3.4 圆心角-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

50 3.4　圆 心 角 ▶ “答案与解析”见P23 1. 如图,A,B,C,D 是☉O 上的四个点,AB= CD,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F, 则下列结论错误的是 ( ) (第1题) A. AB ︵ =CD ︵ B. OE=OF C. ∠AOB=∠COD D. AC ︵ =BC ︵ 2. 如图,点A,B,C,D 在☉O 上,∠AOB= ∠BOC=∠COD,∠ABC=100°,则AD ︵ 的 度数为 ( ) (第2题) A. 100° B. 105° C. 120° D. 130° 3. 如图,AB,AC,BC 是☉O 的三条弦,OD⊥ AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为D,E, F,且OD=OE=OF,则△ABC 是 三角形(按边分). (第3题) 4. 如图,AB 是☉E 的直径,AC,CD,DB 是弦,且 AC=CD=DB,则∠AED 的度数为 . (第4题) 5. 如图,正方形ABCD 的四个顶点都在☉O 上,M 为AD ︵ 的中点,连结BM,CM.求证: BM=CM. (第5题) 6. 把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后 展开,虚线表示折痕,则BC ︵ 的度数为( ) (第6题) A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 7. 易错题 如图,A,B,C 是☉O 上的三个点, ∠AOB 是锐角,且∠AOB=2∠BOC.有下 列结 论:① AB=2BC;② AB ︵ =2BC ︵; ③ ∠OBA=∠OCA.其中,正确的个数是 ( ) (第7题) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 51 8. 如图,点A,B,C 在☉O 上,连结AB,BC, OC.若 AB=BC,∠B=40°,则∠OCB= °. (第8题) 9. 如图,在☉O 中,AB ︵ =AC ︵,∠ACB=60°. (1) 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC. (2) 若D 是AB ︵ 的中点,连结AD,BD,求 证:四边形OADB 是菱形. (第9题) 10. 如图,∠AOB=90°,C,D 是AB ︵ 的 三等分点,连结AB,分别交OC, OD于点E,F,连结CD.求证:AE= BF=CD. (第10题) 11. 如图,AB 是☉O 的直径,AB=2,C,D 是 ☉O 上的两点,且BC ︵ +BD ︵ =23AB ︵,M 是 AB 上的一点,则 MC+MD 的最小值是 . (第11题) 12. 如图,在☉O 中,C 是ACB ︵ 的中 点,D,E 分别是OA,OB 上的点, 且AD=BE,弦CM,CN 分别过 点D,E.求证: (1) CD=CE. (2) AM ︵ =BN ︵ . (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　圆的基本性质 4m.∵ C 为运行轨道 的 最 低 点, ∴ AC︵=BC︵,OC⊥AB.∴ 线段CD 的长就是点C到弦AB 所在直线的距 离,AD=BD= 12AB= 1 2×6= 3(m),∠ADO = 90°.∴ OD = OA2-AD2= 42-32= 7(m). ∴ CD=OC-OD=(4- 7)m,即 点C 到弦AB 所在直线的距离是 (4-7)m. (第6题) 7. 60° 解析:过点O 作OD⊥MN 于 点 D,连 结 OM 交 AB 于 点 P. ∵ OD⊥MN,∴ MD=12MN= 3. 在Rt△ODM 中,OM=2,MD= 3, ∴ OD= OM2-MD2 =1.∴ OD= 1 2OM.∵ ∠ODM =90°,∴ 易 得 ∠OMD=30°.∵ M 是AB︵ 的中点, ∴ AB ⊥OM.∴ ∠MPC =90°. ∴ ∠ACM=90°-∠PMC=90°- 30°=60°. 8. 5 解析:如图,连结CO 并延长, 交AE 于点T.∵ C 为ABE︵ 的中点, ∴ AC︵ =CE︵.∴ CT⊥AE,AT= TE=12AE=4. 在△AOT和△COD中, ∠ATO=∠CDO=90°, ∠AOT=∠COD, AO=CO, ∴ △AOT≌ △COD.∴ AT=CD=4.设☉O 的半 径为r.在Rt△COD 中,由勾股定理, 得OC2=CD2+OD2,即r2=42+ (r-2)2,解得r=5.∴ ☉O 的半径 为5. (第8题) 9. (1) 设OC=x,则OA=x. ∵ A 为CD︵ 的中点, ∴ OA⊥CD. ∵ AE=12OC , ∴ OE=12OA= 1 2x. ∴ 易得∠OCE=30°. ∵ OC⊥PC, ∴ 易得∠P=30°. ∴ PO=2OC=2x. ∵ PA=6, ∴ PO=PA+OA=6+x. ∴ 6+x=2x,解得x=6. ∴ ☉O 的半径为6. (2) 由(1),得OC=6,OE=3. 由勾股定理,得CE= 62-32=33. ∵ OA⊥CD, ∴ CD=2CE=63. 10. (1) 如图①,过点F 作FH⊥EC, 垂足为H. 由题意,得FH=EH=4m, ∴ EF = 42+42 =42 (m), ∠GEC=45°. 易知GC=12×8=4 (m), ∴ 易得GE=GC=4m. ∴ GF=EF-GE=(42-4)m. ∵ 42-4<3, ∴ GF 的长度未达到车身宽度. ∴ 长8m、宽3m的消防车不能通过 该直角弯道. (2) 如图②,取 MM'︵的中点E,连结 OE,交AB 于点F,交CD 于点G.若 点C,D 分别与点 M',M 重合,则 △OGM 为等腰直角三角形, ∴ 易 得 OG=GM =4m,OM = 42m. ∴ OF=ON=OM-MN=(42- 4)m. ∴ FG=OG-OF=4-(42-4)= (8-42)m. ∵ 8-42<3, ∴ 点C,D 在MM'︵上(不与点M',M 重合). 设ON=x m,则OG=(x+3)m, OC=(x+4)m. 在 Rt△OCG 中,由 勾 股 定 理,得 OG2+CG2=OC2,即(x+3)2+42= (x+4)2,解得x=4.5. ∴ ON 的最小长度为4.5m. (第10题) 3.4　圆 心 角 1. D 2. C 3. 等边 4. 120° 5. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=CD. ∴ AB︵=CD︵. ∵ M 为AD︵ 的中点, ∴ AM︵=DM︵. ∴ AB︵+AM︵=CD︵+DM︵, 即BM︵=CM︵. ∴ BM=CM. 6. C 解析:如图,连结BO,过点O 作OE⊥AB 于点E,延长OE 交☉O 于点 F.由 题 意,得 EF =EO = 1 2FO.∵ ∠OEB = 90°,EO = 1 2FO= 1 2BO ,∴ 易得∠EBO=30°. 由题意,可知AB∥DC,∴ ∠BOD= ∠EBO =30°.∴ ∠BOC=180°- ∠BOD=180°-30°=150°.∴ BC︵ 的 度数为150°. (第6题) 7. B 解析:取AB︵ 的中点E,连结 OE,AE,BE,则AE︵=EB︵.∴ AE= EB,∠AOE=∠BOE.∵ ∠AOB= 2∠BOC=∠AOE+∠BOE,∴ ∠AOE= ∠BOE=∠BOC.∴ AE=BE=BC, AE︵ =BE︵ =BC︵.在 △AEB 中, ∵ AB<AE+BE,∴ AB<2BC.故 ①错误.∵ AB︵=AE︵+BE︵,∴ AB︵= 2BC︵.故②正确.∵ OA=OB=OC, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 ∴ ∠OBA=12 (180°-∠AOB)= 90°-∠BOC,∠OCA= 12 (180°- ∠AOC)=90°-32∠BOC.∴ ∠OBA≠ ∠OCA.故③错误.综上所述,正确的 个数是1. 由圆心角、弧、弦之间的 相等关系误得倍数关系 在同圆或等圆中,如果两个圆 心角、两条弧、两条弦中有一组量 相等,那么它们所对应的其余各组 量都分别相等.但应注意的是,同 圆或等圆中,当两个圆心角或两条 弧存在倍数(1倍除外)关系时,对 应的 两 条 弦 不 存 在 相 应 的 倍 数 关系. 8. 20 解析:如图,连结 AO,BO, 则OA =OB =OC.∴ ∠OBC = ∠OCB,∠OAB=∠OBA.∵ AB= BC,∴ ∠AOB=∠BOC.∴ ∠OBA= 1 2 (180°- ∠AOB)= 12 (180°- ∠BOC)=∠OBC.∵ ∠ABC=40°, ∴ ∠OBC = 20°.∴ ∠OCB = ∠OBC=20°. (第8题) 9. (1) ∵ AB︵=AC︵, ∴ AB=AC. ∵ ∠ACB=60°, ∴ △ABC是等边三角形. ∴ AB=BC=AC. ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC. (2) 连结OD. ∵ D 是AB︵ 的中点, ∴ AD︵=BD︵. ∴ ∠AOD=∠BOD=12∠AOB= 1 2× 1 3×360°=60°. ∵ OD=OA,OD=OB, ∴ △OAD 和△OBD 都 是 等 边 三 角形. ∴ OA=AD=OD,OB=BD=OD. ∴ OA=AD=BD=OB. ∴ 四边形OADB 是菱形. 10. 连结AC,BD. ∵ 在☉O 中,∠AOB=90°,C,D 是 AB︵ 的三等分点, ∴ ∠AOC = ∠COD = ∠BOD = 1 3∠AOB= 1 3×90°=30°. ∵ OA=OB, ∴ ∠OAB=∠OBA=45°. ∵ ∠AOC=∠BOD=30°, ∴ ∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+ 30°=75°. ∵ OA=OC,∠AOC=30°, ∴ ∠ACE=75°. ∴ ∠ACE=∠AEC. ∴ AC=AE. 同理,可得BF=BD. ∵ C,D 是AB︵ 的三等分点, ∴ AC=CD=BD. ∴ AE=BF=CD. 11. 3 解析:如 图,过 点 D 作 DD'⊥AB 于点H,交☉O 于点D',连 结OC,OD',则BD︵=D'B︵.∵ BC︵+ BD︵=23AB ︵,∴ CD'︵=BC︵+BD'︵= 2 3AB ︵.∵ AB︵ 的度数为180°,∴ CD'︵ 的度数为180°×23=120°.∴ ∠COD'= 120°.连结 CD'交AB 于点 M',若 点M 与点M'重合,则 MC+MD 的 值最小,为线段CD'的长.过点O 作 ON⊥CD'于点N,交☉O 于点G,连 结CG,则CN=ND'.∵ OC=OD', ∴ ∠OCD'=∠OD'N=30°.∴ ∠COG= 60°.∵ OC=OG,∴ △OCG 为等边 三 角 形.∵ CN⊥OG,∴ ON = 1 2OG.∵ OG=OC= 12AB=1 , ∴ ON=12.∴ CN= 12- 12 2 = 3 2.∴ CD'= 3.∴ MC+MD 的最 小值是3. (第11题) 12. (1) 如图,连结OC. ∵ C是ACB︵ 的中点, ∴ AC︵=BC︵. ∴ ∠COD=∠COE. ∵ OA=OB,AD=BE, ∴ OA-AD=OB-BE,即OD=OE. 在△COD 和△COE 中, OD=OE, ∠COD=∠COE, CO=CO, ∴ △COD≌△COE. ∴ CD=CE. (2) 如图,连结OM,ON. 由(1),知△COD≌△COE, ∴ ∠CDO=∠CEO,∠OCD=∠OCE. ∵ OC=OM=ON, ∴ ∠OCM=∠M,∠OCN=∠N. ∴ ∠M=∠N. ∵ ∠CDO = ∠M + ∠MOD, ∠CEO=∠N+∠NOE, ∴ ∠MOD=∠NOE,即∠MOA= ∠NOB. ∴ AM︵=BN︵. (第12题) 3.5　圆 周 角 第1课时 圆周角定理及其推论1 1. D 2. A 3. 50° 4. 10 5. (1) ∵ 在☉C中,OA 是直径, ∴ ∠ADO=90°,即OD⊥AB. ∵ 在☉O 中,OD⊥AB, ∴ AD=BD. (2) ∵ EO=AO=10,DE=4, ∴ OD=EO-DE=6. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42