式表示,即 m. ② x的取值范围是 . (2) 矩形养殖场 ABCD 的面积能否达到 12m2? 如果能,请求出x的值;如果不能,请 说明理由. (第1题) 2. 某社区为了解决停车难的问题,计划将一块 矩形空地ABCD 改建成一个小型停车场,其 中涂色部分为停车位区域,其余部分均为宽 度是x 米的道路,如图所示.已知 AD= 50米,AB=32米,且停车区域(即涂色部分) 的面积为880平方米,求x的值. (第2题) 3. 为了美化校园环境,某校准备用 28m长的栅栏围成一个矩形花圃. (1) 若矩形花圃的面积为48m2,求 矩形花圃相邻两边的长. (2) 如图,现需要用一部分栅栏在花圃内围 成两个矩形栽种区,学校决定将花圃背靠两 面互相垂直的墙面而建(墙足够长),其他区 域修成宽为2m的走道.若此时矩形花圃的 面积为49m2,求此时矩形花圃的长和宽. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 如图,当点P 在线段AB 上时,过点Q 作QM⊥AC,交直线AC 于点M,连 接QE、PM,易证△APE≌△QCM. ∴ 易得 AE=PE=CM =QM = 2 2tcm ,四边形PEQM 是平行四边 形,且DE=12EM. 又∵ EM=EC+CM=EC+AE= AC=102cm, ∴ DE=52cm. ∴ 当点P、Q 运动时,线段DE 的长 度不会改变. 同理,当点P 在线段AB 的延长线上 时,DE=52cm. 综上所述,当点P、Q 运动时,线段 DE 的长度不会改变. (第10题) 专题特训三　一元二次 方程的应用 1. 设这个两位数的个位上的数字为 x,则十位上的数字为6-x. 由题意,得x(6-x)= 13 [10(6- x)+x],解得x1=4,x2=5. 当x=4时,十位上的数字为2; 当x=5时,十位上的数字为1. ∴ 这个两位数是15或24. 2. 由题意,得1+n+n·n=43. 整理,得n2+n-42=0,解得n1=-7 (不合题意,舍去),n2=6. ∴ n的值为6. 3. (1) 设B型设备每小时铺设路面 x米,则A型设备每小时铺设路面 (2x+30)米. 由题意,得32x+32(2x+30)= 4800,解得x=40. ∴ 2x+30=110. ∴ A型设备每小时铺设路面110米. (2) 根据题意,得40(32+m+25)+ (110-3m)(m+32)=4800+1000, 解得 m1=18,m2=0(不合题意, 舍去). ∴ m 的值是18. 4. (1) (80-x);x100 (80-x). (2) 根据表格提供的数据,可以知道 x≥50. 根据9月用水情况,可以列出方程: 10+x100 (85-x)=25,解得x1=60, x2=25. ∵ x≥50, ∴ x=60. ∴ x的值是60. 5. (1) 设本次比赛共有x 名队员参 加比赛. 由表格,得赢一场比赛得20÷10= 2(分),输一场比赛得7÷7=1(分), 由题意,得1 2x (x-1)=210,解得 x1=21,x2=-20(不合题意,舍去). ∴ 共有21名队员参加比赛. ∴ 每名队员一共比赛20场. ∵ 有一名队员只输掉了一场比赛, ∴ 该名队员的积分是(20-1)×2+ 1=39(分). (2) 6. 6. (1) 如图①,取AB 的中点M,连接 EM. ∵ 四边形ABCD 是正方形,E 是对 角线AC的中点, ∴ AB=BC=CD=AD=8,EM 是 △ABC的中位线. ∴ AM=12AB=4 ,EM=12BC=4 , EM∥BC. ∴ ∠AME=∠B=90°. 当t=1时,AP=1, ∴ PM=AM-AP=3. ∴ PE= PM2+EM2= 32+42= 5. (2) ∵ 四边形PEQF 是平行四边形, ∴ PF=EQ,PF∥EQ. 当点F 恰好落在线段AB 上时,PF⊥ BC, ∴ EQ⊥BC. ∴ 易知此时Q 为BC的中点. ∴ EQ 是△ABC的中位线. ∴ BQ=12BC=4 ,EQ=12AB=4. ∴ PF=4. ∵ 动点Q 从点B 出发,以每秒2个 单位长度的速度先沿BC 方向运动到 点C, ∴ t=4÷2=2. ∴ 易得AP=2. ∴ BF=AB-AP-PF=2. (3) 当▱PEQF 为菱形时,PE=EQ. 分四种情况讨论:① 当0<t≤2时, 如图②,过点E 作EM⊥AB 于点M, EN⊥BC于点N. 易 知 EM = 12 BC =4 ,EN = 1 2AB=4. ∵ PE2 =PM2 +EM2,EQ2 = QN2+EN2, ∴ 易得(4-t)2+42=(4-2t)2+42, 解得t1=0(不合题意,舍去),t2= 8 3 (不合题意,舍去). ② 当2<t≤4时,同①,得(4-t)2+ 42=(2t-4)2+42,解得t1=0(不合 题意,舍去),t2= 8 3. ∴ t=83. ③ 当4<t≤6时,如图③,过点E 作 EM⊥AB 于点M,EN⊥CD 于点N. 易知EM=4,EN=12AD=4. ∵ PE2 =PM2 +EM2,EQ2 = QN2+EN2, ∴ 易得(t-4)2+42=(12-2t)2+ 42,解得t1= 16 3 ,t2=8(不合题意,舍去). ∴ t=163. ④ 当6<t<8时,同③,得(t-4)2+ 42=(2t-12)2+42,解得t1= 16 3 (不 合题意,舍去),t2=8(不合题意,舍去). 综上所述,在整个运动过程中,当 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 ▱PEQF 为菱形时,t的值为83 或16 3. (第6题) 数学活动 矩形绿地中的花圃设计 1. (1) ① (5-x). ② 0<x≤3. (2) 能. 根据题意,得3x(5-x)=12,整理,得 x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4. 由(1),可知0<x≤3, ∴ x=1. ∴ 矩形养殖场ABCD 的面积能达到 12m2,此时x的值是1. 2. 由题意,得涂色部分可以整合成长 为(50-x)米、宽为(32-2x)米的 矩形. ∴ (50-x)(32-2x)=880. 整理,得x2-66x+360=0,解得 x1=60(不合题意,舍去),x2=6. ∴ x的值为6. 3. (1) 设矩形的一边长为xm,则易 得与它相邻的另一边长为(14-x)m. 由题意,得x(14-x)=48,解得x=6 或x=8. ∴ 当花圃相邻两边的长为8m和6m 时,花圃面积为48m2. (2) 设矩形花圃的长为am,宽为 bm. 由题意,可得a+b+2(a-6)+4(b- 4)=28,整理,得b=56-3a5 . ∴ a·56-3a5 =49 ,解得a=7或 a=353. 当a=7时,b=7,当a=353 时,b= 21 5. ∴ 矩形花圃的长为35 3 m ,宽为21 5 m 或长为7m,宽为7m. 第1章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 (1) 在方程x2+(2k-1)x+ k2-k=0中,b2-4ac=(2k-1)2- 4×(k2-k)=4k2-4k+1-4k2+ 4k=1>0, ∴ 此方程总有两个不相等的实数根. (2) 将x=0代入x2+(2k-1)x+ k2-k=0,得k2-k=0,解得k=0 或1. ∴ k的值为0或1. [变式] (1) ∵ a=1,b=m-6, c=-6m, ∴ b2 -4ac= (m -6)2 -4× (-6m)=m2+12m+36=(m+ 6)2≥0. ∴ 该方程总有两个实数根. (2) 解该方程,得x1=-m,x2=6. ∵ 方程有一个实数根小于2, ∴ -m<2. ∴ m>-2. 典例2 (1) ∵ x2-2(m+1)x+ m(m+2)=0, ∴ b2-4ac=[-2(m +1)]2- 4m(m+2)=4>0. ∴ 不论实数m 取何值,方程总有实 数根. (2) 当m=2时,方程为x2-6x+8=0, ∵ α、β为方程的两个根, ∴ α2-6α=-8,α+β=6. ∴ α2-5α+β=α2-6α+α+β= -8+6=-2. [变式] (1) b2-4ac=(-5m)2- 4×1×4m2=25m2-16m2=9m2, ∵ m2≥0, ∴ b2-4ac≥0. ∴ 无论m 为何实数,方程总有两个 实数根. (2) 设x1、x2(x1>x2)是关于x的一 元二次方程x2-5mx+4m2=0的两 个实数根, ∴ x1+x2=5m,x1x2=4m2. ∵ x1-x2=2, ∴ (x1-x2)2=4. ∴ x21+x22-2x1x2=(x1+x2)2- 4x1x2=4,即(5m)2-4×4m2=4. ∴ 9m2=4,解 得 m1= 2 3 ,m2= -23. ∴ m 的值为23 或-23. 典例3 (1) 由题意,得 1 2 (32- x)x=78,解得x1=6,x2=26, ∵ x≤8, ∴ x=6. (2) 不能. 理由:设BF=y m,则 DE=(8+ y)m,AD = 32-y-8-y 2 = (12- y)m. ∴ (8+y)(12-y)=110,整理,得 y2-4y+14=0. ∵ b2-4ac=42-4×14=-40<0, ∴ 原方程无实数根,即花园面积不能 为110m2. [变式] C 解析:设乙店二、三月份 的销售额的月平均增长率为x,则甲 店三月份的销售额为10(1+2x)2 万 元,乙店三月份的销售额为15(1+ x)2 万元.由题意,得10(1+2x)2- 15(1+x)2=10,解得x1=0.6= 60%,x2=-1(不合题意,舍去). ∴ 乙店二、三月份的销售额的月平均 增长率为60%. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11