第一章 2 矩形的性质与判定-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

∵ 四边形ACFD 是菱形, ∴ DE=CE=12CD= 5 2 ,AE=FE. ∵ ∠DEF=90°,DF=132 , ∴ FE = DF2-DE2 = 13 2 2 - 52 2 =6. ∴ FA=2FE=12. ∴ S四边形ACFD= 1 2FA ·CD=12× 12×5=30. 11. (1) ∵ EF∥AB,PM∥AC, ∴ 四边形PFAM 为平行四边形. ∵ AD 是∠BAC的平分线, ∴ ∠CAD=∠BAD. ∵ EF∥AB, ∴ ∠BAD=∠FPA. ∴ ∠CAD=∠FPA. ∴ FA=FP. ∴ 四边形PFAM 为菱形. (2) AP=23AD. 过点F 作FH⊥BC 于点H,设 MF 与AD 交于点G. 由(1),知四边形PFAM 为菱形, ∴ AD⊥MF,AP=2GP. ∵ AB=AC,AD 是 ∠BAC 的 平 分线, ∴ AD⊥BC. ∴ MF∥BC. 又∵ EF∥AB, ∴ 四边形BEFM 为平行四边形. ∴ S四边形PFAM= 1 2MF ·AP=MF· GP,S四边形BEFM=MF·FH. 当S四边形PFAM= 1 2S四边形BEFM 时,GP= 1 2FH. ∵ 易得GD=FH, ∴ GP=12GD. ∴ AG=GP=PD. ∴ AP=23AD. 2　矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 1. C 2. 6 3. (1) ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB=DC,∠B=∠C=90°. ∵ E 是BC的中点, ∴ BE=CE. 在△ABE 和△DCE 中, AB=DC, ∠B=∠C, BE=CE, ∴ △ABE≌△DCE. (2) ∵ △ABE≌△DCE, ∴ AE=DE. ∴ ∠EAD=∠EDA. 4. B 5. B 6. 7 5 解析:∵ 四边形ABCD 是矩 形,∴ AD∥BC,AD=BC=4,AB= CD =3,∠ABC =90°.∴ AC = AB2+BC2=5.∵ 将Rt△ADC沿 射线CA 方向平移,得到Rt△A'D'C', ∴ AC=A'C',AD=A'D',AD∥ A'D'.∴ A'D'∥BC.如图,过点B 作 BH⊥AC 于点 H,∴ 易得 BH = AB·BC AC = 12 5.∵ A'B =A'D', ∴ A'B=BC.∵ BH⊥AC,∴ CH= A'H= BC2-BH2=165.∴ A'C= 2CH=325.∴ AA'=A'C-AC=75. (第6题) 7. 1 4 解析:过点C 作CF⊥DE 于 点F.∵ 在Rt△ABC中,CA=CB,E 为AB 的 中 点,AB=2,∴ CE= 1 2AB=1 ,CE⊥AB.∵ 在Rt△ABD 中,E 为 AB 的 中 点,AB =2, ∴ DE = 12 AB = BE = 1. ∵ ∠ABD=60°,∴ △DEB 为等边 三 角 形. ∴ ∠DEB = 60°. ∴ ∠CED=90°-60°=30°.∴ CF= 1 2CE= 1 2.∴ S△ECD = 1 2DE · CF=12×1× 1 2= 1 4. 8. ∵ D,E 分别是 边 AC,AB 的 中点, ∴ DE 是△ABC的中位线. ∴ DE∥BC. ∵ FG∥AB, ∴ 四边形EFGB 是平行四边形. ∵ ∠AFB=90°,E 为AB 的中点, ∴ FE=12AB=BE. ∴ 四边形EFGB 是菱形. 9. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AC=BD,OA=OC= 12AC , OB=OD=12BD. ∴ OB=OD=OC=OA. ∵ E,F 分别是OA,OD 的中点, ∴ OE=12OA ,OF=12OD. ∴ OE=OF. 在△BOE 和△COF 中, OB=OC, ∠BOE=∠COF, OE=OF, ∴ △BOE≌△COF. ∴ BE=CF. (2) ∵ E,F 分别是OA,OD 的中点, EF=3, ∴ AD=2EF=6. 由(1),得OA=OD. ∴ ∠ODA=∠OAD. ∵ ∠EOF=120°, ∴ ∠ODA=12 (180°-∠AOD)=30°. ∴ 在Rt△ABD 中,BD=2AB. 设AB=x,则BD=2x. ∵ 在 Rt△ADB 中,AB2+AD2= BD2, ∴ x2+62=(2x)2,解得x=23(负 值舍去). ∴ AB=23. ∴ 矩 形 ABCD 的 周 长=2(AD+ AB)=2×(6+23)=12+43. 10. 7 8 或4 3 解析:设BE=x,则 EC=4-x.由翻折,得EC'=EC= 4-x.分情况讨论:① 当AE=EC' 时,AE=4-x.∵ 四边形ABCD 是 矩形,∴ ∠B=90°.∵ 在Rt△ABE 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 中,AB2+BE2=AE2,∴ 32+x2= (4-x)2,解得x=78.∴ BE=78. ② 当AE=AC'时,过点A 作AH⊥ EC'于点H,则∠AHE=90°.∵ 四边 形 ABCD 是矩形,∴ ∠B=90°= ∠AHE.∵ EF⊥AE,∴ ∠AEF= ∠AEC' + ∠FEC' = 90°. ∴ ∠AEB+∠FEC=90°.由翻折,得 ∠FEC' = ∠FEC.∴ ∠AEB = ∠AEH.∵ ∠B = ∠AHE,AE = AE,∴ △ABE≌△AHE.∴ BE= HE=x.∵ AE=AC',AH⊥EC', ∴ EC'=2HE,即4-x=2x,解得 x=43.∴ BE=43. 综上所述,当 BE=78 或4 3 时,△AEC'是以AE 为 腰的等腰三角形. 11. (1) 连接BD 交AC 于点O,连 接FO. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠ABC=90°,AC=BD,AO= CO=12AC ,BO=DO=12BD. ∴ AO=CO=BO=DO. 又∵ F 为AE 的中点,O 为AC 的 中点, ∴ FO=12CE. ∵ CE=AC, ∴ FO=AO. ∴ FO=BO=DO. ∴ ∠FDO = ∠DFO,∠FBO = ∠BFO. 又∵ ∠FDO+∠DFO+∠FBO+ ∠BFO=2(∠DFO + ∠BFO)= 2∠DFB=180°, ∴ ∠DFB=90°,即BF⊥DF. (2) ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形, AD=6, ∴ ∠ABC=90°,BC=AD=6, AC=BD. ∵ ∠ABC=90°,AB=8,BC=6, ∴ AC= AB2+BC2=10. ∵ CE=AC, ∴ CE=BD=AC=10. ∴ BE=CE-BC=4. ∵ ∠ABE=180°-∠ABC=90°, ∴ AE= AB2+BE2=45. ∵ F 为AE 的中点,∠ABE=90°, ∴ BF=12AE=25. 由(1),得∠DFB=90°. ∴ DF= BD2-BF2=45. 直角三角形斜边中线 性质的应用技巧 (1) 有直角、有中点,作中线, 用性质. (2) 有直角、无中点,取中点, 作中线,用性质. (3) 有中点、无直角,造直角, 用性质. (4) 逆用性质解题. 第2课时 矩形的判定 1. C 2. 对角线相等的平行四边形 为矩形 3. ∵ O 是边AB 的中点, ∴ OA=OB. 在△AOD 和△BOC中, ∠AOD=∠BOC, OA=OB, ∠A=∠B, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOD≌△BOC. ∴ DA=CB. ∵ ∠A+∠B=90°+90°=180°, ∴ DA∥CB. ∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 又∵ ∠A=90°, ∴ 四边形ABCD 是矩形. 4. C 5. 2或10 解析:设运动的时间为 t秒,则 AE=CF=t.∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,AC =12, BD=8,∴ OA=OC=12AC=6 , OB=OD=12BD=4.∵ AE=CF= t,∴ OE=OF=6-t或OE=OF= t-6.∴ 四边形BEDF 是平行四边 形.∴ 当EF=BD 时,四边形BEDF 是矩形.∴ OE=OD.∴ 6-t=4或 t-6=4.∴ t=2或t=10.∴ 经过 2秒或10秒,四边形BEDF 是矩形. 解决动点问题时因考虑 不全而出错 本题应分两种情况进行分析: OE=OF=6-t或OE=OF=t- 6,很容易片面地认为点E 在OA 上,点F 在OC 上,从而导致出现 漏解问题. 6. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ BO=DO. ∵ BE=EF, ∴ OE 是△BDF 的中位线. ∴ OE∥DF,即DF∥AC. (2) 由(1),得DF∥AC, ∴ ∠DFG=∠CEG,∠GDF=∠GCE. ∵ G 是CD 的中点, ∴ DG=CG. 在△DFG 和△CEG 中, ∠DFG=∠CEG, ∠GDF=∠GCE, DG=CG, ∴ △DFG≌△CEG. ∴ FG=EG. ∴ 四边形CFDE 是平行四边形. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD. ∵ 2AB=BF, ∴ 2CD=BF. 又∵ EF=BE, ∴ CD=EF. ∴ 四边形CFDE 是矩形. 矩形判定方法的选择技巧 矩形的判定要结合图形和已 知条件选择合适的方法,一般若有 对角线,则通过证对角线相等,利 用“对角线相等的平行四边形是矩 形”来判定;若易求得内角的度数, 则根据“有一个角是直角的平行四 边形是矩形”或“有三个角是直角 的四边形是矩形”来判定. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 7. (1) ∵ CE 平分∠ACB, ∴ ∠ACE=∠ECB. ∵ MN∥BC, ∴ ∠ECB=∠OEC. ∴ ∠ACE=∠OEC. ∴ OE=OC. 同理,可得OC=OF. ∴ OE=OF. (2) ∵ CE,CF 分别平分∠ACB 和 ∠ACD, ∴ ∠ACE= 12 ∠ACB ,∠ACF = 1 2∠ACD. ∴ ∠ECF = ∠ACE + ∠ACF = 1 2 (∠ACB + ∠ACD )= 12 × 180°=90°. ∴ EF = CE2+CF2 = 122+52=13. 由(1),知OC=OE=OF, ∴ OC=12EF=6.5. (3) 当点O 在AC 的中点时,四边形 AECF 是矩形. 理由:当O 为AC 的中点时,OA= OC. 由(1)可知,OC=OE=OF, ∴ OA=OC=OE=OF. ∴ 四边形 AECF 为平行四边形, AC=EF. ∴ 四边形AECF 为矩形. 8. (1) 在△ABC中,∠ACB=180°- ∠BAC - ∠B;在 △AEP 中, ∠EPA=180°-∠AEP-∠EAP. ∵ ∠B=∠AEP,∠BAC=∠EAP, ∴ ∠ACB=∠EPA. ∵ AB=BC, ∴ ∠BAC=∠ACB. ∴ ∠EAP=∠EPA. (2) ▱APCD 是矩形. 理由:∵ 四边形 APCD 是平行四 边形, ∴ AC=2EA,PD=2EP. 由(1),得∠EAP=∠EPA. ∴ EA=EP. ∴ AC=PD. ∴ ▱APCD 是矩形. (3) EM=EN. 由(1),得∠EAP=∠EPA. ∵ ∠AEP=α, ∴ ∠EAP=∠EPA=90°-12α. ∴ ∠EAM=180°-∠EAP=180°- 90°-12α =90°+12α. 由(2),得EA=EP,四边形APCD 是 矩形. ∴ 易得∠CPB=90°. ∵ F 是BC的中点, ∴ FP=FB. ∴ ∠FPB=∠B=α. ∴ ∠EPN = ∠EPA + ∠APN = ∠EPA+∠FPB=90°-12α+α= 90°+12α. ∴ ∠EAM=∠EPN. ∵ ∠AEP 绕点E 按顺时针方向旋转 适当的角度,得到∠MEN, ∴ 易得∠MEA=∠NEP. 在△EAM 和△EPN 中, ∠MEA=∠NEP, EA=EP, ∠EAM=∠EPN, ∴ △EAM≌△EPN. ∴ EM=EN. 第3课时 矩形的性质 与判定的综合应用 1. D 2. AD=AB 3. (1) ∵ AB=CD,AB∥CD, ∴ 四边形ABCD 是平行四边形. ∴ OA=OC= 12AC ,OD=OB= 1 2BD. ∵ 四边形EBOA 是菱形, ∴ OA=OB. ∴ AC=BD. ∴ 四边形ABCD 是矩形. (2) ∵ 四边形EBOA 是菱形, ∴ ∠AOB=∠E=60°,AO=BO. ∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AO=AB=2. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AC=2AO=4,∠ABC=90°. ∴ BC= AC2-AB2=23. ∴ S矩形ABCD=AB·BC=2×23= 43. 4. A 解析:∵ 四边形ABCD 是矩 形,∴ BE=DE.∵ BO=DO,∴ OE 平分∠BOD.故①正确.∵ 四边形 ABCD 是 矩 形,∴ ∠DAB =90°. ∴ ∠OAD=180°-∠DAB=90°= ∠DAB,∠ABD + ∠ADB =90°. ∵ BO=DO,BE=DE,∴ OE⊥BD. ∴ ∠BOE + ∠OBE = 90°. ∴ ∠BOE=∠ADB.∵ ∠BOD = 45°,∠OAD=90°,∴ ∠ADO=45°= ∠BOD.∴ AO=AD.∴ △AOF≌ △ADB.∴ OF=DB.故②正 确. ∵ △AOF≌△ADB,∴ AF=AB.连 接BF.∴ 易得BF= 2AF.由题意, 得OE 垂直平分线段BD.∴ DF= BF.∴ DF= 2AF.故③正确.当G 是OF 的中点时,∵ ∠OAF=90°, ∴ AG=OG.∴ ∠AOG=∠OAG. ∵ ∠AOD=45°,OE 平分∠AOD, ∴ ∠OAG=∠AOG=12∠AOD= 22.5°.∴ ∠FAG=90°-∠OAG= 67.5°,∠ADB = ∠AOF =22.5°. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ 易得 EA=ED.∴ ∠EAD=∠ADE= 22.5°. ∴ ∠EAG = ∠FAG + ∠EAD=90°.∵ ∠AGE=∠AOG+ ∠OAG=45°,∴ ∠AEG =45°= ∠AGE.∴ AE=AG. ∴ △AEG 是 等腰直角三角形.故④正确.综上所 述,正确的个数是4. 5. ①③④ 6. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AD=BC. ∵ BE=AD, ∴ BE=BC. ∴ ∠ECB=∠CEB. ∵ ∠FEC=∠FCE, ∴ ∠FEC + ∠CEB = ∠FCE + ∠BCE,即∠BEF=∠BCF. ∵ EF⊥BE, ∴ ∠FEB=∠BCD=90°. ∴ 四边形ABCD 是矩形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 (2) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠ABC=90°. ∵ E 为AC的中点, ∴ BE=CE=BC= 1 2AC. ∴ △BCE 是等边三角形. ∴ ∠CBE=60°. ∴ ∠ABE=90°-60°=30°. 7. (1) 四边形PECF 是矩形. 理由:∵ 在△ABC 中,AC2+BC2= 32+42=52=AB2, ∴ △ABC 是 直 角 三 角 形,且 ∠ACB=90°. ∵ PE⊥AC,PF⊥BC, ∴ ∠PEC=∠ACB=∠CFP=90°. ∴ 四边形PECF 是矩形. (2) CM 的长会改变. 连接PC. 由(1),得四边形PECF 是矩形. ∴ EF=PC. ∵ M 为EF 的中点, ∴ M 也是PC的中点. ∴ CM=12PC. 过点C 作CD⊥AB 于点D,当点P 运动到点D 的位置时,PC 最短,此时 易得PC=AC ·BC AB = 3×4 5 =2.4. ∵ 点P 在斜边AB 上(不与点A,B 重合), ∴ PC<BC=4. ∴ PC 长 的 取 值 范 围 是 2.4≤ PC<4. ∴ CM 长 的 取 值 范 围 是 1.2≤ CM<2. 8. (1) PE+PF=125. 理由:如图①,连接OP,设点C到BD 的距离为h1. 在矩 形 ABCD 中,AB=CD =4, AD=BC=3,∠BCD=90°. 在Rt△BCD 中, BD= BC2+CD2= 32+42=5. ∵ S△BCD= 1 2BD ·h1= 1 2BC ·CD, ∴ 5h1=3×4,解得h1= 12 5. ∵ 四边形ABCD 为矩形, ∴ OC=OD. ∵ S△COD=S△DOP+S△COP, ∴ 1 2OD ·h1= 1 2OD ·PE + 1 2OC ·PF. ∴ PE+PF=h1= 12 5. (2) PE+PF=125. 理由:如图②,连接OP,设点O 到AD 的距离为h2. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠ADC=90°,OD=OA=OC= OB,AC=BD=5. ∴ OD=OA=12AC= 5 2 ,易得h2= 1 2CD=2. ∵ S△AOD=S△OPD+S△OPA, ∴ 1 2AD ·h2= 1 2OD ·PE+ 1 2OA ·PF. ∴ 1 2×3×2= 1 2× 5 2PE+ 1 2× 5 2PF. ∴ PE+PF=125. (3) PE-PF=125. 如图③,连接OP,BP. ∵ S△BPD=S△COD+S△COP+S△BOP, ∴ 1 2BD ·PE= 12OD ·12 5 + 1 2OC ·PF+12OB ·PE. ∴ 2PE=125+PF+PE. ∴ PE-PF=125. (第8题) 3　正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 1. B 2. 1 2 3. (1) ∵ △ABE 为等边三角形, ∴ ∠EAB = ∠EBA =60°,AE = BE=AB. ∵ 四边形ABCD 为正方形. ∴ AD = BC = AB,∠DAB = ∠CBA=90°. ∴ ∠DAE=∠CBE=90°-60°= 30°,AD=AE=BC=BE. 在△ADE 和△BCE 中, AD=BC, ∠DAE=∠CBE, AE=BE, ∴ △ADE≌△BCE. ∴ DE=CE. (2) ∵ BD 是正方形ABCD 的对 角线, ∴ ∠ADB=45°. ∵ ∠DAE=30°,AD=AE, ∴ ∠ADE=12× (180°-30°)=75°. ∴ ∠EDB = ∠ADE - ∠ADB = 75°-45°=30°. 4. B 5. C 解析:∵ 四边形ABCD 为正方 形,∴ OD= 12BD ,OC= 12AC , AC=BD,AC⊥BD,易得∠MDO= ∠NCO=45°.∴ OD=OC,∠DOC= 90°.∵ ON ⊥OM,∴ ∠MON = ∠DOC=90°.∴ 易 得 ∠MOD = ∠NOC.∴ △OMD ≌ △ONC. ∴ S△OMD =S△ONC.∴ S四边形MOND = S△OMD+S△DON =S△ONC +S△DON = S△DOC=1.∴ S正方形ABCD=4×1=4. ∴ AB=4=2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 8 2　矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 ▶ “答案与解析”见P4 1. (2024·甘肃)如图,在矩形ABCD 中,对角 线AC,BD 相交于点O,∠ABD=60°,AB= 2,则AC 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 (第1题) (第2题) 2. 如图,E 是矩形ABCD 的边AD 上一点,连 接BE,CE,F,G,H 分别是BE,BC,CE 的 中点,连接AF,GH.若AF=6,则GH 的长 为 . 3. (2024·无锡)如图,在矩形ABCD 中,E 是 BC 的中点,连接AE,DE.求证: (1) △ABE≌△DCE. (2) ∠EAD=∠EDA. (第3题) 4. 如图,在矩形ABCD 中,E 是边AD 上一点, F,G 分别是BE,CE 的中点,连接AF,DG, FG.若 AF=6,DG=8,FG=10,则矩形 ABCD 的面积是 ( ) A. 190 B. 192 C. 194 D. 196 (第4题) (第5题) 5. 新考法·新定义 (2024·河北)在平面直角坐 标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的 比值称为该点的“特征值”.如图,矩形ABCD 位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行, 则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 ( ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 新考法·操作实践题 如图①,将边长AB=3, BC=4的矩形ABCD 沿对角线AC 剪开,得 到 Rt△ABC 和 Rt△ADC.如 图 ②,将 Rt△ADC 沿 射 线 CA 方 向 平 移,得 到 Rt△A'D'C',连接A'B,当A'B=A'D'时,平 移的距离(A'A 的长)为 . (第6题) (第7题) 7. 将两块斜边长为2的三角尺 (Rt△ABC 与Rt△ABD)的 斜边完全叠合,按如图所示 的方式摆放,其中CA=CB, ∠ABD=60°,E 为AB 的中点,连接EC, ED,CD,那么△ECD 的面积为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 9 8. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边AC,AB 的中点,点F 在线段DE 上,∠AFB=90°, FG∥AB 交BC 于点G.求证:四边形EFGB 是菱形. (第8题) 9. 如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 和BD 相 交于点O,E,F 分别是OA,OD 的中点,连接 BE,CF,EF. (1) 求证:BE=CF. (2) 若EF=3,∠EOF=120°,求矩形ABCD 的周长. (第9题) 10. 分类讨论思想 如图,在矩形ABCD 中,AB= 3,AD=4,E,F 分别是边BC,CD 上的点, 连接AE,EF⊥AE,将△ECF 沿EF 翻折 得到△EC'F,连接AC'.当BE= 时,△AEC'是以AE 为腰的等腰三角形. (第10题) (第11题) 11. ★如图,在矩形ABCD 中,E 为CB 的延长线上一点,CE=AC,F 为 AE 的中点,连接DF,BF. (1) 求证:BF⊥DF. (2) 若AB=8,AD=6,求DF 的长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　特殊平行四边形 10 第2课时 矩形的判定 ▶ “答案与解析”见P5 1. 要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零 件.陈师傅对4个零件进行了检测.根据零件 的检测结果,图中可能不合格的零件是( ) A. B. C. D. 2. 新情境·日常生活 如图,工人师傅砌门时,要 想检验门框ABCD 是否符合设计要求(即门 框是否为矩形),在确保两组对边分别相等的 前提下,只要测量出对角线AC,BD 的长度, 然后看它们是否相等就可以判断了,这种做 法的根据是 . (第2题) 3. (2024·长春)如图,在四边形 ABCD 中, ∠A= ∠B =90°,O 是 边 AB 的 中 点, ∠AOD=∠BOC.求证:四边形 ABCD 是 矩形. (第3题) 4. 如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD 交于 点O.有下列条件:① OB=5;② OD=5; ③ ∠ADC=90°.根据图中所标示的数据,再 添加其中一个条件,能使四边形ABCD 为矩 形的有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 (第4题) (第5题) 5. 易错题 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,动点E 以每秒1个单位长度的 速度从点A 出发沿AC 方向运动,同时,点F 以每秒1个单位长度的速度从点C 出发沿 CA 方向运动.若AC=12,BD=8,则经过 秒,四边形BEDF 是矩形. 6. ★如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 交于点 O,E 是OC 上一点,点F 在BE 的延长线上, 且EF=BE,EF 与CD 交于点G. (1) 连接DF,求证:DF∥AC. (2) 连接DE,CF,如果BF=2AB,且G 恰 好是CD 的中点,求证:四边形CFDE 是 矩形. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 11 7. 新考法·动点探究题 如图,在△ABC 中,O 是 边AC 上一个动点,过点O 作直线 MN∥ BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E,交 △ABC 的外角∠ACD 的平分线于点F,连 接AE,AF. (1) 求证:OE=OF. (2) 若CE=12,CF=5,求OC 的长. (3) 当点O 在边AC 上运动到什么位置时, 四边形AECF 是矩形? 请说明理由. (第7题) 8. 如图①,在△ABC 中,AB=BC,P 为边AB 上一点,连接CP,以PA, PC 为邻边作▱APCD,AC 与PD 相交于点E.已知∠B=∠AEP=α(0°< α<90°). (1) 求证:∠EAP=∠EPA. (2) ▱APCD 是否为矩形? 请说明理由. (3) 如图②,F 是BC 的中点,连接FP,将 ∠AEP 绕点E 按顺时针方向旋转适当的角 度,得到∠MEN(M,N 分别是∠MEN 的两 边与BA,FP 延长线的交点).猜想线段EM 与EN 之间的数量关系,并证明你的结论. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　特殊平行四边形 12 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 ▶ “答案与解析”见P6 1. 新情境·日常生活 一个木匠要制作矩形踏板, 如图,他先在一个对边平行的长木板的一边 任一点做一个标记A,然后在对边任一点再 做一个标记B,连接AB,取AB 的中点O,则 以下操作与判断正确的是 ( ) A. 过点O 作任意直线,分别交木板两边于 点C,D,得到矩形ACBD B. 过点O 作AB 的垂线l,分别交木板两边 于点C,D,得到矩形ACBD C. 在木板上任意找两点C,D,使得AC= BD,得到矩形ACBD D. 分别过点A,B 作对边的垂线,垂足分别 为C,D,得到矩形ACBD (第1题) (第2题) 2. 如图,在矩形ABCD 中,E,F 分别是AD, AB 上的点,AE=AF,过点E 作EH⊥EF, 交CD 于点H,过点F 作FG⊥EF,交BC 于点G,连接GH.当AD,AB 满足 时,四边形EFGH 为矩形. 3. 如图,四边形ABCD 的对角线相交于点O, AB=CD,AB∥CD,四边形EBOA 是菱形. (1) 求证:四边形ABCD 是矩形. (2) 若∠E=60°,AB=2,求四边形ABCD 的面积. (第3题) 4. 如图,∠BOD=45°,BO=DO,点A 在OB 上,四边形ABCD 是矩形,连接AC,BD 交 于点E,连接OE 交AD 于点F,点G 在OF 上,连接AG.有下列四个判断:① OE 平分 ∠BOD;② OF=DB;③ DF= 2AF;④ 若 G 是线段OF 的中点,则△AEG 是等腰直角 三角形.其中,正确的个数是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 (第4题) (第5题) 5. 如图,在矩形ABCD 中,AB=4,AD=3.点 E,F 分别在边AD,BC 上(点E 不与点A, D 重合)且AF∥CE,DP⊥AF 于点P,交 CE 于点Q,BM⊥CE 于点M,交AF 于点 N.给出下列四个结论:① AC=5;② DQ= CM;③ 四边形PQMN 是矩形;④ AC 平分 四边形PQMN 的 周 长.其 中,正 确 的 是 (填序号). 6. 如图,E 是▱ABCD 对角线AC 上的点(不与 点A,C 重合),连接BE,过点E 作EF⊥ BE,交CD 于点F.连接BF 交AC 于点G, BE=AD,∠FEC=∠FCE. (1) 求证:四边形ABCD 是矩形. (2) 若E 为AC 的中点,求∠ABE 的度数. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 13 7. 新考法·动点探究题 如图,在△ABC 中,AC= 3,BC=4,AB=5,P 是AB 上的一个动点 (不与点A,B 重合),过点P 作PE⊥AC, PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接EF,M 为 EF 的中点,连接CM. (1) 请判断四边形PECF 的形状,并说明 理由. (2) 随着点P 在边AB 上位置的改变,CM 的长是否也会改变? 若不变,请求出CM 的 长;若改变,请求出CM 长的取值范围. (第7题) 8. 类比法 在矩形ABCD 中,AB=4, BC=3.若P 是矩形ABCD 的边上 任意一点,PE⊥BD 于点E,PF⊥ AC 于点F. (1) 如图①, 当P 是边CD 上任意一点时, PE 和PF 之间有怎样的数量关系? 请说明 理由. (2) 如图②,当P 是边AD 上任意一点时,猜 想PE 和PF 之间的数量关系,并说明理由. (3) 如图③,若P 是DC 的延长线上任意一 点,猜想 PE 和PF 之间的数量关系,并 证明. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　特殊平行四边形