2.4 概率的简单应用-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

34 2.4　概率的简单应用 ▶ “答案与解析”见P15 1. 为了吸引广大消费者,某公司推出一款盲盒 产品(所有盲盒的外观、质量等均相同).其中 有常规款及隐藏款(包括“大隐藏”和“小隐 藏”).已知每1000个盲盒中的常规款有 960个,“小隐藏”有30个,“大隐藏”有10个. 现从中随机抽取1个,抽取到的是“大隐藏” 的概率为 ( ) A. 2 25 B. 1 100 C. 3 100 D. 1 25 2. 某商场举办有奖销售活动,每张奖券被抽中 的可能性相同.若以每1000张奖券为一个开 奖单位,设5个一等奖,15个二等奖,不设其 他奖项,则只抽1张奖券恰好中奖的概率是 . 3. 小张家购置了一辆新车,爸爸、妈妈商议确定 车牌号.前三位选定为8ZK后,对后两位数 字的意见有分歧,最后决定由毫不知情的小 张从如图所示的四个数字中随机划去两个, 剩下的两个数字从左到右组成两位数,续在 8ZK之后,则选定的车牌号为8ZK86的概率 是 . (第3题) 4. 小莉家附近有一公交车站,大约每隔30分钟 有一趟公交车经过.“小莉在到达车站后 10分钟内可坐上公交车”这一事件的概率是 . 5. 已知某保险公司的一张关于某地区的人口寿 命表,现摘录部分内容如下: 年龄x 生存人数lx 死亡人数dx … … … 40 80500 892 续表 年龄x 生存人数lx 死亡人数dx 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解答下面的题目: (1) 某人今年50岁,他当年死亡的概率是多 少? 他活到80岁的概率是多少(结果精确到 0.0001)? (2) 在(1)的条件下,如果有20000个50岁 的人购买保险,当年死亡的人均赔偿金为 20万元,估计保险公司在该地区当年需付赔 偿的总额为多少万元. 6. 一个密码箱的密码由从0到9的自然数构 成.若要使不知道密码的人一次就拨对密码 的概率小于 1 2022 ,则密码至少有 ( ) A. 三位 B. 四位 C. 五位 D. 六位 7. 某市民政部门在国庆期间举行“即开式福利 彩票”的销售活动,发行彩票100万张(每张 彩票售价10元),在这些彩票中,设置了如下 奖项: 奖金(元) 10000 5000 1000 数量(个) 10 40 150 奖金(元) 500 100 10 数量(个) 400 1000 10000 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 35 如果花10元购买1张彩票,那么所得奖金不 少于500元的概率是 ( ) A. 1 2500 B. 3 20000 C. 1 5000 D. 3 5000 8. 小李和小王在拼图游戏中,从如图所示的三 张纸片中任取两张,若拼成房子(即一张三角 形纸片和一张正方形纸片),则小李赢;否则 小王赢.这个规则对 有利. (第8题) 9. ★(2024·甘肃)一只不透明的布袋 中,装有质地、大小均相同的四个小 球,小球上分别标有数字1,2,3,4. 甲、乙两人玩摸球游戏,规则如下:两人同时 从布袋中随机各摸出1个小球,若两个小球 上的数字之和为奇数,则甲胜;若两个小球上 的数字之和为偶数,则乙胜. (1) 请用画树状图或列表的方法,求甲获胜 的概率. (2) 这个游戏规则对甲、乙双方公平吗? 请 说明理由. 10. 新情境·日常生活 某商场开展“真情 回报社会”的幸运抽奖活动,共设 五个奖金等级,最高奖金每份1万 元,平均奖金为180元,下面是奖金的分 配表: 奖金等级 奖金额(元) 中奖人数 一等奖 10000 3 二等奖 5000 8 三等奖 1000 89 四等奖 50 300 五等奖 10 600 一名顾客抽到一张奖券,奖金额为10元,她 调查了周围不少正在兑奖的其他顾客,很少 有超过50元的.她气愤地去找商场的领导 理论,领导解释说这不存在什么欺骗,平均 奖金确实为180元.你认为商场所说的平均 奖金是否欺骗了顾客? 此种说法是否能够 很好地反映中奖的一般金额? 用统计与概 率的有关知识做简要分析说明.以后遇到类 似抽奖活动的问题,应该更关心什么? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　简单事件的概率 ∴ P(向西参观)=39= 1 3 ,P(向南 参观)=P(向北参观)=P(向东参 观)=29. ∵ 1 3> 2 9 , ∴ 嘉淇经过两个十字道口后向西参 观的概率最大. (第9题) 10. (1) 1 4. (2) 列表如下: 第一次和 第二次 9 8 7 6 9 18 17 16 15 8 17 16 15 14 7 16 15 14 13 6 15 14 13 12 由表,可知共有16种等可能的结果, 其中棋子最终跳动到点C 处(和为 14)的结果有3种, ∴ 棋子最终跳动到点C 处的概率 为3 16. 2.3　用频率估计概率 1. D 2. 0.9 3. 白球 4. (1) a=1898÷2000=0.949, b=2850÷3000=0.950. (2) 由题表可知,随着抽取的口罩数 量不断增大,任意抽取一个口罩是合 格品的频率在0.95附近摆动, ∴ 从这批口罩中任意抽取一个,这个口 罩是合格品的概率的估计值是0.95. (3) 380000÷0.95=400000(个), ∴ 该厂估计要生产400000个口罩. 5. C 解析:根据频率分布折线图可 知,试验结果的频率在0.4附近摆动, 即其概率大约为0.4,对于A,P(出现 正面朝上)=12=0.5 ,故A不符合题 意;对于B,P(出现2点朝上)=16≈ 0.17,故B不符合题意;对于C,P(取 到的是黑球)=25=0.4 ,故C符合题 意;对于D,P(取到的球中有黑球)= 14 20=0.7 ,故D不符合题意. 6. 1.6 解析:∵ 正方形的边长为 2cm,∴ S正方形=22=4(cm2).∵ 投掷 点落入黑色部分的频率稳定在0.4左 右,∴ 估计投掷点落入黑色部分的概率 为0.4.∴ S黑色部分 S正方形 =0.4.∴ S黑色部分= 4×0.4=1.6(cm2). 7. (1) 参与该游戏可免费得到景点 吉祥物的概率为15000 60000=0.25. (2) 设纸箱中有x 个白球,则纸箱中 共有(12+x)个球. 由题意,得0.25×(12+x)=12,解得 x=36. ∴ 估计纸箱中白球的数量为36个. 8. (1) 估计“和为7”出现的概率 为0.33. (2) 根据题意,列表如下: 甲和 乙 2 3 4 x 2 5 6 2+x 3 5 7 3+x 4 6 7 4+x x 2+x 3+x 4+x 由表,可知共有12种等可能的结果, 由(1),知“和为7”出现的概率约 为0.33, ∴ “和为7”出现的结果有0.33× 12=3.96≈4(种). 若2+x=7,则x=5,此时P(和为 7)=13≈0.33 ,符合题意;若3+x= 7,则x=4,不符合题意;若4+x=7, 则x=3,不符合题意. ∴ x=5. 2.4　概率的简单应用 1. B 2. 1 50 3. 1 3 4. 1 3 5. (1) 某人今年50岁,他当年死亡的 概率是 951 78009≈0.0122 , 他活 到 80 岁 的 概 率 是1607878009≈ 0.2061. (2) 估计保险公司在该地区当年需付 赔偿的总额为20000×0.0122×20= 4880(万元). 6. B 解析:若密码有一位,则一次就 拨对密码的概率为1 10 ;若密码有两位, 则一次就拨对密码的概率为 1 100 ;若密 码有三位,则一次就拨对密码的概率 为 1 1000 ;若密码有四位,则一次就拨对 密码 的 概 率 为 1 10000.∵ 1 10000< 1 2022< 1 1000 ,∴ 密码至少有四位. 7. D 解析:由表格中的数据可知,奖 金不少于500元的有四种情况:奖金 为500元、奖金为1000元、奖金为 5000元、奖金为10000元,∴ 需要分 类讨论:① 奖金为500元的概率是 400 1000000= 1 2500 ;② 奖金为1000元 的概率是 150 1000000= 3 20000 ;③ 奖金 为5000元 的 概 率 是 401000000= 1 25000 ;④ 奖金为10000元的概率是 10 1000000= 1 100000.∴ 所得奖金不 少 于 500 元 的 概 率 是 12500+ 3 20000+ 1 25000+ 1 100000= 3 5000. 8. 小李 解析:用A,B,C 分别表示 三张纸片,画树状图如图所示.由图, 可知共有6种等可能的结果,其中能 拼成房子的结果有4种,∴ P(小李 赢)= 46 = 2 3 ,P(小王赢)= 13. ∵ 2 3> 1 3 ,∴ 这个规则对小李有利. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 9. (1) 根据题意,画树状图如图所示. 由图,可知共有12种等可能的结果, 其中甲获胜的结果有8种, ∴ 甲获胜的概率为8 12= 2 3. (2) 不公平. 理由:由图,可知乙获胜的结果有 4种, ∴ 乙获胜的概率为4 12= 1 3. ∵ 2 3> 1 3 , ∴ 这个游戏规则对甲、乙双方不 公平. (第9题) 判断游戏公平性的方法 判断游戏是否公平,就是根据游 戏规则判断游戏双方获胜的概率是 否相等.若相等,则游戏就是公平的; 否则,游戏就是不公平的.另外,不公 平游戏规则的修改,即为修改游戏规 则使游戏双方获胜的概率相等. 10. 这次抽奖的平均奖金为(10000× 3+5000×8+1000×89+50×300+ 10×600)÷(3+8+89+300+600)= 180(元). ∴ 商场所说的平均奖金没有欺骗 顾客. ∵ P(中奖金额不超 过50元)= 300+600 3+8+89+300+600=0.9 , P(中 奖 金 额 超 过 50 元)=1- 0.9=0.1, 中奖金额的众数为10元,中位数为 10元, ∴ 此种说法不能够很好地反映中奖 的一般金额. 答案不唯一,如以后遇到类似抽奖活 动的问题,应该更关心众数和中位数 是多少. 第2章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 B 解析:点数的和为1是不 可能事件,故A不符合题意;点数的 和为6是随机事件,故B符合题意;点 数的和大于12是不可能事件,故C不 符合题意;点数的和小于13是必然事 件,故D不符合题意. [变式] D 解析:两数相加,和大于 其中一个加数,是随机事件.故A不 符合题意.当-1<x<0时,|x+ 1|<1,∴ |x+1|≥1不是必然事件. 故B不符合题意.射击运动员射击一 次,命中8环,是随机事件.故C不符 合题意.同号两数相乘,得正数,是必 然事件,需要注意的是,0没有符号, 不属于同号这个范畴.故 D 符 合 题意. 典例2 B 解析:明天下雨的概率为 80%,只是说明明天下雨的可能性大, 与时间无关,故A不符合题意;经过 有信号灯的十字路口时,可能遇到红 灯,也可能遇到绿灯,是随机事件,故 B符合题意;某彩票中奖概率是1%, 买100张这种彩票中奖是随机事件, 不一定会有1张中奖,故C不符合题 意;小明前几次的数学测试成绩都在 90分以上,这次的数学测试成绩不一 定在90分以上,故D不符合题意. [变式] D 解析:“打开电视,正在 播放河南新闻节目”是随机事件,故A 不符合题意;某种彩票中奖概率为 20%是中奖的可能性为20%,但买五 张不一定有一张中奖,故B不符合题 意;投掷一枚正方体骰子掷得6的概 率是1 6 ,表示的意义是投掷一枚正方 体骰子掷得6的可能性是16 ,但每投 掷6次不一定有一次掷得6,故C不 符合题意;投掷一枚正方体骰子6次, 可能一次也不能掷得6,但投掷很多 次后会发现掷得6的频率稳定在16 左右,故D符合题意. 典例3 B 解析:∵ 一个不透明的 袋子中装有4个白球,3个红球,2个 绿球,1个黑球,共有10个球,∴ 从中 随机摸出一个球,摸出白球的概率为 4 10= 2 5 ,摸出红球的概率为3 10 ,摸出 绿球的概率为2 10= 1 5 ,摸出黑球的概 率为1 10. [变式] 23 解析:在-2,87 ,π,0, 2,3.14这6个数中,有理数为-2, 8 7 ,0,3.14,共4个数,则P(卡片上的 数为有理数)=46= 2 3. 典例4 20 解析:∵ 通过大量重复 试验可以发现,摸到红球的频率稳定 在0.2左右,∴ 5 5+m =0.2 ,解得 m=20.经检验,m=20是原方程 的解. [变式] 40 解析:由折线统计图知, 随着试验次数的增加,频率逐渐稳定 在0.33左右,据此可估计摸出红色球 的概率为0.33,∴ 袋中红色球的个数 为120×0.33≈40. 典例5 (1) ∵ 同一排有5个座位, 靠窗的座位是A 和F,共2个, ∴ 系统将小王安排到靠窗座位的概 率是2 5. (2) 系统分配给小王和小李的座位所 有可能的结果可以列成表格如下: 小李 小王 A B C D F A (A,B)(A,C)(A,D)(A,F) B (B,A) (B,C)(B,D)(B,F) C (C,A)(C,B) (C,D)(C,F) D (D,A)(D,B)(D,C) (D,F) F (F,A)(F,B)(F,C)(F,D) 由表,可知共有20种等可能的结果, 其中座位相邻的结果有6种.∴ 系统 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61