第二章 专题特训五 一元二次方程的其他应用-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

40 专题特训五　一元二次方程的其他应用 ▶ “答案与解析”见P20 类型一 数字问题 1. 一个两位数,它的十位上的数字比个位上的 数字小2,个位上的数字与十位上的数字的 平方和比这个数小1,求这个两位数. 2. 如图是某月的月历,用虚线方框任意圈出四 个数.请解答下列问题: (第2题) (1) 若虚线方框中最大数与最小数的乘积为 180,求最小数. (2) 虚线方框中最大数与最小数的乘积与这 四个数的和能为124吗? 若能,请求出最小 数;若不能,请说明理由. 类型二 传播问题 3. 为了宣传垃圾分类,小王写了一封 倡议书,用转发的方式传播,他设计 了如下的转发规则:将倡议书发表 在自己的某社交平台上,然后邀请x 个好友 转发,每个好友转发之后,又邀请x个互不相 同的好友转发,已知经过两轮转发,共有111人 参与了本次活动. (1) x的值是多少? (2) 再经 过 几 轮 转 发,参 与 人 数 会 超 过 10000? 4. 张老师自编了一套健美操,他先教会一些同 学,然后让学会健美操的同学每人教会相同 的人数,每人每轮教会的人数相同,经过两 轮,共有57人能做这套健美操,请问:每轮中 每人必须教会几人? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 41 类型三 单(双)循环问题 5. 毕业之际,某校九年级数学兴趣小组的同学 相约到同一家礼品店购买纪念品,每两名同 学都相互赠送一件礼品,礼品店共售出礼品 30件,则该兴趣小组的人数为多少? 6. 某旅游团旅游结束时,其中一位游客建议大 家互相握手道别,细心的小明发现,每两位游 客互握一次手,共握了45次手,该旅游团共 有多少位游客? 7. 某市要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形 式(每两队之间都赛一场),计划安排15场 比赛. (1) 应该邀请多少支球队参加比赛? (2) 若某支球队参加3场后,因故不参加以 后比赛,问:实际共比赛多少场? 类型四 说理问题 8. 某校在校园开辟了一块劳动教育基 地,一面利用学校的墙(墙的最大可 用长度为15m),用长为30m的篱 笆,围成矩形养殖园如图①所示,已知矩形的 边CD 靠墙,AD 和BC 与墙垂直. (1) 当围成的矩形养殖园面积为108m2 时, 求BC 的长. (2) 如图②,该校打算在养殖园饲养鸡、鸭、 鹅三种家禽,需要在中间多加上两道篱笆作 为隔离网,并与墙垂直,请问:此时养殖园的 面积能否达到100m2? 若能,求出AB 的长; 若不能,请说明理由. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　一元二次方程 答:剪去的正方形的边长为2cm. 第2课时 利润问题 与平均变化率问题 1. (50-x)(30+2x)=2100 2. 20% 3. 设每顶头盔应降价x元,则每顶头 盔的销售利润为(68-x-40)元,平 均每 周 的 销 售 量 为 100+x2 × 40 顶. 由题意,得(68-x-40) 100+x2× 40 =4000,解得x1=20,x2=3. ∵ 每顶售价不高于58元, ∴ x2=3不合题意,舍去. ∴ x=20. 答:每顶头盔应降价20元. 解决“每每型”问题的策略 “每每型”问题的特点是每当 一种量变化时,另一种量随之变 化.比较典型的是销售问题,其等 量关系为销售利润=单件利润× 销售数量=(起始售价±变化价 格-成本价)×(起始数量±变化 数量).注意“±”中“+”或“-”应 看具体情况.一般地,价格提高,销 售量随之减少,反之,价格降低,销 售量随之增加.例如:若价格每提 高a元,销售量减少b件,则价格 提高x元,销售量减少xa×b 件. 4. B 5. 24 解析:设每辆汽车的售价定为 x万元.由题意,得(x-15)[8+(25- x)÷0.5]=90,解得x1=20,x2=24. 当x=20时,总成本为15×[8+ (25-20)÷0.5]=270(万元),当x= 24时,总成本为15×[8+(25-24)÷ 0.5]=150(万元).∵ 270>150,∴ 为 使总成本尽可能低,每辆汽车的售价 应定为24万元. 6. (1) 设该商场投入资金的月增长 率为x. 依题意,得20(1+x)2=24.2,解得 x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题 意,舍去). 答:该 商 场 投 入 资 金 的 月 增 长 率 为10%. (2) 由题意,得24.2×(1+10%)= 26.62(万元). 答:预计该商场七月份投入资金将达 到26.62万元. 7. (1) 由题意,设y与x之间的函数 表达式为y=kx+b. 将(45,55),(55,45)代入,得 45k+b=55, 55k+b=45, ∴ k=-1, b=100. ∴ y 与x 之间的函数表达式为y= -x+100. (2) 不能. 理由:由题意,得x(-x+100)= 2600. 整理,得x2-100x+2600=0. ∴ Δ= (-100)2 -4×2600= 10000-10400=-400<0. ∴ 方程没有实数根. ∴ 该 商 品 日 销 售 额 不 能 达 到 2600元. 8. 设需要将采摘的黄瓜储藏x 天后 全部出售. 由题意,得(6+0.5x)(400-10x)- 40x-1600=1175,解得x1=5,x2= 15(不合题意,舍去). 答:需要将采摘的黄瓜储藏5天后全 部售出,该菜农可获得1175元的 利润. 9. (1) 设该市参加健身运动人数的 年平均增长率为x. 由题意,得32(1+x)2=50,解得 x1=0.25=25%,x2=-2.25(不合 题意,舍去). 答:该市参加健身运动人数的年平均 增长率为25%. (2) 设购买的这种健身器材的套数 为m. ∵ 240000÷1600=150(套), ∴ m>100. 由题意,得 m 1600-m-10010 × 40 =240000. 整理,得m2-500m+60000=0,解得 m1=200,m2=300. ∵ 最低售价不得少于1000元, ∴ 1600-m-10010 ×40≥1000 ,解得 m≤250. ∴ m=200. 答:购 买 的 这 种 健 身 器 材 的 套 数 为200. 专题特训五　一元二次 方程的其他应用 1. 设这个两位数的个位上的数字为 x,则十位上的数字为x-2. 依题意,得10(x-2)+x-1=x2+ (x-2)2. 整理,得2x2-15x+25=0,解得 x1=5,x2= 5 2 (不合题意,舍去). ∴ x-2=3. 答:这个两位数为35. 2. (1) 设最小数是x,则最大数是 x+8. 根据题意,得x(x+8)=180. 整理,得x2+8x-180=0,解得x1= 10,x2=-18(不合题意,舍去). 答:最小数是10. (2) 虚线方框中最大数与最小数的乘 积与这四个数的和不能为124. 理由:假设方框中最大数与最小数的 乘积与这四个数的和能为124,设最 小数为y,则另外三个数分别是y+ 1,y+7,y+8. 根据题意,得y(y+8)+y+(y+ 1)+(y+7)+(y+8)=124. 整理,得y2+12y-108=0,解得 y1=6,y2=-18(不合题意,舍去). ∵ y=6在最后一列, ∴ 假设不成立,即虚线方框中最大数 与最小数的乘积与这四个数的和不能 为124. 3. (1) 依题意,得1+x+x2=111. 整理,得x2+x-110=0,解得x1= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 10,x2=-11(不合题意,舍去). 答:x的值为10. (2) 三轮转发之后,参与人数为1+ 10+100+1000=1111,四轮转发之 后,参与人数为1+10+100+1000+ 10000=11111. ∵ 11111>10000, ∴ 再经过两轮转发,参与人数会超过 10000. 4. 设每轮中每人必须教会x人. 由题意,得1+x+x2=57,解得x1= 7,x2=-8(不合题意,舍去). 答:每轮中每人必须教会7人. 5. 设该兴趣小组的人数为x,则每名 同学需送出(x-1)件礼物. 依题意,得x(x-1)=30,解得x1= 6,x2=-5(不合题意,舍去). 答:该兴趣小组的人数为6. 6. 设该旅游团共有x位游客. 依题意,得1 2x (x-1)=45,解得 x1=-9(不合题意,舍去),x2=10. 答:该旅游团共有10位游客. 7. (1) 设应该邀请x 支球队参加 比赛. 依题意,得1 2x (x-1)=15,解得 x1=6,x2=-5(不合题意,舍去). 答:应该邀请6支球队参加比赛. (2) 3+12×5×4=13 (场). 答:实际共比赛13场. 8. (1) 设AB 的长为xm. ∵ 篱笆的总长为30m, ∴ BC的长为30-x2 m. 根据题意,得x·30-x2 =108. 整理,得x2-30x+216=0,解得 x1=12,x2=18(不合题意,舍去). ∴ 30-x 2 = 30-12 2 =9. 答:BC的长为9m. (2) 养殖园的面积不能达到100m2. 理由:假 设 养 殖 园 的 面 积 能 达 到 100m2. 设AB 的长为y m,则 BC 的长为 30-y 4 m. 根据题意,得y· 30-y 4 =100. 整理,得y2-30y+400=0. ∵ Δ=(-30)2-4×1×400= -700<0, ∴ 原方程没有实数根. ∴ 假设不成立,即养殖园的面积不能 达到100m2. 第二章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 (1) 移项,得4x2-(x+ 2)2=0. ∴ (2x+x+2)(2x-x-2)=0. ∴ 2x+x+2=0或2x-x-2=0. ∴ x1=- 2 3 ,x2=2. (2) ∵ Δ=32-4×3×(-1)= 21>0, ∴ x=-3± 216 . ∴ x1= -3+ 21 6 ,x2= -3- 21 6 . [变式] (1) 移项,得3x(2x+1)- 2(2x+1)=0. 分解因式,得(2x+1)(3x-2)=0. ∴ 2x+1=0或3x-2=0. ∴ x1=- 1 2 ,x2= 2 3. (2) 移项,得x2+12x=-25. 配方,得x2+12x+36=-25+36,即 (x+6)2=11. 开方,得x+6=± 11. ∴ x1=-6+ 11,x2=-6- 11. (3) 对于2x2-7x+2=0,a=2, b=-7,c=2. ∵ b2-4ac=(-7)2-4×2×2= 49-16=33>0, ∴ x= 7± 33 4 ,即x1= 7+ 33 4 , x2= 7- 33 4 . 典例2 ∵ 原方程有两个相等的实数根, ∴ k≠0且Δ=0,即16k2-4k(k- 5)=0. ∴ k=-53 或k=0(不合题意,舍去). ∴ 原方程可化为-53x 2+203x- 20 3=0 ,即x2-4x+4=0. ∴ (x-2)2=0. ∴ x1=x2=2. [变式] D 解析:∵ 关于x 的一元 二次方程(m-1)x2+2x-3=0有实 数根,∴ Δ=22-4(m-1)×(-3)≥ 0,m-1≠0.∴ m≥23 且m≠1. 典例3 存在. 设方程的两个实数根为x1,x2,则 x1+x2=2(m+2),x1x2=m2-5. ∴ x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2= 2m2+16m+26. 令2m2+16m+26=44,即 m2+ 8m-9=0,解得m1=1,m2=-9. ∵ 方程x2-2(m+2)x+m2-5=0 有实数根, ∴ Δ=16m+36≥0,即m≥-94. ∴ m=1. [变式] ∵ m 是方程x2-5x+2=0 的实数根, ∴ m2-5m+2=0. ∴ m2=5m-2. ∴ m2-4m+n+mn=5m-2-4m+ n+mn=m+n+mn-2. 根据根与系数的关系,得m+n=5, mn=2, ∴ m2-4m+n+mn=5+2-2=5. 典例4 (1) 根据题意,得(360- 280)×60=80×60=4800(元). 答:降价前商场每月销售该商品的利 润是4800元. (2) 设每件商品降价m 元,则每件的 销售利润为(360-m-280)元,每月 可售出(60+5m)件. 根据题意,得(360-m-280)(60+ 5m)=7200. 整理,得 m2-68m+480=0,解得 m1=8,m2=60. 又∵ 要有利于减少库存, ∴ m=60. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12