22.4 图形的位似变换-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

64 22.4　图形的位似变换 ▶ “答案与解析”见P35 1. 下列四组相似图形中,不是位似图形的为 ( ) A. B. C. D. 2. (2024·浙江)如图,在平面直角坐标系中, △ABC与△A'B'C'是位似图形,位似中心为 点O.若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2), 则点B(-2,4)的对应点B'的坐标为 ( ) A. (-4,8) B. (8,-4) C. (-8,4) D. (4,-8) (第2题) (第3题) 3. (2024·六安霍邱期末)如图,△ABC与△DEF 位似,位似中心为点O,且△ABC 的面积等于 △DEF面积的49 ,则AO∶AD的值为 ( ) A. 2∶3 B. 2∶5 C. 4∶9 D. 4∶13 4. (2024·成都青羊期末)在如图所示的正方形 网格中建立平面直角坐标系,每个小正方形 的边长都是1,若△ABC,△DEF 的顶点都 在格点上且成位似关系,则位似中心的坐标 是 . (第4题) 5. (1) 如图①,按位似中心O 的位置,画出与多 边形的相似比为2 3 的位似图形(不写作法). (2) 如图②,△DEF 是由△ABC 经过位似变 换得到的,位似中心是点O,试确定点O 的 位置.如果OC=3.6cm,OF=2.4cm,求 △ABC 与△DEF 的相似比. ① ② (第5题) 6. 如图,△ABC 与△DEF 是位似图形,位似中 心为点O,OA∶AD=1∶2,有下列结论: ① △ABC与△DEF 的相似比为13 ;② AC DF= 1 2 ;③ △OBC 的周长 △OEF 的周长= 1 3 ;④ S△ABC S△DEF= 1 4. 其 中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第6题) (第7题) 7. 如图,等腰直角三角形ABC 与等腰直角三角 形CDE 关于原点O 成位似关系,相似比为 1 3 ,∠ACB=∠CED=90°,A,C,E 是x轴正 半轴上的点,B,D 是第一象限内的点.若 BC=2,则点D 的坐标是 ( ) A. (9,6)B. (8,6)C. (6,9)D. (6,8) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 65 8. ★如图,△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中 心的位似图形,点B 在OD 上,AE,CB 分别 是△OAB,△OCD 的中线,则图中的位似三 角形共有 对. (第8题) (第9题) 9. 如图,△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中 心的位似图形,相似比为3 4 ,∠OCD=90°, ∠AOB=60°.若点B 的坐标为(6,0),则点 D,C 的坐标分别为 . 10. 如 图,在 平 面 直 角 坐 标 系 中, △OAB 的顶点坐标分别为O(0, 0),A(2,1),B(1,-2). (1) 以原点O 为位似中心,在y 轴的右侧 画出△OAB 的一个位似图形△OA1B1,使 它与△OAB 的相似比为2∶1. (2) 画出将△OAB 先向左平移2个单位, 再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2. (3) 判断△OA1B1 和△O2A2B2 是否是位 似图形,若是,请在图中标出位似中心点 M,并写出点 M 的坐标;若不是,请说明 理由. (第10题) 11. 如果两个一次函数y=k1x+b1和 y=k2x+b2满足k1=k2,b1≠b2, 那么称这两个一次函数为“平行一 次函数”.如图,一次函数y=-2x+4的图 象与x轴、y轴分别交于A,B 两点,一次函 数y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次 函数”. (1) 若一次函数y=kx+b的图象过点(3, 1),求b的值. (2) 若一次函数y=kx+b的图象与两坐标 轴围成的三角形和△AOB 构成位似图形, 位似中心为原点O,相似比为12 ,求一次函 数y=kx+b的表达式. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形 7. (1) ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAE=∠CAF. ∵ BE⊥AD,CF⊥AD, ∴ ∠AEB=∠AFC=90°. ∴ △ABE∽△ACF. ∴ AB AC= AE AF. ∴ AB·AF=AC·AE. (2) ∵ BE⊥AD,CF⊥AD, ∴ BE∥CF. ∴ △PEB∽△PCF. ∴ BE CF= PE PC. 由(1),知△ABE∽△ACF, ∴ BE CF= AE AF. ∴ PE PC= AE AF. ∴ 易得PE CE= AE EF. 又∵ ∠AEP=∠FEC, ∴ △AEP∽△FEC. ∴ ∠APE=∠FCE. ∴ CF∥AP. 8. (1) ∵ BD=DE=EC, ∴ BE=2CE,CD=2BD. ∵ CF∥AB, ∴ △ABE∽△FCE,△BGD∽△CFD. ∴ AB FC= BE CE=2 ,BG CF= BD CD= 1 2. ∴ AB=2FC,CF=2BG. ∴ AB=4BG. (2) 如图. ∵ ∠ADG=∠B,∠DAG=∠BAD, ∴ △DAG∽△BAD. ∴ ∠AGD=∠ADB. ∴ ∠B+∠2=∠1+∠DAC. 又∵ AB=AC,∠2=∠3, ∴ ∠B=∠1,∠3=∠DAC. ∵ CF∥AB, ∴ ∠4=∠B. ∴ ∠4=∠1. ∴ △ACD∽△DCF. ∴ CD CF= AC DC ,即CD2=AC·CF. 由(1),知AB=2CF, ∴ AC=AB=2CF. ∴ CD2=AC·AC2. ∴ AC2=2CD2. (第8题) 22.4　图形的位似变换 1. D 2. A 3. B 4. (-1,1) 5. (1) 如图①所示. (2) 如图②,连接CF,BE,则CF 与 BE 的交点O 即为位似中心. ∵ OC=3.6cm,OF=2.4cm, ∴ 它们的相似比为3.6 2.4= 3 2. ① ② (第5题) 6. B 7. A 解析:∵ 等腰直角三角形 ABC与等腰直角三角形CDE 关于原 点 O 成 位 似 关 系,∴ △ACB ∽ △CED.∵ 相似比为 1 3 ,∴ BC DE= 1 3 ,即 2 DE = 1 3.∴ DE = 6. ∵ △CED 为 等 腰 直 角 三 角 形, ∴ CE = DE =6.∵ ∠ACB = ∠CED=90°,∴ BC∥DE.∴ △OCB∽ △OED.∴ OC OE= BC DE ,即 OC OC+6= 1 3. ∴ OC=3.∴ OE=OC+CE=3+ 6=9.∴ 点D 的坐标是(9,6). 8. 3 解析:∵ △OAB 与△OCD 是 以点O 为位似中心的位 似 图 形, ∴ △OAB∽△OCD.∴ OA OC= OB OD. ∵ AE,CB 分别是△OAB,△OCD 的 中线,∴ OE=12OB ,OB=12OD. ∴ OE OB= OB OD= 1 2.∴ OE OB= OA OC. 又 ∵ ∠O=∠O,∴ △OAE∽△OCB. ∵ △OAE 与△OCB 对应点的连线都 经过同一点,对应边平行或在同一条 直线上,∴ △OAE 与△OCB 是位似 图形.同理可知,△ABE 与△CDB 是 位似图形.∴ 题图中的位似三角形共 有3对. 判断两个图形是否是 位似图形的思路 两个图形是位似图形,必须同 时满足下面的条件:首先,两个图 形必须相似;其次,每组对应顶点 的连线交于一点.这两个条件缺一 不可. 9. (8,0),(2,23) 解析:如图,过点 C作CF⊥x 轴于点F.∵ △OAB 与 △OCD 是以点O 为位似中心的位似 图形,∴ △OAB∽△OCD.∴ ∠OAB= ∠OCD =90°,∠OBA = ∠ODC= 90°-∠AOB=30°.∵ 点B 的坐标为 (6,0),∴ OB=6.∵ 相似比为3 4 , ∴ OB OD= 3 4.∴ OD=8.∴ 点D 的坐 标 为 (8,0).在 Rt△OCD 中, ∵ ∠CDO=30°,∴ OC=12OD= 4.在 Rt△OCF 中,∠OCF=90°- ∠AOB=30°,∴ OF= 12OC=2. ∴ CF= OC2-OF2=23.∴ 点C 的坐标为(2,23). (第9题) 10. (1) 如图,△OA1B1 即为所作 图形. (2) 如图,△O2A2B2即为所作图形. (3) △OA1B1 和△O2A2B2 是位似 图形,如图,点M 即为所求位似中心, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 点M 的坐标为(-4,2). (第10题) 11. (1) 由题意,得k=-2. 把(3,1)和k=-2代入y=kx+b,得 1=-2×3+b,解得b=7. (2) 在y=-2x+4中,令x=0,则 y=4;令y=0,则x=2. ∴ A(2,0),B(0,4). 根据相似比为1 2 ,可得一次函数y= kx+b的图象有两种情况(如图): ① 当图象不经过第三象限时,图象过 点(1,0)和点(0,2),易得这时一次函 数的表达式为y=-2x+2; ② 当图象不经过第一象限时,图象过 点(-1,0)和点(0,-2),易得这时一 次函数的表达式为y=-2x-2. 综上所述,符合题意的一次函数的表 达式为y=-2x+2或y=-2x-2. (第11题) 22.5　综合与实践 测量与误差 1. B 2. A 利用镜子的反射测量 物高时的隐含条件 在利用镜子的反射测量物体 的高度时,反射角与入射角相等是 判定两个三角形相似的隐含条件. 3. B 4. 18 5. B 6. C 解析:由题意,得AB∥MN, AE∥OF,AB∥CD,∴ 四边形ABOE 是平行四边形.∴ AE=OB=6cm. ∵ AE∥OF,∴ △CAE∽△COF. ∴ CA CO = AE OF. 又∵ OF=10cm, ∴ CA CO = 6 10= 3 5.∴ OA CO = 2 5. ∵ AB∥CD,∴ △OAB∽△OCD. ∴ AB CD = OA CO. 又∵ AB=5.4cm, ∴ 5.4 CD= 2 5 ,解得CD=13.5cm.故 选C. 7. 16.8 8. ∵ AD∥EG, ∴ ∠ADO=∠EGF. ∵ AO⊥OD,EF⊥FG, ∴ ∠AOD=∠EFG=90°. ∴ △AOD∽△EFG. ∴ AO EF = OD FG ,即AO 1.8= 20 2.4 ,解 得 AO=15米. ∵ AD∥BC, ∴ △BOC∽△AOD. ∴ BO AO= OC OD ,即BO 15= 16 20 ,解得BO= 12米. ∴ AB=AO-BO=15-12=3(米). 9. ∵ CD⊥PB,AB⊥PB, ∴ CD∥AB. ∴ △QCD∽△QAB. 同理可得,△PEF∽△PAB. ∴ CD AB= QD QB ,EF AB= PF PB. ∵ EF=CD, ∴ QD QB= PF PB. ∵ QD=4米,PF=6米,FD=28米, ∴ 4 4+BD= 6 6+28+BD ,解得BD= 56米. ∴ 3 AB= 4 4+56 ,解得AB=45米. ∴ 飞虹塔的大致高度AB 是45米. 第22章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 设a2= b 3= c 5=k (k≠0), 则a=2k,b=3k,c=5k. ∵ 3a-2c=-8, ∴ 6k-10k=-8,解得k=2. ∴ a=4,b=6,c=10. ∴ 2c-3b+4a=20-18+16=18. [变式] (1) 3 (2) 1 2 或-1 典例2 (1) ∵ 在△ABC 中,高线 CE,BD 交于点O, ∴ BD⊥AC,CE⊥AB. ∴ ∠AEC=∠ADB=90°. 又∵ ∠A=∠A, ∴ △AEC∽△ADB. ∴ AE AD= AC AB. ∴ AE AC= AD AB. 又∵ ∠A=∠A, ∴ △AED∽△ACB. (2) ∵ BA=BC,BD⊥AC,AE=2, AD=3, ∴ CD=AD=3,AC=6. ∵ △AED∽△ACB, ∴ AD AB= AE AC= 2 6= 1 3. ∴ AB=3AD=9. ∴ BE=AB-AE=9-2=7. ∵ BD⊥AC,CE⊥AB, ∴ ∠OEB=∠ODC=90°. 又∵ ∠EOB=∠DOC, ∴ △BEO∽△CDO. ∴ S△BEO∶S△DCO= BE CD 2 =499. [变式] (1) ∵ DE∥BC,EG∥CF, ∴ AD AB= AE AC ,AE AC= AG AF. ∴ AD AB= AG AF. 又∵ ∠DAG=∠BAF, ∴ △ADG∽△ABF. ∴ ∠ADG=∠ABF. ∴ DG∥BF. (2) ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC,∠AED=∠ACB. ∴ DE BC= AE AC. 同理可得,EG CF= AE AC ,∠AEG=∠ACF. ∴ DE BC = EG CF ,∠AED+∠AEG= ∠ACB+∠ACF. ∴ ∠DEG=∠BCF. ∴ △DEG∽△BCF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63