21.4 二次函数的应用-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

(4) 由图象可知,若方程ax2+bx+ c=k有一正一负两个不相等的实数 根,则k 必须大于抛物线y=ax2+ bx+c与y轴交点的纵坐标-3. ∴ k的取值范围是k>-3. 7. A 解析:如图,二次函数y=(x- a)(x-b)的图象与x 轴的交点的横 坐标分别为a,b,将图象向上平移 2个单位可得到二次函数y=(x-a) (x-b)+2的图象.观察图象,可知 a<m<n<b. (第7题) 8. A 解析: ∵ y=ax2-2ax+a+ 2(a<0)化为顶点式为y=a(x- 1)2+2(a<0),∴ 抛物线的对称轴为 直线x=1.∴ M,N 两点关于直线 x=1对称.根据题意,知抛物线在点 M,N 之间的部分与线段MN 所围的 区域(包括边界)恰有5个整点,即这 些整点是 (0,0),(1,0),(1,1),(1, 2),(2,0)(如图).当x=0时,y=a+ 2;当 x = -1 时,y =4a +2, ∴ 0≤a+2<1, 4a+2<0, 解得-2≤a<-1. (第8题) 9. b≤-14 解析:∵ 对于任意实数 a,抛物线y=x2+2ax+a+b 与 x轴都有公共点,∴ (2a)2-4×1× (a+b)≥0.整理,得b≤a2-a. ∵ a2-a= a-12 2 -14 ,∴ a2-a 的最小值为-14.∴ b≤-14. 10. (1) (4,0) 解析:∵ y1=kx- 4k=k(x-4),∴ 直线y1=kx-4k 经过定点(4,0).∵ y2=ax2-4ax= ax(x-4),∴ 抛物线y2=ax2-4ax (a≠0)经过定点(4,0).∴ 直线y1 与 抛物线y2都经过同一个定点(4,0). (2) 2<x<4 解析:∵ y2=ax2- 4ax=a(x-2)2-4a,∴ 抛物线的顶 点坐标为(2,-4a).∵ 直线y1= kx-4k 经过抛物线y2=ax2-4ax (a≠0)的顶点,∴ 直线y1 与抛物线 y2的交点为(2,-4a),(4,0).∵ 当 x<2时,y1>y2,∴ a<0,k<0.画出 如图所示的大致图象.∴ 当y2>y1 时,x的取值范围是2<x<4. (第10题) 11. (1) 在y=mx+3中,令x=0,则 y=3. ∴ C(0,3). 将C(0,3)代入y=a(x-1)2+4,得 3=a+4,解得a=-1. ∴ y=-(x-1)2+4=-x2+ 2x+3. (2) 令y=-x2+2x+3=0,解得 x1=-1,x2=3. ∴ B(3,0). 由图象可知,a(x-1)2+4>mx+3 的x的取值范围是0<x<3. (3) 联立一次函数和二次函数,得 -x2+2x+3=mx+3.整理,得x2+ (m-2)x=0. ∵ 二次函数图象与一次函数图象只 有唯一公共点C, ∴ Δ=(m-2)2=0,解得m=2. 12. (1) 函数图象如图所示. (2) 答案不唯一,如函数的最小值为 -1;当x>1时,y随x的增大而增大. (3) ① x1=-2,x2=0,x3=2. ② 2. ③ -1<a<0. (第12题) 21.4　二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决 最优化问题 1. B 2. 450 3. 9 4cm 2 4. (1) ∵ AB=xm, ∴ BC=(28-x)m. ∴ S=AB·BC=x(28-x)= -x2+28x. ∴ S=-x2+28x(0<x<28). (2) 由题意,可知 x≥6 , 28-x≥15, 解得 6≤x≤13. 由(1)知,S=-x2+28x=-(x- 14)2+196. ∵ 当6≤x≤13时,S 随x 的增大而 增大, ∴ 当x=13时,S最大值=195. ∴ 花园的最大面积为195m2. 5. C 解析:方案1:如图①,设矩形 菜园的面积为S1平方米,AD=x米, 则AB=(8-2x)米.∴ S1=x(8- 2x)=-2x2+8x=-2(x-2)2+8. ∴ 当x=2时,S1 有最大值,为8.方 案2:如图②,过点A 作AD⊥BC 于 点D.设等腰三角形菜园的面积为S2 平方米,CD=x 米,AD=y 米,则 x2+y2=16.∴ S2= 1 2BC ·AD= 1 2 ·2x·y=xy.∵ (x-y)2=x2+ y2-2xy≥0,∴ 16-2xy≥0. ∴ xy≤8.∴ 当且仅当x=y=22 时,S2有最大值,为8.方案3:∵ 半圆 的半径=8π 米,∴ 此时菜园的最大面 积 = π× 8π 2 2 = 32 π (平 方 米). ∵ 32 π>8 ,∴ 最佳方案是方案3. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 6. B 解析:① 当0<x<4时,∵ 正 方形的边长为4cm,∴ y=S△ABD- S△APQ= 1 2×4×4- 1 2 ·x·x= -12x 2+8.② 当4<x<8时,y= S△BCD-S△CPQ= 1 2×4×4- 1 2 · (8-x)·(8-x)=-12 (x-8)2+ 8.③ 当x=4时,y=0.综上所述,符 合题意的是选项B的图象. 7. 15 解析:∵ D 是抛物线y= -x2+6x上一点,∴ 设点D 的坐标 为(x,-x2+6x).∵ 顶点C 的坐标 为(4,3),∴ OC= 42+32=5.∵ 四 边形OABC是菱形,∴ BC=OC=5, BC∥x轴.易知使得△BCD 面积最大 的点D 在直线BC 上方的抛物线上, ∴ -x2+6x>3.∴ S△BCD= 1 2× 5×(-x2+6x-3)=-52 (x-3)2+ 15.∵ -52<0 ,∴ S△BCD 有最大值, 最大值为15. 8. (1) ① (45-3x). ② 由题意,得DE·EF=78平方米, 即x(45-3x)=78,解得x1=2, x2=13. ∵ 45-3x≤9,解得x≥12, ∴ x=13. ∴ 饲养场的宽EF 为13米. (2) 设饲养场BDEF 的面积为S 平 方米. 当点F 在线段BC 上时,S=DE· EF=x(45-3x)=-3x2+45x= -3x-152 2 +6754 . ∵ -3<0,x≥12, ∴ 当x>152 时,y 随x 的增大而 减小. ∴ 当x=12时,S 有最大值,最大值 为108,此时BF=DE=45-3×12= 9(米),符合条件. 当点F 在线段BC 的延长线上时,设 DE 的长为y米. 由题意知,DB=GH=EF=x 米, DE=BF=y米,AD=(x-3)米. ∵ BC=9米, ∴ CF=(y-9)米. ∵ DE+CF=42-AD-GH-EF, ∴ y+y-9=42-(x-3)-x-x,解 得y= 1 2 (54-3x). ∴ S=DE·EF=12 (54-3x)x= -32 (x-9)2+2432 . ∵ -32<0 , ∴ 当x=9时,S有最大值,最大值为 243 2 ,此时BF=12× (54-3×9)= 27 2 (米),27 2>9 ,符合条件. ∵ 243 2 >108 , ∴ 当饲养场的宽EF 为9米时,饲养 场BDEF 的面积最大,最大面积为 243 2 平方米. 利用二次函数的性质求 实际问题中最值的方法 在实际问题中,求最值的一般 步骤如下: (1) 列出二次函数表达式,并 根据自变量的实际意义,确定自变 量的取值范围. (2) 在自变量的取值范围内, 运用公式法或配方法求出二次函 数的最值. 注意:当二次函数图象的顶点 的横坐标不在自变量的取值范围 内时,需结合二次函数的图象,根 据二次函数的增减性,在自变量的 取值范围内求出函数的最值. 9. (1) 由题意,可知∠MON=135°, ∠EOB=∠D=∠DBO=90°,OE= BD,DE=FC=OB, ∴ ∠EGO=∠EOG=45°. ∴ EG=EO=DB. 设DE=CF=OB=am,则GE= OE=BD=13 (120-2a)= 40- 2 3a m. ∵ ①②③这三块区域的面积相等, ∴ 1 2 40- 2 3a 2 = 12 ·a · 40-23a . ∴ a=24或a=60(不合题意,舍去). ∴ OB=24m. (2) 由(1),可得CF=DE=OB= xm,则GE=OE=BD=13 (120- 2x)= 40-23x m. ① y=S△GEO+S四边形OEDB= 1 2 40- 2 3x 2 +x40-23x . 整理,得y=- 4 9x 2+403x+800. ∵ x>0, 40-23x>0 , ∴ 0<x<60. ∴ y与x 之间的函数表达式为y= -49x 2+403x+800 (0<x<60). ② 由①,得y与x之间的函数表达式 为y= - 4 9x 2 +403x+800= -49 (x-15)2+900. ∵ -49<0 , ∴ 当x=15时,y 有最大值,最大值 是900. 第2课时 利用二次函数模型 解决抛物线形建筑问题 1. C 2. 4 3. (1) 由题图,可设抛物线形栅栏对 应的函数表达式为y=ax2.由已知, 得OC=1.8米,AC=1.5米, ∴ 点A 的坐标为(1.5,1.8). 将A(1.5,1.8)代入y=ax2,得 1.52a=1.8,解得a=45. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= 4 5x 2. (2) 如图,由题意,可知点C1,C2的横 坐标分别为0.5,1. 将x=0.5,1分别代入y= 4 5x 2,得 点C1,C2 的纵坐标分别为yC1 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 4 5×0.5 2=0.2,yC2= 4 5×1 2=0.8. ∴ 立柱C1D1=1.8-0.2=1.6(米), C2D2=1.8-0.8=1(米). ∵ 抛物线关于y轴对称, ∴ 一段栅栏所需5根立柱的总长为 2(C1D1+C2D2)+OC=2×(1.6+ 1)+1.8=7(米). (第3题) 4. A 解析:如图,以底部所在的直 线为x 轴,线段AB 的垂直平分线 为y 轴,建 立 平 面 直 角 坐 标 系, ∴ A(-40,0),B(40,0),E(0,200). 设内侧抛物线对应的函数表达式为 y=ax2+200.将(40,0)代入,得 1600a+200=0,解得a=-18.∴ 内 侧抛物线对应的函数表达式为y= -18x 2+200.将y=150代入,得 -18x 2+200=150,解得x=±20. ∴ C (-20,150),D (20,150). ∴ CD=40m. (第4题) 5. A 解析:如图,以AE 所在直线为 x轴,AB 所在直线为y 轴建立平面 直角坐标系.∵ AB=DE=1.5m, ∴ 点B 与点D 关于抛物线的对称轴 对称.∴ AE=2×1.6=3.2(m). (第5题) 6. 10 解析:如图,建立平面直角坐标 系.由题意知,点M 的坐标为(0,6),点 A的坐标为(-10,0),点B 的坐标为 (10,0).设中间大抛物线对应的函数 表达式为y=ax2+bx+c.代入A,B, M 三点的坐标,得 c=6, 100a-10b+c=0, 100a+10b+c=0, 解得 a=-350 , b=0, c=6. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 函数表达式为y= -350x 2+6.∵ NC=4.5m,∴ 令 y=4.5,得4.5=- 3 50x 2+6,解得 x1=5,x2=-5.∴ EF=5-(-5)= 10(m). (第6题) 7. (1) ∵ AO=17m, ∴ A(0,17). 又∵ OC=100m,缆索L1 的最低点 P 到FF'的距离PD=2m, ∴ 抛物线的顶点P 的坐标为(50,2). 设缆索L1所在抛物线对应的函数表 达式为y=a(x-50)2+2. 将A(0,17)代入,得2500a+2=17, 解得a= 3500. ∴ 缆索L1所在抛物线对应的函数表 达式为y= 3 500 (x-50)2+2. (2) ∵ 缆索L1所在抛物线与缆索L2 所在抛物线关于y 轴对称,缆索L1 所在抛物线对应的函数表达式为y= 3 500 (x-50)2+2, ∴ 缆索L2所在抛物线对应的函数表 达式为y= 3 500 (x+50)2+2. 令y=2.6, ∴ 2.6= 3500 (x+50)2+2, 解得x1=-40,x2=-60. ∵ FO<OD,即FO<50m, ∴ x=-40. ∴ FO 的长为40m. 8. (1) 由题意,得抛物线的顶点坐标 为(2,6),设抛物线对应的函数表达式 为y=a(x-2)2+6. ∵ 四边形OMNE 为正方形, ∴ 点E 的坐标为(0,4). 将(0,4)代入y=a(x-2)2+6,得 4=4a+6,解得a=-12. ∴ y=- 1 2 (x-2)2+6(0≤x≤4). (2) ∵ 抛物线的对称轴为直线x=2, 货车宽3米, ∴ 当货车从城门中间进入时,把x= 2+32= 7 2 代入y=- 1 2 (x-2)2+ 6,得y= 39 8. ∵ 39 8>4.5 , ∴ 该货车能正常进入. (3) 设点B 的坐标为(m,0),AB+ AD+CD 的长度为L米. ∵ 点B,C关于直线x=2对称, ∴ 点C的坐标为(4-m,0). ∴ AD=BC=(4-2m)米. ∵ y=- 1 2 (x-2)2+6=-12x 2+ 2x+4, ∴ 点 A 的坐标为 m,- 12m2+ 2m+4 . ∴ AB=CD= - 12m2+2m+ 4 米. ∵ L=2× -12m 2+2m+4 +4- 2m=-m2+2m+12=-(m-1)2+ 13,-1<0, ∴ 当m=1时,L取得最大值,最大值 为13. ∴ 最多需要花费13×300=3900(元). 第3课时 利用二次函数模型解决 抛物线形运动问题 1. B 2. 35 3 3. ∵ 甲车的刹车距离为12m, ∴ 令0.01x2+0.1x=12,即x2+ 10x-1200=0,解得x1=30,x2= -40(不合题意,舍去). ∴ 甲车的速度为30km/h. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 ∵ 乙车的刹车距离为10m, ∴ 令0.005x2+0.05x=10,即x2+ 10x-2000=0,解得x1=40,x2= -50(不合题意,舍去). ∴ 乙车的速度为40km/h. ∵ 30<35<40, ∴ 事故的原因主要是乙车超速. 自变量的值与函数值 已知自变量的值求函数值,直 接代入求值就可以了;已知函数值 求自变量的值,需要解方程,还需 要考虑自变量的取值范围. 4. A 解析:由题意,得h=8t-5t2. 当h=3时,有3=8t-5t2,解得t= 0.6或t=1.∴ 球的高度不低于3m 的持续时间是1-0.6=0.4(s). 5. D 解析:∵ 抛物线的顶点坐标为 (0,3.5),∴ 可设抛物线对应的函数 表达式为y=ax2+3.5.∵ 篮圈中心 在抛物线上,易知篮圈中心的坐标是 (1.5,3.05),∴ 将(1.5,3.05)代入 y=ax2+3.5,得3.05=a×1.52+ 3.5,解得a=-15.∴ y=- 1 5x 2+ 3.5.故 D 正 确.当 x=-2.5时, y=- 1 5× (-2.5)2+3.5=2.25, ∴ 球出手时离地面的高度是2.25m. 故A错误.篮圈中心的坐标是(1.5, 3.05),故B错误.此抛物线的顶点坐 标是(0,3.5),故C错误. 6. 15 解析:根据题意,知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(0, 54.0),(20,57.9),(40,46.2),则 c=54.0, 400a+20b+c=57.9, 1600a+40b+c=46.2, 解 得 a=-0.0195, b=0.585, c=54.0. ∴ 对 称 轴 为 直 线 x=-b2a=- 0.585 2×(-0.0195)=15 , 即该运动员起跳后飞行到最高点时, 水平距离为15m. 7. (1) ∵ h=2.6, ∴ y=a(x-6)2+2.6. 把(0,2)代入,得2=a(0-6)2+2.6, 解得a=-160. ∴ y与x 之间的函数表达式为y= -160 (x-6)2+2.6. (2) 球能越过球网,且球会出边界. 理由:由(1),知y=- 1 60 (x-6)2+ 2.6.当x=9时,y=- 1 60× (9- 6)2+2.6=2.45>2.43, ∴ 球能越过球网. 当y=0时,- 1 60 (x-6)2+2.6=0, 解得x1=6+2 39,x2=6-2 39 (不合题意,舍去). ∵ 6+2 39>18, ∴ 球会出边界. (3) ∵ 抛物线y=a(x-6)2+h过 点(0,2), ∴ 2=36a+h,即a=2-h36 . 若球能越过球网,则当x=9时,y≥ 2.43,即9a+h≥2.43,解得h≥19375 ; 若球不出边界,则当x=18时,y≤0, 即144a+h≤0,解得h≥83. ∴ 若球一定能越过球网,又不出边 界,则h的取值范围是h≥83. 8. (1) ∵ 二次函数的图象经过点(4, 16),(8,16), ∴ 二次函数图象的顶点坐标为(6,18). 设二次函数的表达式为y=a(t- 6)2+18. ∵ 二次函数图象经过点(0,0), ∴ 36a+18=0,解得a=-12. ∴ y 关于t 的函数表达式为y= -12 (t-6)2+18. (2) ∵ x=3t, ∴ t=x3. ∴ y=- 1 2 x 3-6 2 +18=-118x 2+ 2x. 当水 火 箭 落 地(高 度 为0m)时, -118x 2+2x=0,解得x1=0(不合题 意,舍去),x2=36. ∴ 水火箭飞行的水平距离为36m. (3) 设PQ 的长度为cm. ∴ 水火箭飞行的抛物线对应的函数 表达式为y=- 1 18x 2+2x+c. ① 当抛物线经过点A 时, ∵ AP=42m, ∴ 点A 的坐标为(42,0). ∴ -118×42 2+2×42+c=0,解得 c=14. ② 当抛物线经过点B 时, ∵ AP=42m,AB=(182-24)m. ∴ BP=(18+182)m. ∴ 点B 的坐标为(18+182,0). ∴ -118× (18+182)2+2×(18+ 182)+c=0,解得c=18. ∵ 水火箭落到AB内(包括端点A,B), ∴ 14≤c≤18. ∴ 14m≤PQ≤18m. ∴ 发射台高度PQ 的取值范围是 14m≤PQ≤18m. 专题特训二　二次函数的 实际应用 1. 设其中一个正方形的边长为xcm, 则另一个正方形的边长为56-4x 4 = (14-x)cm. 根据题意,得S=x2+(14-x)2= 2x2-28x+196. ∵ 2>0, ∴ 当x=-b2a=7 时,S有最小值. ∵ 7×4=28(cm),56-28=28(cm), ∴ 当两段铁丝的长度都为28cm时, S有最小值. 2. (1) 根据题意,得S=(30-2x+ 2)x=-2x2+32x. (2) 当S=96时,-2x2+32x=96, 解得x1=12,x2=4. ∵ 墙长10m,门宽2m, ∴ 2≤30-2x+2≤10,解得11≤ x≤15. ∴ x的值为12. (3) 根据题意,得S=(30-2x+a+ 2)x=-2x2+(32+a)x. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 18 21.4　二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决最优化问题 ▶ “答案与解析”见P10 1. 已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm, 则这个直角三角形的最大面积为 ( ) A. 25cm2 B. 50cm2 C. 100cm2 D. 90cm2 2. (2024·泰安)如图,小明的父亲想用长为 60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩 形菜园.已知房屋外墙长40米,则可围成的 菜园的最大面积是 平方米. (第2题) (第3题) 3. 如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=3cm, BC=4cm.点P 从点A 出发,以1cm/s的速 度沿AB 运动;同时,点Q 从点B 出发,以 2cm/s的速度沿BC 运动.当点Q 到达点C 时,P,Q 两点同时停止运动,则△PBQ 的最 大面积是 . 4. 在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图 所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱 笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB, BC两边),设AB=xm,花园的面积为Sm2. (1) 求S与x 之间的函数表达式,并写出自 变量的取值范围. (2) 若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分 别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边 界,不考虑树的粗细),求花园的最大面积. (第4题) 5. 新情境·日常生活 九年级(16)班计划在劳动 实践基地内种植蔬菜.班长买回来8米长的 围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园. 如图,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出 了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形 这三种方案,最佳方案是 ( ) (第5题) A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 面积都一样 6. (2024·阜阳界首模拟)如图,正方 形ABCD 的边长为4cm,动点P,Q 同时从点A 出发,以1cm/s的速度 分别沿A→B→C 和A→D→C 的路径向点 C 运动.设运动时间为x(单位:s),四边形 PBDQ 的面积为y(单位:cm2),则y 与x (0<x<8)之间的函数图象大致为 ( ) (第6题) A. B. C. D. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 19 7. 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的 顶点 A 在 x 轴正半轴上,顶点 C 的坐标为 (4,3),D 是抛物线 y=-x2+6x上一点,且 在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为 . (第7题) 8. ★如图,某牧场准备利用现成的一堵“7”字型 的墙面(粗线 A-B-C 表示墙面,其中 AB⊥BC,AB=3米,BC=9米)和总长为 42米的篱笆围成一个“日”字形的饲养场 BDEF(细线表示篱笆,饲养场中间GH 也用 篱笆隔开),点F可能在线段BC上,也可能在 线段BC的延长线上,设EF的长为x米. (1) 当点F 在线段BC 上时, ① DE= 米(用含x的代数式表示). ② 若要求所围成的饲养场BDEF 的面积为 78平方米,求饲养场的宽EF. (2) 当饲养场的宽EF 为多少米时,饲养场 BDEF 的面积最大? 最大面积为多少平 方米? (第8题) 9. 为了节省材料,某水产养殖户利用 水 库 的 一 角∠MON (∠MON = 135°)的两边,用总长为120m的围 网在水库中围成了如图所示的①②③三块区 域,其中区域①的形状为直角三角形,区域 ②③的形状为矩形,而且四边形OBDG 为直 角梯形. (1) 若①②③这三块区域的面积相等,求OB 的长. (2) 设OB=xm,四边形OBDG 的面积为 ym2. ① 求y与x之间的函数表达式,并注明自变 量x的取值范围. ② 当x 为何值时,y 有最大值? 最大值是 多少? (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 20 第2课时 利用二次函数模型解决抛物线形建筑问题 ▶ “答案与解析”见P11 1. 如图所示为某中学教学楼前喷水池喷出的抛 物线形水柱,其对应的函数表达式为y= -(x-2)2+6,则水柱的最大高度是 ( ) A. 2m B. 4m C. 6m D. (2+6)m (第1题) (第2题) 2. (2024·淮南期中)如图,一座拱桥的下方轮 廓是抛物线形,拱高8m,跨度24m,相邻两 支柱间的距离均为6m,则支柱MN 的长度 为 m. 3. 某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅 栏组成.如图,其中一段拱形栅栏为抛物线的 一部分,栅栏的跨径AB 间按相同的间距 0.5米用5根立柱加固,拱高OC 为1.8米. (1) 以O 为原点,OC 所在的直线为y 轴建 立如图所示的平面直角坐标系,请根据以上 数据,求出抛物线形栅栏对应的函数表达式. (2) 请计算一段栅栏所需5根立柱的总长. (第3题) 4. 新考向·地域文化 如图①,“东方之门”通过简 单的几何曲线处理,将传统文化与现代建筑 融为一体,最大程度地传承了苏州的历史文 化.如图②,“门”的内侧曲线呈抛物线形,其 底部宽度为80m,高度为200m,则离地面 150m处的水平宽度(即CD 的长)为 ( ) (第4题) A. 40m B. 30m C. 25m D. 20m 5. 新情境·日常生活 如图所示为一款抛物线形 落地灯的示意图,防滑螺母C 为抛物线支架 的最高点,灯罩D 距离地面1.5m,最高点C 距灯柱的水平距离为1.6m,灯柱 AB= 1.5m.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几 到灯柱的距离AE 为 ( ) (第5题) A. 3.2m B. 0.32m C. 2.5m D. 1.6m 6. 如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形, 左右两个抛物线形是全等的.正常水位时,大 孔的水面宽度为20m,顶点距水面6m,小孔 顶点距水面4.5m.当水位上涨刚好淹没小 孔时,大孔的水面宽度为 m. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 21 7. (2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观 的悬索桥.桥梁的缆索L1 与缆索L2 均呈抛 物线形,桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面. 如图,以O 为原点,直线FF'为x 轴,桥塔 AO 所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. 已知:缆索L1所在抛物线与缆索L2 所在抛 物线关于y 轴对称,桥塔AO 与桥塔BC 之 间的距离OC=100m,AO=BC=17m,缆索 L1的最低点P 到FF'的距离PD=2m(桥 塔的粗细忽略不计). (1) 求缆索L1 所在抛物线对应的函数表 达式. (2) 点E 在缆索L2 上,EF⊥FF',且EF= 2.6m,FO<OD,求FO 的长. (第7题) 8. 某地有一处城门的横断面分为两部 分,上半部分为抛物线形状,下半部 分为正方形(四边形OMNE 为正方 形),城门宽度为4米,最高处离地面6米.如 图①,以O 为原点,OM 所在直线为x轴,OE 所在直线为y轴建立平面直角坐标系. (1) 求出上半部分抛物线对应的函数表达 式,并写出其自变量的取值范围. (2) 若有一辆宽3米、高4.5米的货车需要通 过该城门进入城区,则该货车能否正常进入? (3) 由于城门年久失修,需要搭建一个矩形 “巩固门”ABCD,该“巩固门”关于抛物线的 对称轴对称(如图②),其中AB,AD,CD 为 三根承重钢支架,点A,D 在抛物线上,点B, C 在地面上.已知钢支架每米300元,则搭建 这样一个矩形“巩固门”,仅钢支架一项,最多 需要花费多少元? (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 22 第3课时 利用二次函数模型解决抛物线形运动问题 ▶ “答案与解析”见P12 1. 向空中发射一枚炮弹,经x 秒后的高度为 y米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx+ c(a≠0).若此炮弹在第6秒与第14秒时的 高度相等,则炮弹达到最大高度的时间是 ( ) A. 第8秒B. 第10秒C. 第12秒D. 第15秒 2. (2024·广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出 手(点P 处)的高度OP 是74m ,出手后实心 球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距 离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M, 则OM= m. (第2题) 3. ★汽车在行驶过程中由于惯性,刹车后还要向 前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离 为刹车距离.在一个限速35km/h的弯道上, 甲、乙两车相向而行,发现情况不对时,同时 刹车,但还是相撞了,事后测得甲车的刹车距 离为12m,乙车的刹车距离为10m.已知甲 车的刹车距离s甲(m)与车速x(km/h)之间 的关系是s甲=0.01x2+0.1x,乙车的刹车距 离s乙(m)与车速x(km/h)之间的关系是 s乙=0.005x2+0.05x,请从两车的速度方面 分析事故的原因. 4. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 8m/s,经过ts时球的高度为hm,且h和t 满足h=v0t- 1 2gt 2(v0 表示球弹起时的速 度,g表示重力系数,取g=10m/s2),则球的 高度不低于3m的持续时间是 ( ) A. 0.4s B. 0.6s C. 0.8s D. 1s 5. 一名篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球 运动的水平距离为2.5m时,达到最大高度 3.5m,然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心 距离地面的高度为3.05m,在如图所示的平 面直角坐标系中,下列说法正确的是 ( ) A. 球出手时离地面的高度是2m B. 篮圈中心的坐标是(4,3.05) C. 此抛物线的顶点坐标是(3.5,0) D. 此抛物线对应的函数表达式为y= -15x 2+3.5 (第5题) (第6题) 6. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动 员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一 部分,运动员起跳后的竖直高度y(m)与水 平距离x(m)近似满足函数关系y=ax2+ bx+c(a≠0).如图所示为某运动员起跳后 的x与y的三组数据,根据上述函数模型和 数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高 点时,水平距离为 m. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 23 7. 在如图所示的平面直角坐标系中, 排球运动员站在点O 处练习发球, 将球从点O 正上方2m的点A 处 发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运 行的水平距离x(m)满足函数表达式y= a(x-6)2+h.已知球网与点O 的水平距离 为9m,高度为2.43m,球场的边界距点O 的 水平距离为18m. (1) 当h=2.6时,求y与x之间的函数表达 式(不要求写出自变量x的取值范围). (2) 当h=2.6时,球能否越过球网? 球会不 会出边界? 请说明理由. (3) 若球一定能越过球网,又不出边界,求h 的取值范围. (第7题) 8. 新情境·新科技 【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的 简易火箭,通常由塑胶汽水瓶作为 火箭的箭身,并把水当作喷射剂.如图①所示 为某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水 火箭. 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能,兴趣小组同学通 过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距 离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)的数 据,并确定了函数表达式为x=3t.同时也收 集了飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单 位:s)的数据,发现其近似满足二次函数关 系.数据如下表所示: 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行高度y/m 0 10 16 18 16 … 【建立模型】 (1) 求y关于t的函数表达式. 【反思优化】 如图②所示为兴趣小组同学在室内操场的水 平地面上设置的一个高度可以变化的发射平 台(距离地面的高度为PQ),当弹射高度变 化时,水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下 平移得到,线段AB 为水火箭回收区域,已知 AP=42m,AB=(182-24)m. (2) 探究飞行距离,当水火箭落地(高度为 0m)时,求水火箭飞行的水平距离. (3) 当水火箭落到AB 内(包括端点A,B), 求发射台高度PQ 的取值范围. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数