第二章 2 用配方法求解一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

28 2　用配方法求解一元二次方程 第1课时 二次项系数为1的配方 ▶ “答案与解析”见P16 1. (2024·东 营)用配方法解一元二次方程 x2-2x-2023=0,将它转化为(x+a)2=b 的形式,则ab 的值为 ( ) A. -2024 B. 2024 C. -1 D. 1 2. 新考法·过程性学习 用配方法解一元二次方 程x2-2x=35时,步骤如下:① x2-2x+ 1=36;② (x-1)2=36;③ x-1=±6; ④ x=±7,即x1=7,x2=-7.其中,开始出 现错误的步骤是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 小兵同学用配方法解方程x2-8x=5时,先 在方程的两边加上 ,配方的结果为 . 4. 将一元二次方程x2+8x+13=0通过配方转 化成(x+n)2=p 的形式(n,p 为常数),则 n= ,p= ,此方程的根为 . 5. 用配方法解下列方程: (1) x2-4x=2. (2) x2-5x+4=0. (3) x2-23x+ 2 3=0. 6. 若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配 方后得到方程(x+3)2=2c,则c的值为 ( ) A. -3 B. 0 C. 3 D. 9 7. ★已知M=a-1,N=a2-a(a为任 意实数),则M,N 的大小关系为 ( ) A. M≤N B. M=N C. M>N D. 无法确定 8. 整体思想 若(2x+3y)2+2(2x+3y)-4=0, 则2x+3y的值为 . (第9题) 9. 如图所示为一块矩形土地,其长为 xm,宽为120m,开发商将它分成 甲、乙、丙三个区域,其中甲和乙为 正方形.现计划在甲区域建设住宅区,在乙区 域建设商场,在丙区域建设公园.已知丙区域 的面积为3200m2,求x的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 29 第2课时 二次项系数不为1的配方 ▶ “答案与解析”见P16 1. 在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配 方,如图所示为小思和小博的做法.对于两人 的做法,说法正确的是 ( ) (第1题) A. 两人都正确 B. 小思正确,小博不正确 C. 小思不正确,小博正确 D. 两人都不正确 2. 新考法·过程性学习 将一元二次方程3x2- 6x-2=0配方,得(x-1)2= ;开 方,得x-1= ,解得x1= , x2= . 3. 用配方法解方程: (1) 2x2-4x+1=0. (2) 3x2-3x+14=0. (3) 5x2-2x-12=0. (4) (2x+1)2+(x+1)2=13. 4. 用配方法解一元二次方程2x2-2x-1=0, 估计较大实数根在两个相邻的整数之间,这 两个整数是 ( ) A. 3,4 B. 2,3 C. 1,2 D. 0,1 5. 已知点(5-3k2,6k+3)在第二、四象限的角 平分线上,则k的值为 . 6. 当x= 时,代数式5x2+7x+1和代 数式x2-9x+15的值相等. 7. 新考法·阅读理解 先仔细阅读材料, 再解决问题: 通过对实数的学习,我们知道 x2≥0,根据完全平方公式(a±b)2=a2± 2ab+b2,可得完全平方公式的值为非负数. 这一性质在数学中有着广泛的应用,例如:求 多项式2x2+8x-3的最小值时,我们可以 这样处理: 解:原式=2(x2+4x)-3=2(x2+2x·2+ 22-22)-3=2(x+2)2-11. ∵ 2(x+2)2≥0, ∴ 2(x+2)2-11≥0-11. ∴ 当x=-2时,2(x+2)2-11的值最小, 为-11,即多项式2x2+8x-3的最小值为 -11. 请根据上面的解题思路,求: (1) 多项式3x2-6x+2的最小值,并写出对 应的x的值. (2) 多项式4-x2+2x的最大值. (3) 多项式x2+2x+y2-4y+9的最小值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　一元二次方程拍 照 批 改 2　用配方法求解一元二次方程 第1课时 二次项系数为1的配方 1. D 2. D 3. 16 (x-4)2=21 4. 4 3 x1= -4+ 3,x2 = -4-3 5. (1) x1=2+6,x2=2-6. (2) x1=4,x2=1. (3) 原方程没有实数根. 6. C 解析:由x2+6x+c=0,整理, 得(x+3)2=-c+9.∵ (x+3)2= 2c,∴ 2c=-c+9,解得c=3. 7. A 解析:N-M=a2-a-a+ 1=a2-2a+1=(a-1)2≥0, ∴ N≥M. 巧用配方法比较 两个整式大小的方法 先将两个整式作差化简得一 个多项式,再利用配方法将这个多 项式中的二次项和一次项进行配 方变形后,可将多项式化为一个完 全平方式和一个常数的和的形式, 再根据m2≥0可得出该多项式的 正负性,进而比较大小. 8. -1±5 解析:设t=2x+3y,则 原方程可化为t2+2t-4=0,配方,得 t2+2t+1=5,即(t+1)2=5,开方, 得t+1=± 5,即t=-1± 5. ∴ 2x+3y的值为-1±5. 9. 由题意,得(x-120)[120-(x- 120)]=3200,即 x2 -360x + 32000=0. ∴ (x-180)2=202,解得x1=200, x2=160. ∴ x的值为200或160. 第2课时 二次项系数 不为1的配方 1. A 2. 5 3 ± 15 3 1+ 15 3 1- 153 3. (1) x1=1+ 2 2 ,x2=1- 2 2. (2) x1= 3+6 6 ,x2= 3-6 6 . (3) x1= 62 5 ,x2=-2. (4) x1=1,x2=- 11 5. 4. C 5. 3+ 33 3 或3- 33 3 6. -4+ 30 2 或-4- 30 2 解析:由 题意,得5x2+7x+1=x2-9x+15. 整理,得4x2+16x-14=0,即x2+ 4x- 72 =0.∴ (x+2)2 =152. ∴ x1= -4+ 30 2 ,x2= -4- 30 2 . 7. (1) 原式=3(x2-2x)+2= 3(x2-2x+1-1)+2=3(x- 1)2-1. ∵ 3(x-1)2≥0, ∴ 3(x-1)2-1≥0-1. ∴ 当x=1时,3(x-1)2-1的值最 小,为-1,即多项式3x2-6x+2的 最小值为-1,对应的x的值为1. (2) 原式=-(x-1)2+5. ∵ -(x-1)2≤0, ∴ -(x-1)2+5≤0+5. ∴ 当x=1时,-(x-1)2+5的值最 大,为5,即多项式4-x2+2x的最大 值为5. (3) 原式=(x+1)2+(y-2)2+4. ∵ (x+1)2≥0,(y-2)2≥0, ∴ 当(x+1)2=0,(y-2)2=0,即 x=-1,y=2时,(x+1)2+(y- 2)2+4的值最小,为4,即多项式 x2+2x+y2-4y+9的最小值为4. 3　用公式法求解 一元二次方程 第1课时 公式法与根的判别式 1. D 2. D 3. 13 5+ 132 5- 13 2 4. c>1 5. (1) x1=-2,x2= 1 3. (2) y1= 4+ 22 3 ,y2= 4- 22 3 . (3) x1=x2=-2. 用公式法解一元二次方程的 两个注意点 用公式法解一元二次方程是 配方法的深入,是将配方法一般 化、模型化.用此方法需要注意: (1) 必须先把方程化为一般形式, 以便准确确定a,b,c的值;(2) 用 公式法解方程的条件是b2-4ac≥ 0,其中当b2-4ac>0时,方程有两 个不相等的实数根;当b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根.注 意一元二次方程若有根,就有两个, 不要把两个相等的根当成一个. 6. D 解析:根据题意,得16-4(m- 2)×2≥0,且m-2≠0,解得m≤4且 m≠2. 忽略二次项系数不为0致错 根据一元二次方程有实数根 求字母的取值范围时,若题目中说 明方程为一元二次方程,且二次项 系数中含有字母,则需要考虑两个 限制条件:一是二次项系数不为0; 二是根的判别式大于或等于0,以 避免解答不全. 7. D 解析:当k-1≠0,即k≠1时, 此方程为一元二次方程.∵ 关于x的 方程(k-1)2x2+(2k+1)x+1=0 有实数根,∴ Δ=(2k+1)2-4×(k- 1)2×1=12k-3≥0,解得k≥14. 当 k-1=0,即k=1时,方程为3x+1= 0,显然有解.综上所述,k的取值范围 是k≥14. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61