1.4 用一元二次方程解决问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

16 1.4　用一元二次方程解决问题 第1课时 面积问题与平均增长率问题 ▶ “答案与解析”见P7 1. (2024·眉山)某村的“智慧春耕”让生产更高 效,提 升 了 水 稻 亩 产 量,水 稻 亩 产 量 从 2021年的670千 克 增 长 到 了2023年 的 780千克.设该村水稻亩产量的年平均增长 率为x,则可列方程为 ( ) A. 670×(1+2x)=780 B. 670×(1+x)2=780 C. 670×(1+x2)=780 D. 670×(1+x)=780 2. 如图,将一块正方形空地划出部分区域进行 绿化,原空地的一边减少了2m,另一边减少 了3m,剩余一块面积为20m2 的矩形空地, 则原正方形空地的边长是 ( ) A. 10m B. 9m C. 8m D. 7m (第2题) (第3题) 3. 如图,在宽为20米、长为32米的矩形地面 上,修筑同样宽的道路(图中涂色部分),余下 部分种植草坪.要使草坪的面积为540平方 米,则道路的宽为 米. 4. 如图,某农场拟建饲养室,饲养室的一面靠现 有墙(墙长40m),已知计划中的建筑材料可 建围墙的总长为60m,并且材料必须全部用 完.设平行于墙的一边的长为xm. (1) 如果要围成一间矩形饲养室,那么应怎 样围建才能使饲养室的占地面积为250m2? (2) 如果需要两间相同的矩形饲养室,为方 便饲养,两间饲养室在墙的对面需各开1扇 门,两间饲养室之间也需开一扇门,门宽均为 1m,两间饲养室的占地面积之和为330m2. 请设计一种符合要求的方案,画出设计示意 图,并运用方程的知识解释方案的可行性. (第4题) 5. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发 现一种植物的主干长出若干数目的支干,每 个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干 和小分支的总个数是57,则这种植物每个支 干长出的小分支的个数是 ( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. (2024·绵阳)超市销售某种礼盒,该礼盒的 原价为500元/个.因销量持续攀升,商家在 3月提价20%,后发现销量锐减,于是经过核 算决定在3月售价的基础上,4、5月按照相 同的降价率r连续降价.已知5月礼盒的售 价为486元/个,则r= . 7. 李叔叔有一块矩形菜地(长大于宽),面积为 180m2,他以菜地的宽为一边,在菜地内修了 一个宽为3m的矩形蓄水池,修完后李叔叔 发现他的菜地刚好变成一块正方形菜地,则 李叔叔原来的菜地的周长为 m. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 17 8. 新趋势·跨学科类 化学课代表在老师的指导 下,学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法, 课代表回到班上后,第一节课手把手教会了 若干名同学,第二节课会做该实验的每名同 学又手把手教会了同样多的同学,这样全班 49人恰好都会做这个实验了.一名同学每节 课手把手教会了 名同学. 9. 某社区在开展“美化社区,幸福家 园”活动中,计划利用如图所示的直 角墙角(涂色部分,两边足够长),用 40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱 笆只围AB、AD 两边),设AB=x米. (1) 若花园的面积为300平方米,求x的值. (2) 若在直角墙角内点P 处有一棵桂花树, 且与墙BC、CD 的距离分别是10米、24米, 要将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑 树的粗细),则花园的面积能否为400平方 米? 若能,求出x的值;若不能,请说明理由. (第9题) 10. 某街道居民积极参加“创文明社 区”活动,据了解,该街道居民人口 共有7.5万人,街道划分为A、B两 个社区,B社区居民的人口数量不超过A社 区居民人口数量的2倍. (1) A社区居民人口至少有多少万人? (2) 街道工作人员调查A、B两个社区居民 对“社会主义核心价值观”了解情况发现: A社区有1.2万人了解,B社区有1万人了 解.为了提高了解率,街道工作人员用了两 个月的时间加强宣传,A社区了解人数的平 均月增长率为m%,B社区的了解人数第一 个月增长了m%,第二个月增长了2m%,两 个月后,街道居民的了解率达到76%,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 18 第2课时 市场营销问题 ▶ “答案与解析”见P8 1. 某商场将进货价为每盏30元的台灯以每盏 40元售出,平均每月能售出600盏.调查发 现,当每盏台灯的售价在40元至60元时,这 种台灯每盏的售价每上涨1元,其销售量将 减少10盏.为了达到平均每月10000元的 销售利润,每盏台灯应涨价 ( ) A. 10元 B. 15元 C. 20元 D. 40元 2. 以下是某风景区的门票收费标准: 旅游人数 收费标准 不超过30 人均收费80元 超过30 每增加1人,人均收费降低1元, 但人均收费不低于50元 根据以上信息,某公司组织一批员工到该风景 区旅游,共支付门票费用2800元.从中可以 推算出该公司参加旅游的人数为 . 3. 某小区为了改善绿化环境,计划购买A、B两 种树苗共100棵,其中A种树苗每棵40元, B种树苗每棵35元.经测算,购买两种树苗 一共需要3800元. (1) 计划购买 A、B两种树苗各多少棵? (2) 在实际购买中,小区与商家协商:两种树 苗的单价均下降a元(a<10),且每降低1元, 小区就多购买A种树苗2棵,B种树苗3棵. 小区实际购买这两种树苗的费用比原计划多 了300元,则该小区实际购买A、B两种树苗 共多少棵? 4. 某超市购进一批商品,每个的进价为40元. 经市场调查,当每个的售价为52元时,可售 出180个,每个的售价每增加1元,销售量减 少10个,因受库存的影响,进货个数不得超 过180.若该超市想要获利2000元,则每个 的售价应为 ( ) A. 50元 B. 60元 C. 50元或60元 D. 100元 5. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档 次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产 95件,每件利润为6元,每提高1个档次,每 件利润增加2元,但一天的产量减少5件.若 某天生产的产品的总利润为1120元,且该 天生产的产品为同一档次,则该天生产的产 品是 ( ) A. 第4档次 B. 第6档次 C. 第8档次 D. 第10档次 6. 在直播间购物逐渐走进了人们的生活.某电 商在某平台上对一款成本价为每件40元的 小商品进行销售,如果按每件60元销售,那 么每天可卖出20件.通过市场调查发现,每 件小商品售价每降低1元,日销售量增加2 件.若日利润保持不变,商家想尽快销售完该 款小商品,则每件的售价应定为 元. 7. 某商店以80元/件的进价购进一批安全头 盔,经市场调研发现,该头盔每周的销售量 y(件)与售价x(元/件)之间满足一次函数 y=30-0.2x,物价部门规定每件头盔的利 润不能超过进价的30%.若商店计划每周销 售该头盔获利200元,则该头盔的售价应为 元/件. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 19 8. 新情境·日常生活 一个农业合作社以 64000元的成本收购了某种农产品 80吨,目前可以以1200元/吨的价 格售出,如果储藏起来,每个星期会损失 2吨,且每个星期需支付各种费用1600元, 但同时每星期每吨的价格将上涨200元,那 么储藏 个星期再出售这批农产品可 获利122000元. 9. (2024·淄博)“我运动,我健康,我快乐!”随着 人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加 健身运动的人逐年增多,从2021年的32万人 增加到2023年的50万人. (1) 求该市参加健身运动人数的年均增 长率. (2) 为支持市民的健身运动,市政府决定从A 公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若 购买不超过100套,则每套的售价为1600元; 若超过100套,每增加10套,每套的售价可 降低40元,但最低售价不得少于1000元.已 知市政府向该公司支付货款24万元,求购买 的这种健身器材的套数. 10. 某商店购进600个旅游纪念品,进 价为每个6元.第一周以每个10元 的价格售出200个,第二周若以每 个10元的价格销售,则仍可售出200个,但 该商店为了适当增加销量,决定降价销售 (根据市场调查,每个售价每降低1元,可多 售出50个,但售价不得低于进价),每个售 价降低x元销售一周后,该商店对剩余的旅 游纪念品进行清仓处理,以每个4元的价格 全部售出.如果销售这批旅游纪念品共获利 1250元,那么第二周每个旅游纪念品的售 价为多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 20 第3课时 几何图形相关问题 ▶ “答案与解析”见P8 1. 如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm, BC=7cm.点P 从点B 开始,沿边BA 向 点A 以2cm/s的速度移动,同时点Q 从点C 开始,沿边CB 向点B 以1cm/s的速度移 动,当其中一点到达终点时,另一点随即停止 移动,连接PQ.当四边形APQC 的面积为 11cm2时,点P 的移动时间为 ( ) A. 1s B. 1s或2.5s C. 2s D. 2s或5s (第1题) (第2题) 2. 如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm, BC=3cm,点P 以1cm/s的速度从点A 开 始,沿边AB 向点B 移动,点Q 以2cm/s的 速度从点B 开始,沿边BC 向点C 移动.当 点Q 移动到点C 时停止,点P 也随之停止移 动,连接PQ.如果点P、Q 分别从点A、B 同 时出 发,ts后 点 P、Q 之 间 的 距 离 为 42cm,那么t的值为 ( ) A. 2 5 B. 2 C. 6 5 D. 2 5 或2 3. 如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶 数,那么它的周长为 . 4. 如图,在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC= 8cm,点P 从点A 开始,沿边AB 以1cm/s 的速度向点B 移动,同时点Q 从点B 开始, 沿边BC 以2cm/s的速度向点C 移动,当 P、Q 两点中有一个点到达终点时,另一个点 也停止移动,连接DP、PQ、DQ.当△DPQ 的面积比△PBQ 的面积大19.5cm2 时,求 点P 的移动时间. (第4题) 5. 如图,将边长为12cm的正方形ABCD 沿其 对角线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向 平移,得到△A'B'C'.若两个三角形重叠部分 的面积为32cm2,则△ABC 移动的距离AA' 等于 ( ) (第5题) A. 4cm B. 8cm C. 6cm D. 4cm或8cm 6. 新考向·代数推理 如图①,在矩形ABCD 中, E 为BC 的中点,点P 沿边BC 从点B 运动 到点C,设B、P 两点间的距离为x,PA- PE=y,点P 运动时y随x变化的函数图像 如图②所示,则BC 的长是 . (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 21 7. 如图,AO=BO=6厘米,OC 是一条 射线,OC⊥AB.一动点P 从点A 出 发,以1厘米/秒的速度向点B 运动, 另一动点Q 从点O 出发,以2厘米/秒的速 度沿射线OC 方向运动,它们同时出发,当点 P 到达点B 时,点Q 也停止运动,连接PQ. 设运动时间为t 秒,当t= 时, △POQ 的面积为8平方厘米. (第7题) 8. 如图,在矩形ABCD 中,AB=16cm,BC= 6cm,动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度 从点A、C 同时出发,沿规定路线移动.若点 P 沿着A→B→C→D 移动,当点Q 从点C 沿CD 移动到点D 停止时,点P 也随之停止 移动,连接BQ,则经过多长时间△PBQ 的 面积为12cm2? (第8题) 9. 如图,在直角三角形纸片ABC 中, ∠C=90°,AC=7,AB=25,点D 在 边BC 上,沿AD 将△ADB 折叠, 得到△ADB',AB'与边BC 交于点E.如果 △EDB'为直角三角形,那么 BD 的长是 . (第9题) 10. 如图,等腰三角形ABC 的直角边 AB=BC=10cm,点P、Q 分别从 A、C 两点同时出发,均以1cm/s 的速度做直线运动,已知点P 沿射线AB 运动,点Q 沿边BC 的延长线运动,PQ 与 直线AC 相交于点D.设点P 的运动时间为 ts,△PCQ 的面积为Scm2. (1) 用含t的代数式表示S. (2) 当点P 运动几秒时,△PCQ 的面积等 于△ABC 的面积? (3) 过点P 作PE⊥AC 于点E,当点P、Q 运动时,线段DE 的长度是否改变? 证明你 的结论. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 2. (1) b2-4ac=m2-4×2n=m2- 8n, ∵ m=n+3, ∴ b2-4ac=(n+3)2-8n=n2- 2n+9=(n-1)2+8>0. ∴ 该一元二次方程有两个不相等的 实数根. (2) 根据题意,得b2-4ac=m2- 8n=0, ∴ m2=8n. 令n=0,则 m=0(m、n 的取值不 唯一), 此时方程变形为x2=0, ∴ x1=x2=0. 3. D 解析:根据题意,得x×mx+ x+1=0,整理,得mx2+x+1=0. ∵ 关 于 x 的 方 程 【x,x+1】★ (mx)=0有两个不相等的实数根, ∴ b2-4ac=12-4m·1>0且m≠ 0,解得m<14 且m≠0. 4. 3 解析:∵ 方程x2+3x+1=0 的两个根为α、β,∴ α+β=-3,αβ= 1.∴ (α+β)2=9,即α2+2αβ+β2= 9.∴ α2+2αβ+β2 αβ =9,即α β +2+ β α=9.∵ αβ>0,∴ α β >0,βα >0. ∴ αβ 2 +2 α β · β α + βα 2 =9.∴ αβ + βα 2 = 9.∴ α β + βα =3. 5. (1) ∵ 关于x 的一元二次方程 mx2+2(m+1)x+m-1=0有两个 不相等的实数根, ∴ b2-4ac=[2(m+1)]2-4m(m- 1)>0,解得m>-13. 又∵ m≠0, ∴ m 的 取 值 范 围 是 m>-13 且 m≠0. (2) ∵ 该方程的两个实数根分别为 x1、x2, ∴ x1+x2=- 2m+2 m ,x1x2= m-1 m . 又∵ x21+x22=8,即(x1+x2)2- 2x1x2=8, ∴ -2m+2m 2 -2×m-1m =8 ,解得 m1=2,m2=- 1 3. 经检验,m1=2,m2=- 1 3 是原分式 方程的解. 又∵ m>-13 且m≠0, ∴ m=2. 1.4　用一元二次方程 解决问题 第1课时 面积问题 与平均增长率问题 1. B 2. D 3. 2 解析:设道路的宽为x 米. ∵ 种植草坪的部分可合成长为(32- x)米、宽为(20-x)米的矩形,∴ 由 题意,得(32-x)(20-x)=540,解得 x1=2,x2=50(不合题意,舍去). ∴ 道路的宽为2米. 4. (1) ∵ 平行于墙的一边长为xm, ∴ 垂直于墙的一边长为60-x 2 m. ∴ x·60-x2 =250 ,解得x1=10, x2=50. ∵ x≤40, ∴ x=10. ∴ 60-x 2 =25. ∴ 当垂直于墙的一边长为25m,平行 于墙的一边长为10m时,饲养室的占 地面积为250m2. (2) 画出设计示意图如图所示(画法 不唯一). 方案一:AB 的长为30m,AC 的长为 11m;方案二:AB 的长为33m,AC 的长为10m(任选一种方案即可). 由题意,得AC的长为60- (x-2)+1 3 = 63-x 3 m. ∴ x·63-x3 =330 ,解得x1=30, x2=33. 当x=30时,即AB 的长为30m,AC 的长为11m; 当x=33时,即AB 的长为33m,AC 的长为10m. ∴ 两种方案均可行. (第4题) 5. B 解析:设这种植物每个支干长 出的小分支的个数是x.由题意,得 1+x+x2=57.整理,得x2+x- 56=0,解得x1=7,x2=-8(不合题 意,舍去).∴ 这种植物每个支干长出 的小分支的个数是7. 6. 10% 解析:根据题意,得500(1+ 20%)(1-r)2=486,解得r1=0.1, r2=1.9(不合题意,舍去).∴ r= 10%. 7. 54 解析:由题意,得长减少3m, 矩形菜地变成正方形菜地.∴ 设矩形 菜地的宽为xm,则长为(x+3)m.根 据题意,得x(x+3)=180,解得x1= 12,x2= -15(不 合 题 意,舍 去). ∴ x+3=15.∴ 这块矩形菜地的长 为15m,宽为12m.∴ 李叔叔原来的 菜地的周长为2×(15+12)=54(m). 8. 6 解析:设一名同学每节课手把 手教会了x 名同学.根据题意,得 (1+x)2=49,解得x1=6,x2=-8 (不合题意,舍去).∴ 一名同学每节 课手把手教会了6名同学. 9. (1) ∵ AB=x米, ∴ AD=(40-x)米. 由题意,得x(40-x)=300,解得 x1=10,x2=30,即 x 的 值 为10 或30. (2) 花园的面积不能为400平方米. 理由:由题意,得x(40-x)=400,解 得x1=x2=20. ∴ 当x=20时,40-x=40-20=20. ∵ 20<24, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 ∴ 这棵树没有被围在矩形花园内. ∴ 要将这棵树围在矩形花园内(含边 界,不考虑树的粗细),则花园的面积 不能为400平方米. 10. (1) 设A社区居民人口有x 万 人,则 B社区居民人口有(7.5- x)万人. 依题意,得7.5-x≤2x,解得x≥2.5, 即A社区居民人口至少有2.5万人. (2) 依题意,得1.2(1+m%)2+1× (1+m%)×(1+2m%)=7.5× 76%. 设 m%=a,方 程 可 化 为1.2(1+ a)2+(1+a)(1+2a)=5.7. 化简,得32a2+54a-35=0,解得a= 0.5或a=-3516 (不合题意,舍去). ∴ m=50. ∴ m 的值为50. 第2课时 市场营销问题 1. A 2. 40 3. (1) 设计划购买A种树苗x 棵, B种树苗y棵. 依题意,得 x+y=100, 40x+35y=3800, 解得 x=60, y=40. ∴ 计划购买A种树苗60棵,B种树 苗40棵. (2) 依题意,得(40-a)(60+2a)+ (35-a)(40+3a)=3800+300. 整理,得a2-17a+60=0,解得a1= 5,a2=12(不合题意,舍去). ∴ 60+2a+40+3a=60+2×5+ 40+3×5=125. ∴ 该小区实际购买A、B两种树苗共 125棵. 4. B 解析:设每个的售价为x元,则 每个的销售利润为(x-40)元,销售 量为180-10(x-52)=(700- 10x)个.根据题意,得(x-40)(700- 10x)=2000.整理,得x2-110x+ 3000=0,解得x1=50,x2=60.当 x=50时,700-10x=700-10×50= 200>180,不合题意,舍去.当x=60 时,700-10x=700-10×60=100< 180,符合题意.∴ 每个的售价应为 60元. 5. B 解析:设该天生产的产品是第 x档次,则该天的产量为[95-5(x- 1)]件,每件利润为[6+2(x-1)]元. 根据题意,得[6+2(x-1)]·[95- 5(x-1)]=1120.整 理,得 x2- 18x+72=0,解得x1=6,x2=12(不 合题意,舍去).∴ 该天生产的产品是 第6档次. 6. 50 解析:设每件售价应定为x元. 根据题意,得(x-40)[20+2(60- x)]=(60-40)×20,解得x1=50, x2=60.∵ 商家想尽快销售完该款小 商品,∴ x=50.∴ 每件售价应定为 50元. 7. 100 解析:设该头盔的售价为 x元/件.由题意,得(x-80)(30- 0.2x)=200,整理,得x2-230x+ 13000=0,解得x1=100,x2=130. ∵ 80×(1+30%)=104(元),∴ 当 x=100时,100<104,符合题意;当 x=130时,130>104,不合题意,舍 去.∴ x=100,即该头盔的售价应为 100元/件. 8. 15 解析:设储藏x个星期再出售 这批农产品可获利122000元,由题 意,得(1200+200x)(80-2x)- 1600x-64000=122000,化简,得 x2-30x+225=0,解得x1=x2= 15.∴ 储藏15个星期再出售这批农 产品可获得122000元. 9. (1) 设该市参加健身运动人数的 年均增长率为x. 由题意,得32(1+x)2=50,解得 x1=0.25=25%,x2=-2.25(不合 题意,舍去). ∴ 该市参加健身运动人数的年均增 长率为25%. (2) 设购买的这种健身器材的套数 为m. ∵ 1600×100=160000元=16万元, 16万<24万, ∴ m>100. ① 当100<m≤250时,由题意,得 m 1600-m-10010 ×40 =240000. 整理,得m2-500m+60000=0,解得 m1=200,m2=300. 当m=200时,1600-m-10010 ×40= 1600-400=1200>1000,符合题意; 当m=300时,1600-m-10010 ×40= 1600-800=800<1000,不合题意, 舍去. ② 当m>250时, ∵ 1000m>240000, ∴ 不合题意,舍去. ∴ 购 买 的 这 种 健 身 器 材 的 套 数 为200. 10. 根据题意,得200×(10-6)+ (10-x-6)(200+50x)+(4-6)· [600-200-(200+50x)]=1250. 整理,得x2-2x+1=0,解得x1= x2=1. ∵ 售价不得低于进价, ∴ 10-x≥6,即x≤4. ∴ x=1符合题意. ∴ 第二周每个旅游纪念品的售价为 10-1=9(元). 第3课时 几何图形相关问题 1. C 2. A 3. 24 4. 设当△DPQ 的面积比△PBQ 的 面积大19.5cm2时,点P 的移动时间 为xs,则AP=xcm,BQ=2xcm. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB=CD=6cm,BC=AD= 8cm. ∴ BP = (6-x)cm,CQ = (8- 2x)cm. 根 据 题 意,得 S△ADP +S△PBQ + S△CDQ+S△DPQ=S矩形ABCD. ∴ 1 2×8x+ 1 2×2x (6-x)+12× 6(8-2x)+ 12 ×2x(6-x)+ 19.5 =6×8. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 化简,得4x2-20x+9=0,解得x1= 0.5,x2=4.5. 由题意,易得0<x≤4. ∴ x=0.5. ∴ 当△DPQ 的面积比△PBQ 的面 积大19.5cm2 时,点P 的移动时间 为0.5s. 5. D 解析:如图,设AA'=xcm,则 A'D=(12-x)cm.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠D=90°,AD=CD. ∴ ∠DAC=45°.同理可证∠B'A'C'= 45°.∵ △A'B'C'由△ABC 沿着AD 方向 平 移 得 到,∴ A'B'⊥AD. ∴ ∠A'EA=45°.∴ ∠B'A'C'= ∠A'EA=∠DAC.∴ A'F∥EC, A'E=AA'=xcm.∵ A'E∥CF, ∴ 四边形 A'ECF 为平行四边形. ∴ 易 得 S▱A'ECF =A'E ·A'D. ∴ x(12-x)=32,解得x1=4,x2=8. (第5题) 6. 6 解析:根据函数图像,可得当 x=0,即点P 与点B 重合时,AB- BE=1.在△PAE 中,∵ 三角形任意 两边之差小于第三边,∴ PA-PE< AE.当且仅当点P 与点E 重合时有 PA-PE=AE,∴ y 有最大值为 AE.∴ AE=5.设BE=a,则AB= a+1.在Rt△ABE 中,AB2+BE2= AE2,∴ (a+1)2+a2=52,解得a1= 3,a2=-4(不合题意,舍去).∴ BE= 3.∵ E 为 BC 的 中 点,∴ BC= 2BE=2×3=6. 7. 2或4或3+ 17 解析:分两种 情况:① 当点P 在AO 上时,由题意, 得1 2 (6-t)·2t=8,整理,得t2- 6t+8=0,解得t1=2,t2=4.② 当点 P 在BO 上时,由题意,得12 (t-6)· 2t=8,整理,得t2-6t-8=0,解得 t3=3+ 17,t4=3- 17(不合题 意,舍去).综上所述,当t=2或4或 3+ 17时,△POQ 的面积为8平方 厘米. 8. 设经过ys后△PBQ 的面积为 12cm2. ① 当0≤y< 16 3 时,点P 在AB 上, ∴ PB=(16-3y)cm. ∴ 1 2PB ·BC=12,即 12 (16- 3y)×6=12,解得y=4. ② 当16 3≤y≤ 22 3 时,点P 在BC上, ∴ BP=(3y-16)cm,QC=2ycm. ∴ 1 2BP ·CQ=12 (3y-16)×2y= 12,解得y1=6,y2=- 2 3 (不合题意, 舍去). ③ 当22 3<y≤8 时,点P 在CD 上, ∴ 易得QP=CQ-PC=(22-y)cm. ∴ 1 2QP ·CB=12 (22-y)×6= 12,解得y=18(不合题意,舍去). 综上所述,经过4s或6s,△PBQ 的 面积为12cm2. 9. 17或754 解析:在Rt△ABC 中, BC= AB2-AC2=24.分两种情况 讨论:① 当∠EDB'=90°时,如图①, 过点B'作B'F⊥AC,交AC的延长线 于点 F.由折叠的性 质,得 AB= AB'=25,BD=B'D.易得四边形 B'DCF 为矩形.∴ CD=B'F,CF= B'D.设BD=x,则B'D=CF=x, B'F=CD=24-x,AF=7+x.在 Rt△AFB'中,由勾股定理,得(7+ x)2+(24-x)2=252,即x2-17x= 0,解得x1=0(不合题意,舍去),x2= 17.∴ BD=17.② 当∠DEB'=90° 时,如图②,此时点E 与点C 重合.由 折叠 的 性 质,得 AB=AB'=25, ∴ B'C=25-7=18.设BD=y,则 B'D=y,CD=24-y.在Rt△B'CD 中,由勾股定理,得(24-y)2+182= y2,解得y= 75 4.∴ BD=754. 综上所 述,BD 的长是17或754. (第9题) 10. (1) 当0<t<10时,点P 在线段 AB 上,此时CQ=tcm,PB=(10- t)cm. ∴ S=12×t (10-t)=12 (10t-t2). 当t=10时,易得无法构成△PCQ. 当t>10时,点P 在AB 的延长线上, 此时CQ=tcm,PB=(t-10)cm. ∴ S=12×t (t-10)=12 (t2-10t). 综上所述,S= 1 2 (10t-t2)(0<t<10), 1 2 (t2-10t)(t>10). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) ∵ △ABC 的面积= 12AB · BC=50cm2, ∴ 当t<10时,12 (10t-t2)=50. 整理,得t2-10t+100=0,此方程 无解. 当t>10时,12 (t2-10t)=50. 整理,得t2-10t-100=0,解得t1= 5+55,t2=5-55(不合题意,舍去). ∴ 当点P 运动(5+55)s时,△PCQ 的面积等于△ABC的面积. (3) 当点P、Q 运动时,线段DE 的长 度不会改变. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 如图,当点P 在线段AB 上时,过点Q 作QM⊥AC,交直线AC 于点M,连 接QE、PM,易证△APE≌△QCM. ∴ 易得 AE=PE=CM =QM = 2 2tcm ,四边形PEQM 是平行四边 形,且DE=12EM. 又∵ EM=EC+CM=EC+AE= AC=102cm, ∴ DE=52cm. ∴ 当点P、Q 运动时,线段DE 的长 度不会改变. 同理,当点P 在线段AB 的延长线上 时,DE=52cm. 综上所述,当点P、Q 运动时,线段 DE 的长度不会改变. (第10题) 专题特训三　一元二次 方程的应用 1. 设这个两位数的个位上的数字为 x,则十位上的数字为6-x. 由题意,得x(6-x)= 13 [10(6- x)+x],解得x1=4,x2=5. 当x=4时,十位上的数字为2; 当x=5时,十位上的数字为1. ∴ 这个两位数是15或24. 2. 由题意,得1+n+n·n=43. 整理,得n2+n-42=0,解得n1=-7 (不合题意,舍去),n2=6. ∴ n的值为6. 3. (1) 设B型设备每小时铺设路面 x米,则A型设备每小时铺设路面 (2x+30)米. 由题意,得32x+32(2x+30)= 4800,解得x=40. ∴ 2x+30=110. ∴ A型设备每小时铺设路面110米. (2) 根据题意,得40(32+m+25)+ (110-3m)(m+32)=4800+1000, 解得 m1=18,m2=0(不合题意, 舍去). ∴ m 的值是18. 4. (1) (80-x);x100 (80-x). (2) 根据表格提供的数据,可以知道 x≥50. 根据9月用水情况,可以列出方程: 10+x100 (85-x)=25,解得x1=60, x2=25. ∵ x≥50, ∴ x=60. ∴ x的值是60. 5. (1) 设本次比赛共有x 名队员参 加比赛. 由表格,得赢一场比赛得20÷10= 2(分),输一场比赛得7÷7=1(分), 由题意,得1 2x (x-1)=210,解得 x1=21,x2=-20(不合题意,舍去). ∴ 共有21名队员参加比赛. ∴ 每名队员一共比赛20场. ∵ 有一名队员只输掉了一场比赛, ∴ 该名队员的积分是(20-1)×2+ 1=39(分). (2) 6. 6. (1) 如图①,取AB 的中点M,连接 EM. ∵ 四边形ABCD 是正方形,E 是对 角线AC的中点, ∴ AB=BC=CD=AD=8,EM 是 △ABC的中位线. ∴ AM=12AB=4 ,EM=12BC=4 , EM∥BC. ∴ ∠AME=∠B=90°. 当t=1时,AP=1, ∴ PM=AM-AP=3. ∴ PE= PM2+EM2= 32+42= 5. (2) ∵ 四边形PEQF 是平行四边形, ∴ PF=EQ,PF∥EQ. 当点F 恰好落在线段AB 上时,PF⊥ BC, ∴ EQ⊥BC. ∴ 易知此时Q 为BC的中点. ∴ EQ 是△ABC的中位线. ∴ BQ=12BC=4 ,EQ=12AB=4. ∴ PF=4. ∵ 动点Q 从点B 出发,以每秒2个 单位长度的速度先沿BC 方向运动到 点C, ∴ t=4÷2=2. ∴ 易得AP=2. ∴ BF=AB-AP-PF=2. (3) 当▱PEQF 为菱形时,PE=EQ. 分四种情况讨论:① 当0<t≤2时, 如图②,过点E 作EM⊥AB 于点M, EN⊥BC于点N. 易 知 EM = 12 BC =4 ,EN = 1 2AB=4. ∵ PE2 =PM2 +EM2,EQ2 = QN2+EN2, ∴ 易得(4-t)2+42=(4-2t)2+42, 解得t1=0(不合题意,舍去),t2= 8 3 (不合题意,舍去). ② 当2<t≤4时,同①,得(4-t)2+ 42=(2t-4)2+42,解得t1=0(不合 题意,舍去),t2= 8 3. ∴ t=83. ③ 当4<t≤6时,如图③,过点E 作 EM⊥AB 于点M,EN⊥CD 于点N. 易知EM=4,EN=12AD=4. ∵ PE2 =PM2 +EM2,EQ2 = QN2+EN2, ∴ 易得(t-4)2+42=(12-2t)2+ 42,解得t1= 16 3 ,t2=8(不合题意,舍去). ∴ t=163. ④ 当6<t<8时,同③,得(t-4)2+ 42=(2t-12)2+42,解得t1= 16 3 (不 合题意,舍去),t2=8(不合题意,舍去). 综上所述,在整个运动过程中,当 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01