第二章 1 认识一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

26 1　认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程 ▶ “答案与解析”见P15 1. 下列方程中,属于关于x 的一元二次方程 的是 ( ) A. x2+1x=2 B. x2+y2=1 C. ax2-1=0 D. 2x2=1 2. 若方程(m+3)x|m+1|-4x+1=0是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 ( ) A. 1 B. -3 C. ±1 D. -3或1 3. 把一元二次方程(x-2)2=5化成一般形式 为 . 4. 球迷小张与小李参与了转发集赞活动,已知 两人集赞的个数是两个相邻的偶数,且两数 之积为960.若设较大的偶数为x,则可列方 程为 ,是 (填“一元一 次”“一元二次”或“二元一次”)方程. 5. 易错题 判断下列方程是不是一元二次方程, 若是,请化成一般式,并指出它们的二次项系 数、一次项系数和常数项. (1) 3y=4y(2-y). (2) x2(3+x)+1=5x. (3) 3+2m2=2(2m-3). (第6题) 6. 转化思想 如图,矩形ABCD 为 学校教学楼区域的平面示意图, 其中的涂色部分为“弓”字形楼 体.“弓”字形各部分的宽度均相 同.已知AB 的长为80米,AD 的长为200米,空地面积是整个 矩形ABCD 区域面积的70%.若设“弓”字形 楼体各部分的宽度为x 米,则x 应满足的方 程是 ( ) A. (80-x)(200-4x)=80×200×70% B. (80-x)(200-4x)=80×200×(1- 70%) C. (80-2x)(200-4x)=80×200×70% D. (80-2x)(200-4x)=80×200×(1- 70%) 7. 若关于x 的一元二次方程(m-3)x2+ m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项, 则m 的值为 . 8. 已知关于x 的方程2mx2-mx- x2+m+2=0. (1) 当m 为何值时,此方程是一元 一次方程? (2) 当m 满足什么条件时,此方程是一元二 次方程? 请写出一元二次方程的二次项系 数、一次项系数及常数项. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　一元二次方程 27 第2课时 一元二次方程的解 ▶ “答案与解析”见P15 1. 探索方程x2+12x-15=0的正数解的过程 如下表: x 0 0.5 1 1.5 2 x2+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 可以看出方程的正数解应在a和b之间,则 a,b分别是 ( ) A. 0,0.5 B. 0.5,1 C. 1,1.5 D. 1.5,2 2. (2024·南充)已知m 是方程x2+4x-1=0 的一 个 根,则 (m +5)(m -1)的 值 为 . 3. 新考法·过程性学习 填写表格,并回答问题: (1) x 0 1 2 2x2-1 由表可知,方程2x2-1=0在x>0时的解在 与 之间. (2) x 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 2x2-1 由表可知,方程2x2-1=0在x>0时的解在 与 之间. (3) 由(1)(2)类推,求出方程2x2-1=0在 x>0时的近似解(结果精确到0.01). 4. 我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二 次方程的近似解,即找出使方程成立的一个 初始范围,在该范围内提高精确度,得到一个 新的范围,再对新的范围进行操作.例如:在 求(x-10)(x-20)=140时,根据以下表格, 可知道其中一个解的大致范围是 ( ) x 20 22.5 25 26.25 (x-10)(x-20) 0 31.25 75101.5625 x 27.5 28.75 30 … (x-10)(x-20)131.25164.0625200 … A. 20<x<22.5 B. 26.25<x<27.5 C. 27.5<x<28.75 D. 28.75<x<30 5. 观察下表,从表中得出方程5x2- 24x+28=0的一个根是 , 另一个根的范围是 . x 0 0.5 1 1.5 2 5x2-24x+28 28 17.25 9 3.25 0 x 2.5 3 3.5 4 … 5x2-24x+28 -0.75 1 5.25 12 … 6. 对于向上抛的物体,在没有空气阻力的条件 下,满足如下关系:h=vt-12gt 2.其中,hm 是物体离抛出点所在平面的高度,vm/s是 物体的初速度,gm/s2 是重力加速度(g 取 10),ts是物体抛出后所经过的时间.如果将 一物体以25m/s的初速度向上抛,那么几秒 后它在离抛出点20m高的地方? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　一元二次方程拍 照 批 改 CD,∴ 2 2x+ 6 6x=32.∴ x=9- 33.∴ MD=9-33. (第7题) 8. (1) 选择不唯一,如选思路一. 如图①,由旋转,得P'B=PB=2, ∠PBP'=90°,P'A=PC=3. ∴ PP'= PB2+P'B2=22,易得 ∠P'PB=45°. ∴ PA2+PP'2=12+(2 2)2= 9=P'A2. ∴ △APP' 是 直 角 三 角 形,且 ∠APP'=90°. ∴ ∠APB=90°+45°=135°. (2) 如图②,将△BPC 绕点B 按逆时 针方向旋转90°,得到△BP'A,连 接PP'. ∴ P'B=PB=1,∠PBP'=90°, P'A=PC= 11. ∴ PP'= PB2+P'B2 = 2,易得 ∠P'PB=45°. ∴ PA2+PP'2=32+(2)2=11= P'A2. ∴ △APP' 是 直 角 三 角 形,且 ∠APP'=90°. ∴ ∠APB=90°-45°=45°. ① ② (第8题) 第二章　一元二次方程 1　认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程 1. D 2. A 3. x2-4x-1=0 4. x(x-2)=960 一元二次 5. (1) 整理,得4y2-5y=0,是一元 二次方程,二次项系数为4,一次项系 数为-5,常数项为0. (2) 整理,得x3+3x2-5x+1=0,不 是一元二次方程. (3) 整理,得2m2-4m+9=0,是一 元二次方程,二次项系数为2,一次项 系数为-4,常数项为9. 忽视系数应包括前面的符号致错 判断一个方程是否为一元二 次方程,首先看方程是否为整式方 程,若不是整式方程,则直接排除; 若是,则进行化简,看方程是否同 时满足“一元”“二次”“二次项的系 数非零”,这几个条件缺一不可.不 能忽视各项系数应包括前面的符 号的要求,否则将会把一次项系数 和常数项的符号弄错. 6. A 7. -3 解析:原方程可化为(m- 3)x2+(m2-9)x-5=0.由题意,得 m-3≠0,m2-9=0,解得m=-3. 8. 原方程可化为(2m-1)x2-mx+ m+2=0. (1) 当2m-1=0且-m≠0,即m= 1 2 时,此方程是一元一次方程. (2) 当2m-1≠0,即m≠12 时,此方 程是一元二次方程,二次项系数是 2m-1,一次项系数是-m,常数项是 m+2. 第2课时 一元二次方程的解 1. C 2. -4 3. (1) -1;1;7;0;1. (2) -0.5;-0.28;-0.02;0.28; 0.62;0.7;0.8. (3) 由(1)(2),可知方程2x2-1=0 在x>0时的解在0.7与0.8之间,且 靠0.7更近一些.继续列表如下: x 2x2-1 0.7 -0.02 0.71 0.008 2 0.72 0.036 8 0.73 0.065 8 0.74 0.095 2 由表,可知方程2x2-1=0在x>0 时的近似解为0.71. 4. C 5. x=2 2.5<x<3 解析:根据表 格中的数据,可以发现:当x=2时, 5x2-24x+28=0,∴ 方程5x2- 24x+28=0的一个根是x=2.又 ∵ 当x=2.5时,5x2-24x+28= -0.75,当x=3时,5x2-24x+28= 1,∴ 一元二次方程5x2-24x+28= 0的另一个根的范围是2.5<x<3. 6. 由题意,得20=25t-12×10t 2, 即-5t2+25t-20=0,化简,得t2- 5t+4=0(t>0). 列表如下: t 1 2 3 4 5 t2-5t+4 0 -2 -2 0 4 由表,可知1s或4s后它在离抛出点 20m高的地方. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51