第二章 6 应用一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

36 6　应用一元二次方程 第1课时 几何问题与古代趣题 ▶ “答案与解析”见P19 1. 如图,四边形ABCD、四边形EBGF、四边形 HNQD 均为正方形,BG,NQ,BC 的长分别 是某个直角三角形的三边长,其中BC 的长 是斜边长.若HM∶EM=8∶9,HD=2,则 AB 的长为 ( ) A. 11 4 B. 29 10 C. 3 D. 22 (第1题) (第2题) 2. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=13, BC=9,点P 从点B 出发向终点C 以每秒 1个单位长度的速度移动,点Q 从点C 出发 向终点A 以每秒2个单位长度的速度移动, P,Q 两点同时出发,其中一点先到达终点时 P,Q 两点同时停止移动.经过 秒, △PCQ 的面积等于8. 3. 如图,在矩形ABCD 中,AB=6cm,AD= 2cm,动点P,Q 分别从点A,C 同时出发,点 P 以2cm/s的速度向终点B 移动,点Q 以 1cm/s的速度向点D 移动,当有一点到达终 点时,另一点也停止移动.经过多长时间,点 P,Q 之间的距离是3cm? (第3题) 4. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问 题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株 脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意如下: 现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文. 如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽 后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱. 这批椽的数量为 株. (第5题) 5. 新考法·动点探究题 如图,在Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=30cm,BC= 25cm.动点P 从点C 出发,沿CA 方向运动至点A,速度是2cm/s;同时,动点 Q 从点B 出发,沿BC 方向运动至点C,速度 是1cm/s.设运动时间为ts(0<t≤15). (1) s后△PCQ 是等腰三角形. (2) 几秒后P,Q 两点相距25cm? (3) 设△CPQ 的面积为S1cm2,△ABC 的面 积为S2cm2,在运动过程中是否存在某一时 刻,使得S1∶S2=2∶5? 若存在,求出点P 运动的时间;若不存在,请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 37 6. 如图,有一块长为10、宽为4的矩形塑料模板 ABCD,将足够大的直角三角尺PHF 的直 角顶点P 落在边AD 上(不与点A,D 重 合),在AD 上适当移动三角尺的顶点P,则 能否使三角尺的两直角边分别经过点B,C? 若能,请求此时AP 的长;若不能,请说明 理由. (第6题) 7. 如图,一艘轮船以40km/h的速度由西向东 航行,在途中点C 处接到台风警报,台风中 心点B 正以20km/h的速度由南向北移动. 已知距台风中心200km的区域(包括边界) 都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报 时,测得BC=500km,AB=300km(假定轮 船不改变航向). (1) 经过11h后轮船与台风中心相距多远? 此时轮船是否受到台风的影响? (2) 如果这艘轮船受到台风的影响,求轮船 受到台风影响的时间. (第7题) 8. 综合实践———用矩形硬纸片制作无 盖纸盒.如图①,有一张长30cm、宽 16cm的矩形硬纸片,裁去角上同样 大小的四个正方形之后,折成如图②所示的 无盖纸盒(硬纸片厚度忽略不计). (第8题) (1) 若剪去的正方形的边长为2cm,则纸 盒底 面 矩 形 的 长 为 cm,宽 为 cm. (2) 若纸盒的底面积为240cm2,请计算剪去 的正方形的边长. (3) 如图③,小明先在原矩形硬纸片的两个 角各剪去一个同样大小的正方形,经过思考 他发现,再剪去两个同样大小的矩形后,可将 剩余部分折成一个有盖纸盒(剪去部分为涂 色部分).若折成的有盖长方体纸盒的表面积 为412cm2,请计算剪去的正方形的边长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　一元二次方程 38 第2课时 利润问题与平均变化率问题 ▶ “答案与解析”见P20 1. 商场某种商品平均每天可售出30件,每件盈 利50元,为了尽快减少库存,商场决定采取 适当降价措施,经调查发现,每件商品每降价 1元,商场平均每天可多售出2件.若商场销 售该商品的日盈利要达到2100元,则每件商 品应降价多少元? 设每件商品降价x 元,依 题意可列方程为 . 2. 新考向·地域文化 糜子黄酒是陕北人民在整 理、挖掘、继承民间酿酒工艺的基础上,采用 最新技术和现代理化分析手段研制开发的一 种风味独特的新型保健酒,因其香气浓郁、入 口微甜、后味醇厚,以及极高营养价值,深受 省内外人们的喜欢.某超市去年10月糜子黄 酒的销量为150瓶,经过两个月的连续增长, 到12月糜子黄酒的销量达到了216瓶,则该 超市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率 为 . 3. ★平安路上,多“盔”有你.在“交通安全宣传 月”期间,某商店销售一批头盔,进价为每顶 40元,售价为每顶68元,平均每周可售出 100顶.商店计划将头盔降价销售,每顶售价 不高于58元,经调查发现:每降价2元,平均 每周可多售出40顶.若该商店希望平均每周 获得4000元的销售利润,则每顶头盔应降价 多少? 4. 某厂家2025年1~5月的自行车产 量统计图如图所示,3月自行车产量 不小心被墨汁覆盖.若2月到4月 该厂家自行车产量的月增长率相同,则3月 自行车产量为 ( ) (第4题) A. 218辆 B. 240辆 C. 256辆 D. 272辆 5. 某汽车4S店销售某种型号的汽车,每辆进价 为15万元,该店经过一段时间的市场调研发 现:当每辆汽车的售价为25万元时,平均每 周能售出8辆,而当每辆汽车的售价每降低 0.5万元时,平均每周能多售出1辆.若该 4S店要想平均每周的销售利润为90万元, 并且使总成本尽可能低,则每辆汽车的售价 应定为 万元. 6. (2024·西藏)某商场响应国家消费品以旧换 新的号召,开展了家电惠民补贴活动.四月份 投入资金20万元,六月份投入资金24.2万 元,现假定每月投入资金的增长率相同. (1) 求该商场投入资金的月增长率. (2) 按照这个增长率,预计该商场七月份投 入资金将达到多少万元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 39 7. (2024·辽宁)某商场出售一种商品,经市场 调查发现,日销售量y(件)与每件售价 x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如 下表: 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … (1) 求y与x 之间的函数表达式(不要求写 出自变量x的取值范围). (2) 该商品日销售额能否达到2600元? 如 果能,求出每件售价;如果不能,请说明理由. 8. 某菜农投资1600元种植大棚黄瓜,春节期 间,共采摘黄瓜400千克,当天就可以按 6元/千克的价格售出.若将所采摘的黄瓜先 储藏起来,则其质量每天损失10千克,且每 天需支付各种费用共40元,但每天每千克的 价格能上涨0.5元(储藏时间不超过10天). 需要将采摘的黄瓜储藏多少天后全部售出, 该菜农可获得1175元的利润? 9. (2024·淄博)“我运动,我健康,我 快乐!”随着人们对身心健康的关注 度越来越高,某市参加健身运动的 人数逐年增多,从2021年的32万人增加到 2023年的50万人. (1) 求该市参加健身运动人数的年平均增 长率. (2) 为支持市民的健身运动,市政府决定从 某公司购买某种套装健身器材.该公司规定: 若购买不超过100套,每套售价1600元;若 超过100套,每增加10套,每套售价可降低 40元,但最低售价不得少于1000元.已知市 政府向该公司支付货款24万元,求购买的这 种健身器材的套数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　一元二次方程 ∴ m≤15.∴ 13<m≤15. 8. (1) ∵ 关于x 的方程x2-4x+ k+1=0有两个实数根, ∴ Δ=(-4)2-4(k+1)=-4k+ 12≥0. ∴ k≤3. (2) 依题意,得x1+x2=4,x1x2= k+1. ∵ 3 x1+ 3 x2=x1x2-4 , ∴ 3(x1+x2) x1x2 =x1x2-4. ∴ 3×4 k+1=k+1-4. ∴ k1=5,k2=-3. 又∵ k≤3, ∴ k=-3. 6　应用一元二次方程 第1课时 几何问题与古代趣题 1. B 解析:∵ HM∶EM=8∶9, ∴ 设HM=8x,EM=9x.∵ 四边形 ABCD、四 边 形 EBGF、四 边 形 HNQD 均为正方形,∴ HD=NQ= 2,BG=BE,BC=AD=AB.由题意, 得AH=EM=9x,AE=HM=8x, ∴ AB=BC=AD=9x+2.∴ BG= BE=AB-AE=9x+2-8x=x+2. ∵ BG,NQ,BC的长是某个直角三角 形的三边长,其中BC 的长是斜边长, ∴ BG2+NQ2=BC2.∴ (x+2)2+ 22=(9x+2)2,解得x=110 (负值舍 去).∴ AB=9×110+2= 29 10. 2. 1 解析:设移动时间为t秒,则 0≤t≤132 ,BP=t,CQ=2t.∴ CP= BC-BP=9-t.由题意,得12 (9- t)·2t=8,整理,得t2-9t+8=0,解 得t1=1,t2=8(不合题意,舍去). ∴ 经过1秒,△PCQ 的面积等于8. 3. 设移动时间为ts. 由题意,得AP=2tcm,CQ=tcm,易 知0≤t≤3. 当AP+CQ=AB=6cm时,2t+t= 6,解得t=2. 分两种情况讨论: 当0≤t<2时,如图①,过点Q 作 QE⊥AB 于点E. ∴ ∠PEQ=∠BEQ=90°. ∵ 在矩形ABCD 中,∠B=∠C=90°, ∴ 四边形BCQE 是矩形. ∴ QE=BC=2cm,BE=CQ=tcm. ∵ AP=2tcm, ∴ PE=6-2t-t=(6-3t)cm. 在 Rt△PQE 中,由 勾 股 定 理,得 PE2+QE2=PQ2,即(6-3t)2+4= 9,解得t=6+53 (不合题意,舍去)或 t=6-53 . 当2<t≤3时,如图②,过点P 作 PE⊥CD 于点E, ∴ ∠PEQ=∠PEC=90°. ∵ ∠B=∠C=90°, ∴ 四边形BCEP 是矩形. ∴ PE=BC=2cm,BP=CE=(6- 2t)cm. ∵ CQ=tcm, ∴ QE=t-(6-2t)=(3t-6)cm. 在 Rt△PEQ 中,由 勾 股 定 理,得 QE2+PE2=PQ2,即(3t-6)2+4= 9,解得t= 6+5 3 或t= 6-5 3 (不合 题意,舍去). 综上所述,经过6+5 3 s 或6-5 3 s ,点 P,Q 之间的距离是3cm. (第3题) 4. 46 解析:设这批椽的数量为 x株,则每株椽的价格为3(x-1)元. 依题意,得3(x-1)x=6210.整理, 得x2-x-2070=0,解得x1=46, x2=-45(不合题意,舍去).∴ 这批 椽的数量为46株. 5. (1) 25 3. (2) 由题意,得CP=2tcm,CQ= (25-t)cm. 由题意,得(2t)2+(25-t)2=252,解 得t1=10,t2=0(不合题意,舍去). ∴ 10s后P,Q 两点相距25cm. (3) 存在. 由题意,易得S1= 1 2×2t× (25- t)=-t2+25t,S2= 1 2×30×25=375. ∵ S1∶S2=2∶5, ∴ 5(-t2+25t)=375×2,解得t1= 10,t2=15. ∴ 点P 运动的时间为10s或15s. 6. 能. 设AP=x,则PD=10-x,PB2 = x2 +16,PC2 =(10-x)2+16. ∵ 在 Rt△BPC 中,PB2 +PC2 = BC2, ∴ x2+16+(10-x)2+16=100,即 x2-10x+16=0,解 得 x1 =2, x2 =8. ∴ 能使三角尺的两直角边分别经过 点B,C,此时AP 的长为2或8. 7. (1) ∵ BC =500km,AB = 300km, ∴ AC= BC2-AB2=400km. ∵ (11×40-400)2+(300-11×20)2= 405(km),405<200, ∴ 经过11h后轮船与台风中心相距 405km,此时轮船受到台风的影响. (2) 设这艘轮船航行的时间为th. 由题意,得(400-40t)2+(300- 20t)2=2002,解得t1=7,t2=15. ∴ 轮船受到台风影响的时间为15- 7=8(h). 8. (1) 26;12. (2) 设剪去的正方形的边长为xcm. 根据题意,得(30-2x)(16-2x)= 240,解得x1=20(不合题意,舍去), x2=3. 答:剪去的正方形的边长为3cm. (3) 设剪去的正方形的边长为ycm. 根据题意,得30×16-2y2-2· 30y 2 =412 ,解得y1=-17(不合题意, 舍去),y2=2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 答:剪去的正方形的边长为2cm. 第2课时 利润问题 与平均变化率问题 1. (50-x)(30+2x)=2100 2. 20% 3. 设每顶头盔应降价x元,则每顶头 盔的销售利润为(68-x-40)元,平 均每 周 的 销 售 量 为 100+x2 × 40 顶. 由题意,得(68-x-40) 100+x2× 40 =4000,解得x1=20,x2=3. ∵ 每顶售价不高于58元, ∴ x2=3不合题意,舍去. ∴ x=20. 答:每顶头盔应降价20元. 解决“每每型”问题的策略 “每每型”问题的特点是每当 一种量变化时,另一种量随之变 化.比较典型的是销售问题,其等 量关系为销售利润=单件利润× 销售数量=(起始售价±变化价 格-成本价)×(起始数量±变化 数量).注意“±”中“+”或“-”应 看具体情况.一般地,价格提高,销 售量随之减少,反之,价格降低,销 售量随之增加.例如:若价格每提 高a元,销售量减少b件,则价格 提高x元,销售量减少xa×b 件. 4. B 5. 24 解析:设每辆汽车的售价定为 x万元.由题意,得(x-15)[8+(25- x)÷0.5]=90,解得x1=20,x2=24. 当x=20时,总成本为15×[8+ (25-20)÷0.5]=270(万元),当x= 24时,总成本为15×[8+(25-24)÷ 0.5]=150(万元).∵ 270>150,∴ 为 使总成本尽可能低,每辆汽车的售价 应定为24万元. 6. (1) 设该商场投入资金的月增长 率为x. 依题意,得20(1+x)2=24.2,解得 x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题 意,舍去). 答:该 商 场 投 入 资 金 的 月 增 长 率 为10%. (2) 由题意,得24.2×(1+10%)= 26.62(万元). 答:预计该商场七月份投入资金将达 到26.62万元. 7. (1) 由题意,设y与x之间的函数 表达式为y=kx+b. 将(45,55),(55,45)代入,得 45k+b=55, 55k+b=45, ∴ k=-1, b=100. ∴ y 与x 之间的函数表达式为y= -x+100. (2) 不能. 理由:由题意,得x(-x+100)= 2600. 整理,得x2-100x+2600=0. ∴ Δ= (-100)2 -4×2600= 10000-10400=-400<0. ∴ 方程没有实数根. ∴ 该 商 品 日 销 售 额 不 能 达 到 2600元. 8. 设需要将采摘的黄瓜储藏x 天后 全部出售. 由题意,得(6+0.5x)(400-10x)- 40x-1600=1175,解得x1=5,x2= 15(不合题意,舍去). 答:需要将采摘的黄瓜储藏5天后全 部售出,该菜农可获得1175元的 利润. 9. (1) 设该市参加健身运动人数的 年平均增长率为x. 由题意,得32(1+x)2=50,解得 x1=0.25=25%,x2=-2.25(不合 题意,舍去). 答:该市参加健身运动人数的年平均 增长率为25%. (2) 设购买的这种健身器材的套数 为m. ∵ 240000÷1600=150(套), ∴ m>100. 由题意,得 m 1600-m-10010 × 40 =240000. 整理,得m2-500m+60000=0,解得 m1=200,m2=300. ∵ 最低售价不得少于1000元, ∴ 1600-m-10010 ×40≥1000 ,解得 m≤250. ∴ m=200. 答:购 买 的 这 种 健 身 器 材 的 套 数 为200. 专题特训五　一元二次 方程的其他应用 1. 设这个两位数的个位上的数字为 x,则十位上的数字为x-2. 依题意,得10(x-2)+x-1=x2+ (x-2)2. 整理,得2x2-15x+25=0,解得 x1=5,x2= 5 2 (不合题意,舍去). ∴ x-2=3. 答:这个两位数为35. 2. (1) 设最小数是x,则最大数是 x+8. 根据题意,得x(x+8)=180. 整理,得x2+8x-180=0,解得x1= 10,x2=-18(不合题意,舍去). 答:最小数是10. (2) 虚线方框中最大数与最小数的乘 积与这四个数的和不能为124. 理由:假设方框中最大数与最小数的 乘积与这四个数的和能为124,设最 小数为y,则另外三个数分别是y+ 1,y+7,y+8. 根据题意,得y(y+8)+y+(y+ 1)+(y+7)+(y+8)=124. 整理,得y2+12y-108=0,解得 y1=6,y2=-18(不合题意,舍去). ∵ y=6在最后一列, ∴ 假设不成立,即虚线方框中最大数 与最小数的乘积与这四个数的和不能 为124. 3. (1) 依题意,得1+x+x2=111. 整理,得x2+x-110=0,解得x1= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02