23.3.1 相似三角形-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

42 23.3　相似三角形 第1课时 相似三角形 ▶ “答案与解析”见P17 1. 若△ABC∽△DEF,BC=6,EF=4,则ACDF 的值为 ( ) A. 4 9 B. 9 4 C. 2 3 D. 3 2 2. 如图,在△ABC中,D、E分别是AB 和AC上 的点,DE∥BC.若ADBD=2 ,则DE BC 的值为( ) A. 4 9 B. 1 2 C. 1 3 D. 2 3 (第2题) (第3题) 3. 如图,在▱ABCD 中,E 是AD 延长线上一 点,BE 交AC 于点F,交DC 于点G,则下列 结论中,不一定正确的是 ( ) A. △ABE∽△DGE B. △CGB∽△DGE C. △BCF∽△EAF D. △ACD∽△GCF 4. 若△ABC∽△A'B'C',∠A=45°,∠B= 100°,则∠C'= . 5. 如图,AB∥CD,AB=6,CD=2,OA=7, BC=4.求OB、OC、OD 的长. (第5题) 6. 如图,△ABC∽△DAC,∠B=36°,∠D= 117°,则∠BAD 的度数为 ( ) A. 36° B. 117° C. 143° D. 153° (第6题) (第7题) 7. 如图,AB∥DC,AC、BD 相交于点E.若 BD=5BE,AB=7,则CD 的长为 ( ) A. 16 B. 20 C. 28 D. 35 8. 如图,在▱ABCD 中,点E、F 分别在边AD、 BC 上,且EF∥CD,G 为边AD 延长线上一 点,连结BG,交CD 于点M,交EF 于点N, 则图中与△AGB 相似的三角形有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第8题) (第9题) 9. 如图,AD 为△ABC 的角平分线,DE∥AB 交AC 于点E.如果AEEC= 3 5 ,那么AC AB 等于 ( ) A. 3 5 B. 5 3 C. 8 5 D. 3 2 10. 如图,在▱ABCD 中,点E 在AB 上,CE、 BD 交于点F.若AE∶BE=4∶3,且BF= 2,则DF= . (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 43 11. 如图,在▱ABCD 中,E 为边BC 上一点,连 结AE 并延长,交DC 的延长线于点M,交 BD 于点G,过点G 作GF∥BC 交DC 于点 F,DFFC= 3 2. (1) 若BD=20,求BG 的长. (2) 求CM CD 的值. (第11题) 12. 如图,在△ABC 中,点D、E 分别 在边AB、AC 上,且DE∥BC,过点 A 作平行于BC 的直线分别交 CD、BE 的延长线于点M、N.若DE=2, BC=6,求MN 的长. (第12题) 13. 如图,四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形,点R 在 DE 上,且DR∶RE=5∶4,BR 分 别与AC、CD 相交于点P、Q,则BP∶PQ∶ QR= . (第13题) 14. 如图,在▱ABCD 中,E、F 分别是边BC、 CD 上的点,且EF∥BD,AE、AF 分别交 BD 于点G、H,BD=12,EF=8.求: (1) DF AB 的值. (2) 线段GH 的长. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　图形的相似 ∵ EF∥AB, ∴ AE AC= BF BC= 2 3. ∵ BC=9, ∴ BF 9= 2 3. ∴ BF=6. ∵ DE∥BC, ∴ BD AB= CE AC= 1 3. ∵ AB=6, ∴ BD 6 = 1 3. ∴ BD=2. ∵ EF∥AB,DE∥BC, ∴ 四边形BDEF 是平行四边形. ∴ EF=BD=2,DE=BF=6. ∴ 四边形BDEF 的周长为2×(2+ 6)=16. 11. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ DC∥AB,AD∥BC. ∴ CG GE= DG GB ,DG GB= GF CG. ∴ CG GE= GF CG ,即CG2=GF·GE. 12. A 解析:如图,过点F 作FG∥ BN 交AC 于点G.∵ M 是EF 的中 点,∴ EN GN= EM FM=1.∴ EN=GN. ∵ DE∥BC,∴ AE EC = AD DB = 1 3. ∴ EC=3AE.∵ EF∥AB,∴ AE EC= BF FC= 1 3.∵ FG∥BN,∴ BF FC = NG GC= 1 3.∴ GC=3NG.设 EN= NG=a,则GC=3a,∴ EC=EN+ NG+GC =5a.∵ EC =3AE, ∴ AE=53a.∴ AC=AE+EC= 5 3a+5a= 20 3a.∴ EN AC= a 20 3a =320. (第12题) 13. (1) 如图,延长 MP 交BC 于 点E. ∵ PM∥AC,即PE∥AC, ∴ AP PD= CE DE= 2 1. ∴ DE=12CE. ∴ CD=DE+CE=32CE. ∵ D 为BC的中点, ∴ BC=2CD=3CE. ∵ ME∥AC, ∴ AM AB= CE BC= CE 3CE= 1 3 ,即AM∶ AB 的值为13. (2) 如图,延长AD 至点Q,使DQ= AD,连结BQ、CQ. ∵ D 是BC的中点, ∴ BD=CD. ∴ 四边形ABQC是平行四边形. ∴ AC∥BQ,AB∥CQ. ∵ PM∥AC,PN∥AB, ∴ PM∥BQ,PN∥CQ. ∴ AM AB= AP AQ ,AN AC= AP AQ. ∴ AM AB= AN AC. (第13题) 23.2　相似图形 1. B 2. 相似 3. 8 4. (1) ∵ 四边形ABCD 与四边形 A'B'C'D'相似, ∴ ∠C=∠C'=135°. ∴ ∠B=360°-135°-96°-60°=69°. (2) ∵ 四 边 形 ABCD 与 四 边 形 A'B'C'D'相似, ∴ AD A'D'= AB A'B'= BC B'C'. ∴ 12 8= y 12= 6 x ,解得x=4,y=18. 5. B 解析:∵ 正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 相似,相似多边 形的对应边成比例,对应角相等, ∴ DE∶MN= AB∶FG=2∶3, ∠A=∠F.∴ 3DE=2MN. 6. 1+5 2 解析:根据题意,得AB= AF=FE=CD=1.设 AD=x,则 FD=x-1(x>1).∵ 矩形ECDF 与 矩形ABCD 相似,∴ EF AD= FD DC ,即 1 x = x-1 1 ,解得x1= 1+5 2 ,x2= 1-5 2 (不合题意,舍去).∴ AD= 1+5 2 . 7. 不相似. 理由:∵ 20cm=0.2m, ∴ 外围矩形的长为6+0.2×2= 6.4(m),宽为4+0.2=4.2(m). ∵ 6 6.4≠ 4 4.2 , ∴ 此区域内、外边沿与墙所围成的 两个矩形不相似. 20cm=0.2m,当a=0.2m时,若要 使这两个矩形相似,则 6 6.4= 4 4+b 或 6 4+b= 4 6.4. ∴ b=415m 或b=5.6m. ∵ 4 15m= 80 3cm ,5.6m=560cm, ∴ 另一边的宽b为803cm 或560cm 才合适. 23.3　相似三角形 第1课时 相似三角形 1. D 2. D 3. D 4. 35° 5. ∵ AB∥CD, ∴ △AOB∽△DOC. ∴ AB DC= OB OC= OA OD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 ∵ AB=6,CD=2,OA=7,BC=4, BC=OB+OC, ∴ 6 2= OB OC= 7 OD. ∴ OB=3,OC=1,OD=73. 6. D 解析:∵ △ABC∽△DAC, ∴ ∠DAC=∠B=36°,∠BAC= ∠D=117°.∴ ∠BAD=∠DAC+ ∠BAC=153°. 7. C 解析:∵ AB∥DC,∴ △AEB∽ △CED.∴ AB CD= BE DE.∵ BD=5BE, ∴ 设BE=k(k>0),则BD=5k. ∴ 7 CD= k 5k-k= 1 4.∴ CD=28. 8. D 解析:∵ 四边形ABCD 为平 行四边形,∴ CD∥AB,AD∥BC. ∴ △DGM ∽ △AGB,△DGM ∽ △CBM.∵ EF∥CD,∴ △DGM∽ △EGN,△CBM∽△FBN.∴ △DGM∽ △AGB ∽ △FBN ∽ △CBM ∽ △EGN.∴ 与△AGB 相似的三角形 有4个. 9. B 解析:∵ DE∥AB,∴ △EDC∽ △ABC.∴ DE AB = EC AC.∵ AD 为 △ABC 的角平分线,∴ ∠BAD= ∠DAC.∵ DE∥AB,∴ ∠BAD= ∠EDA.∴ ∠EAD = ∠EDA. ∴ AE=DE.∴ AE AB= EC AC.∴ AC AB= EC AE= 5 3. 10. 14 3 解析:∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AB∥DC,AB=DC. ∵ AE∶BE=4∶3,∴ BE∶AB= 3∶7.∴ BE∶DC=3∶7.∵ AB∥ CD,∴ △BEF∽△DCF.∴ BF∶ DF=BE∶DC=3∶7,即2∶DF= 3∶7.∴ DF=143. 11. (1) ∵ GF∥BC, ∴ DG BG= DF FC= 3 2. ∴ BG BD= 2 5. ∵ BD=20, ∴ BG=8. (2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD. ∴ △DMG∽△BAG. ∴ DM AB= DG BG. 由(1)知,DGBG= 3 2 , ∴ DM AB= 3 2. ∴ DM CD= 3 2. ∴ CM CD= 1 2. 12. ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC. ∵ DE=2,BC=6, ∴ AD AB= AE AC= DE BC= 2 6= 1 3. ∴ BD BA= 2 3 ,CE CA= 2 3. ∵ MN∥BC,DE∥BC, ∴ DE∥MN. ∴ △CDE∽△CMA. ∴ DE MA= CE CA ,即 2 MA= 2 3. ∴ MA=3. 同理,可得AN=3. ∴ MN=MA+AN=3+3=6. 13. 7∶2∶5 解析:∵ 四 边 形 ABCD 和四边形ACED 都是平行四 边形,∴ BC=AD=CE,AC∥DE. ∴ PB PR= BC CE =1 ,PC RE= BC BE= 1 2. ∵ PC∥DR,∴ △PCQ∽△RDQ. ∴ PQ QR= PC DR.∵ DR∶RE=5∶4, ∴ DR = 54RE.∴ PQ QR = PC DR = 1 2RE 5 4RE =25.∴ QR=52PQ.∴ BP= PR=PQ+QR=72PQ.∴ BP∶ PQ∶QR=72PQ∶PQ∶ 5 2PQ= 7∶2∶5. 14. (1) ∵ EF∥BD, ∴ △CFE∽△CDB. ∴ CF CD= EF BD. ∵ BD=12,EF=8, ∴ CF CD= 2 3. ∴ DF CD= 1 3. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD. ∴ DF AB= 1 3. (2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ DC∥AB,即DF∥AB. ∴ △DHF∽△BHA. ∴ FH AH= DF BA= 1 3. ∴ AH AF= 3 4. ∵ EF∥BD, ∴ △AHG∽△AFE. ∴ GH EF= AH AF= 3 4. ∵ EF=8, ∴ GH 8 = 3 4. ∴ GH=6. 第2课时 相似三角形的 判定定理1 1. C 2. C 3. 3 4. ∵ CB=CF, ∴ ∠B=∠CFB. ∵ ∠CFB=∠AFD, ∴ ∠B=∠AFD. ∵ AD⊥CD,∠ACB=90°, ∴ ∠D=∠ACB. ∴ △ADF∽△ACB. 5. D 解析:∵ 等腰三角形中的一个 50°的内角可能是顶角,也可能是底 角,∴ 都含有一个50°的内角的两个 等腰三角形不一定相似.故选项A不 符合题意.同理,选项B、C也不符合 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81