第21章 专题特训二 二次函数的实际应用-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

∵ 乙车的刹车距离为10m, ∴ 令0.005x2+0.05x=10,即x2+ 10x-2000=0,解得x1=40,x2= -50(不合题意,舍去). ∴ 乙车的速度为40km/h. ∵ 30<35<40, ∴ 事故的原因主要是乙车超速. 自变量的值与函数值 已知自变量的值求函数值,直 接代入求值就可以了;已知函数值 求自变量的值,需要解方程,还需 要考虑自变量的取值范围. 4. A 解析:由题意,得h=8t-5t2. 当h=3时,有3=8t-5t2,解得t= 0.6或t=1.∴ 球的高度不低于3m 的持续时间是1-0.6=0.4(s). 5. D 解析:∵ 抛物线的顶点坐标为 (0,3.5),∴ 可设抛物线对应的函数 表达式为y=ax2+3.5.∵ 篮圈中心 在抛物线上,易知篮圈中心的坐标是 (1.5,3.05),∴ 将(1.5,3.05)代入 y=ax2+3.5,得3.05=a×1.52+ 3.5,解得a=-15.∴ y=- 1 5x 2+ 3.5.故 D 正 确.当 x=-2.5时, y=- 1 5× (-2.5)2+3.5=2.25, ∴ 球出手时离地面的高度是2.25m. 故A错误.篮圈中心的坐标是(1.5, 3.05),故B错误.此抛物线的顶点坐 标是(0,3.5),故C错误. 6. 15 解析:根据题意,知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(0, 54.0),(20,57.9),(40,46.2),则 c=54.0, 400a+20b+c=57.9, 1600a+40b+c=46.2, 解 得 a=-0.0195, b=0.585, c=54.0. ∴ 对 称 轴 为 直 线 x=-b2a=- 0.585 2×(-0.0195)=15 , 即该运动员起跳后飞行到最高点时, 水平距离为15m. 7. (1) ∵ h=2.6, ∴ y=a(x-6)2+2.6. 把(0,2)代入,得2=a(0-6)2+2.6, 解得a=-160. ∴ y与x 之间的函数表达式为y= -160 (x-6)2+2.6. (2) 球能越过球网,且球会出边界. 理由:由(1),知y=- 1 60 (x-6)2+ 2.6.当x=9时,y=- 1 60× (9- 6)2+2.6=2.45>2.43, ∴ 球能越过球网. 当y=0时,- 1 60 (x-6)2+2.6=0, 解得x1=6+2 39,x2=6-2 39 (不合题意,舍去). ∵ 6+2 39>18, ∴ 球会出边界. (3) ∵ 抛物线y=a(x-6)2+h过 点(0,2), ∴ 2=36a+h,即a=2-h36 . 若球能越过球网,则当x=9时,y≥ 2.43,即9a+h≥2.43,解得h≥19375 ; 若球不出边界,则当x=18时,y≤0, 即144a+h≤0,解得h≥83. ∴ 若球一定能越过球网,又不出边 界,则h的取值范围是h≥83. 8. (1) ∵ 二次函数的图象经过点(4, 16),(8,16), ∴ 二次函数图象的顶点坐标为(6,18). 设二次函数的表达式为y=a(t- 6)2+18. ∵ 二次函数图象经过点(0,0), ∴ 36a+18=0,解得a=-12. ∴ y 关于t 的函数表达式为y= -12 (t-6)2+18. (2) ∵ x=3t, ∴ t=x3. ∴ y=- 1 2 x 3-6 2 +18=-118x 2+ 2x. 当水 火 箭 落 地(高 度 为0m)时, -118x 2+2x=0,解得x1=0(不合题 意,舍去),x2=36. ∴ 水火箭飞行的水平距离为36m. (3) 设PQ 的长度为cm. ∴ 水火箭飞行的抛物线对应的函数 表达式为y=- 1 18x 2+2x+c. ① 当抛物线经过点A 时, ∵ AP=42m, ∴ 点A 的坐标为(42,0). ∴ -118×42 2+2×42+c=0,解得 c=14. ② 当抛物线经过点B 时, ∵ AP=42m,AB=(182-24)m. ∴ BP=(18+182)m. ∴ 点B 的坐标为(18+182,0). ∴ -118× (18+182)2+2×(18+ 182)+c=0,解得c=18. ∵ 水火箭落到AB内(包括端点A,B), ∴ 14≤c≤18. ∴ 14m≤PQ≤18m. ∴ 发射台高度PQ 的取值范围是 14m≤PQ≤18m. 专题特训二　二次函数的 实际应用 1. 设其中一个正方形的边长为xcm, 则另一个正方形的边长为56-4x 4 = (14-x)cm. 根据题意,得S=x2+(14-x)2= 2x2-28x+196. ∵ 2>0, ∴ 当x=-b2a=7 时,S有最小值. ∵ 7×4=28(cm),56-28=28(cm), ∴ 当两段铁丝的长度都为28cm时, S有最小值. 2. (1) 根据题意,得S=(30-2x+ 2)x=-2x2+32x. (2) 当S=96时,-2x2+32x=96, 解得x1=12,x2=4. ∵ 墙长10m,门宽2m, ∴ 2≤30-2x+2≤10,解得11≤ x≤15. ∴ x的值为12. (3) 根据题意,得S=(30-2x+a+ 2)x=-2x2+(32+a)x. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 ∵ a+2≤30-2x+a+2≤10, ∴ 1 2a+11≤x≤15. ∵ 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x= - 32+a2×(-2)= 32+a 4 < 32+3 4 <11 , ∴ 当x=12a+11 时,S=124, 即-2 12a+11 2 +(32+a) 12a+ 11 =124,解得a=2.8. 3. (1) ∵ 三块矩形区域的面积相等, ∴ 矩形AEFD 的面积是矩形BCFE 面积的2倍. ∴ AE=2BE. 设BE=FC=am,则AE=HG= DF=2am. ∴ 3×2a+2a+2x=80,即8a+ 2x=80. ∴ a=-14x+10. ∴ y =3ax = -34x+30 x = -34x 2+30x. ∵ x>0,-14x+10>0 , ∴ 0<x<40. ∴ y=- 3 4x 2+30x(0<x<40). (2) ∵ y=- 3 4x 2+30x=-34 (x- 20)2+300(0<x<40),且-34<0 , ∴ 当x=20时,y 有最大值,最大值 是300. 4. (1) ∵ 培植的盆景比第一期增加 x盆, ∴ 第二期培植的盆景有(50+x)盆, 培植的花卉有(50-x)盆. ∴ w1= (50+x)(160-2x)= -2x2+60x+8000,w2=19(50- x)=-19x+950. (2) 根据题意,得 w=w1+w2= -2x2+60x+8000-19x+950= -2x2+41x+8950=-2x-414 2 + 73281 8 . ∵ -2<0,且x为整数, ∴ 当x=10时,w=9160;当x=11 时,w=9159. ∵ 9159<9160, ∴ 当x=10时,w 取得最大值,最大 值为9160. ∴ 当x=10时,第二期培植的盆景与 花卉售完后获得的总利润w 最大,最 大总利润是9160元. 5. (1) ∵ 安排70名工人加工一批夏 季服装,安排x 名工人加工“雅”服 装,y名工人加工“风”服装, ∴ 安排(70-x-y)名工人加工“正” 服装. ∵ “正”服装的总件数和“风”服装的 总件数相等, ∴ (70-x-y)×1=2y,整理,得 y=- 1 3x+ 70 3. (2) 根据题意,得“雅”服装每天获利 x[100-2(x-10)]元. ∴ w=2y×24+(70-x-y)×48+ x[100-2(x-10)],整理,得 w= (-16x+1 120)+(-32x+2 240)+ (-2x2+120x). ∴ w=-2x2+72x+3 360(x≥10). (3) 由(2),得 w=-2x2+72x+ 3 360=-2(x-18)2+4 008. ∴ 当x=18时,获得最大利润,此时 y=- 1 3×18+ 70 3= 52 3 ,则x≠18. ∵ 该二次函数的图象开口向下, ∴ 取x=17或x=19.当x=17时, y= 53 3 ,不符合题意;当x=19时,y= 17,符合题意. ∴ 70-x-y=34. 综上所述,安排19名工人加工“雅”服 装,17名工人加工“风”服装,34名工 人加工“正”服装,即可获得最大利润. 6. (1) 由题意知,H(0,1.5),A(2, 2),且上边缘抛物线的顶点为A. 设上边缘抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-2)2+2. 将H(0,1.5)代入y=a(x-2)2+2, 得4a+2=1.5,解得a=-18. ∴ 上边缘抛物线对应的函数表达式 为y=- 1 8 (x-2)2+2. 令y=0,则- 1 8 (x-2)2+2=0,解 得x1=-2 (舍去),x2=6. ∴ C(6,0). ∴ 喷出水的最大射程OC为6m. (2) 由(1)知,上边缘抛物线对应的函 数表达式为y=- 1 8 (x-2)2+2. ∴ 抛物线的对称轴为直线x=2. ∴ 易得点H 关于对称轴对称的点的 坐标为(4,1.5). ∵ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线 向左平移得到的, ∴ 上边缘抛物线向左平移4个单位 后,得到下边缘抛物线,即下边缘抛物 线对应的函数表达式为y=- 1 8 (x+ 2)2+2. 令y=0,则- 1 8 (x+2)2+2=0,解 得x1=-6(舍去),x2=2. ∴ B(2,0). (3) ∵ EF=0.5m, ∴ 点F 的纵坐标为0.5. ∴ 0.5=-18 (x-2)2+2,解得x1= 2+23,x2=2-23(舍去). ∵ DE=3,要使灌溉车行驶时喷出的 水能浇灌到整个绿化带, ∴ d的最大值为2+23-3=23-1. ∵ 下边缘抛物线喷出的水能浇灌到 绿化带底部的条件是d≥OB, ∴ d的最小值为2. 综上所述,d 的取值范围是2≤d≤ 23-1. 21.5　反比例函数 第1课时 反比例函数 1. B 反比例函数的三种表示形式 (1) y= k x (k为常数,且k≠0); (2) y=kx-1(k 为 常 数,且 k≠0); (3) xy=k(k为常数,且k≠0). 2. A 3. -3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 24 专题特训二　二次函数的实际应用 ▶ “答案与解析”见P13 类型一 图形面积问题 1. 将长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段 铁丝做成一个最大的正方形.设这两个正方 形的面积之和为Scm2,当两段铁丝的长度 分别为多少时,S有最小值? 2. 如图,用长30m的竹篱笆围成一个矩形菜 园,其中一边靠墙,墙长10m,墙的对面有一 道2m宽的门.设垂直于墙的一边长为xm, 菜园的面积为Sm2. (1) 直接写出S与x之间的函数表达式. (2) 若菜园的面积为96m2,求x的值. (3) 若在墙的对面再开一道宽为a(0<a< 3)m的门,且菜园的最大面积为124m2,求a 的值. (第2题) 3. 为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸 堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80m的围 网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩 形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设 BC 的长度为xm,矩形区域ABCD 的面积 为ym2. (1) 求y 与x 之间的函数表达式,并写出自 变量x的取值范围. (2) 当x 为何值时,y 有最大值? 最大值是 多少? (第3题) 类型二 商品利润问题 4. 小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景 与花卉各50盆.售后统计,盆景的平均每盆 利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元. 调研发现: ① 盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减 少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增 加2元. ② 花卉的平均每盆利润始终不变. 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆, 设培植的盆景比第一期增加x 盆,第二期盆 景与花卉售完后的利润分别为w1,w2(单 位:元). (1) 用含x的代数式分别表示w1,w2. (2) 当x 取何值时,第二期培植的盆景与花 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 25 卉售完后获得的总利润w 最大? 最大总利 润是多少? 5. 某民族服装厂安排70名工人加工 一批夏季服装,有“风”“雅”“正”三 种样式.每名工人每天可加工且只 能加工“风”服装2件或“雅”服装1件或“正” 服装1件.要求全厂每天加工“雅”服装至少 10件,“正”服装的总件数和“风”服装相等. 每天加工的服装都能销售出去,扣除各种成 本,服装厂的获利情况如下:① “风”服装: 24元/件;② “正”服装:48元/件;③ “雅”服 装:当每天加工10件时,每件获利100元;如 果每天多加工1件,那么平均每件获利将减 少2元.现安排x名工人加工“雅”服装,y名 工人加工“风”服装,列表如下: 服装 种类 加工人数 每人每天的 加工量/件 平均每件 获利/元 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 (1) 求y与x之间的数量关系. (2) 设该服装厂每天的总利润为w 元,求w 关于x的函数表达式. (3) 制定使每天总利润最大的加工方案. 类型三 “抛物线形”问题 6. 新情境·日常生活 如图①,灌溉车沿 着平行于绿化带底部边线l的方向 行驶,为绿化带浇水,已知喷水口H 离地竖直高度h=1.5m.如图②,可以把灌 溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐 标系中两条抛物线的一部分;把绿化带横截 面抽象为矩形DEFG,其水平宽度 DE= 3m,竖直高度EF=0.5m.下边缘抛物线是 由上边缘抛物线向左平移得到的,上边缘抛 物线最高点A 离喷水口的水平距离为2m, 高出喷水口0.5m.灌溉车到底部边线l的距 离OD 为d(单位:m). (1) 求上边缘抛物线对应的函数表达式以及 喷出水的最大射程OC. (2) 求下边缘抛物线与x轴正半轴的交点B 的坐标. (3) 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整 个绿化带,求d的取值范围. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数