1.3 二次函数的性质-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

12 1.3　二次函数的性质 ▶ “答案与解析”见P5 1. 关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法中正 确的是 ( ) A. 图象的对称轴在y轴的右侧 B. 图象与y轴的交点坐标为(0,8) C. 图象与x 轴的交点坐标为(-2,0)和 (4,0) D. y的最小值为-9 2. (2024·绍兴柯桥期中)已知二次函数y= (x-1)2+m,当点(-1,y1),(0,y2),(4,y3) 在函数图象上时,则y1,y2,y3的大小关系正 确的是 ( ) A. y3<y1<y2 B. y2<y1<y3 C. y1<y3<y2 D. y1<y2<y3 3. 已知二次函数y=-2x2+12x-19,当y随 x的增大而增大时,x的取值范围是 ( ) A. x≥-1 B. x≤-1 C. x≥3 D. x≤3 4. 已知二次函数y=2x2-mx+5,当x<-2 时,y随x的增大而减小;当x>-2时,y随 x 的增大而增大.当x=-1时,y 的值是 . 5. 已知二次函数y=2x2-8x+11,当1≤x≤4 时,y的取值范围是 . 6. 新情境·日常生活 有一个抛物线形的蔬菜大 棚,将其截面放在如图所示的平面直角坐标 系中,抛物线对应的函数表达式可以用y= ax2+bx来表示.已知大棚在地面上的宽度 OA 为8m,距离点O2m处的棚高BC 为 9 4m. (1) 求该抛物线对应的函数表达式. (2) 求蔬菜大棚离地面的最大高度. (3) 若借助横梁DE 建一个门,要求门的高 度不低于1.5m,则横梁DE 的宽度最大是 多少米? (第6题) 7. (2023·邵阳)已知 P1(x1,y1), P2(x2,y2)是抛物线y=ax2+4ax+ 3(a是常数,且a≠0)上的点,现有 下列结论:① 该抛物线的对称轴是直线x= -2;② 点(0,3)在抛物线上;③ 若x1>x2> -2,则y1>y2;④ 若y1=y2,则x1+x2= -2.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知二次函数y=ax2-2ax+3(a>0),当 0≤x≤m 时,3-a≤y≤3,则m 的取值范 围是 ( ) A. 0≤m≤1 B. 0≤m≤2 C. 1≤m≤2 D. m≥2 9. 新考法·新定义题 定义:min{a,b}= a(a≤b), b(a>b). 若函数y=min{x+1,-x2+2x+3},则该 函数的最大值为 ( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 13 10. 如图,点A 在抛物线y=x2-2x+ 2上运动,过点A 作AC⊥x 轴于 点C,以 AC 为 对 角 线 作 矩 形 ABCD,连结 BD,则 BD 长的最小值为 . (第10题) 11. (2024·杭州西湖段考)已知点A(-7,y1), B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠ 0)上,C(x0,y0)是该抛物线的顶点,若y1> y2≥y0,则x0的取值范围是 . 12. 已知抛物线y=x2-2bx+c. (1) 若抛物线的顶点坐标为(2,-3),求b,c 的值. (2) 若b+c=0,则是否存在实数x,使得对 应的y的值为1? 请说明理由. (3) 分类讨论思想 若c=b+2,且抛物线在 -2≤x≤2上的最小值是-3,求b的值. 13. 已知二次函数y=-x2+6x-5. (1) 求该二次函数图象的顶点坐标. (2) 当1≤x≤4时,函数的最大值 和最小值分别为多少? (3) 当t≤x≤t+3时,设函数的最大值为 m,最小值为n.若m-n=3,求t的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　二次函数 ∠ACO=∠ODB=90°, ∴ △AOC≌△OBD. ∴ DO=AC=1,BD=OC=2. ∴ B(-1,2). 当x=-1时,y= 1 3× (-1-1)2+ 2 3=2 , ∴ 点B 在这个二次函数的图象上. (第1题) 2. (1) 设二次函数的表达式为y= ax2+bx+c, 将A,B,C三点坐标代入,得 9a+3b+c=0, c=-3, 4a-2b+c=5, 解得 a=1, b=-2, c=-3. ∴ 二次函数的表达式为y=x2- 2x-3. ∵ y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴ 顶点P 的坐标为(1,-4). (2) 列表: x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0 如图,二次函数的图象即为所求. 过点P 作PD⊥x轴于点D, ∴ 四 边 形 OBPA 的 面 积 = S梯形ODPB+S△APD= 1 2× (3+4)×1+ 1 2×2×4= 15 2. (第2题) 3. (1) 当x=0时,y=- 1 2x+ 4=4, ∴ A(0,4). 当y=0时,- 1 2x+4=0 ,解得 x=8. ∴ B(8,0). 设抛物线对应的函数表达式为y= a(x+2)(x-8), 把A(0,4)代入,得a×2×(-8)=4, 解得a=-14. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= -14 (x+2)(x-8),即y=- 1 4x 2+ 3 2x+4. (2) ∵ y=- 1 4x 2+32x+4= -14 (x-3)2+254 , ∴ M 3,254 . 如图,过点M 作MD⊥x轴于点D, 则四边形AOBM 的面积=S梯形AODM+ S△BDM= 1 2× 4+ 25 4 ×3+12×5× 25 4=31. (第3题) 4. 连结AB,A'B'. ∵ 平移前后的抛物线的形状相同, ∴ 线段AB 与抛物线C1 组成的空白 部分的面积等于线段A'B'与抛物线 C2组成的涂色部分的面积. ∴ S四边形A'B'BA=S涂色部分=9. ∵ 沿x轴方向平移后点A,B 的对应 点分别为A',B', ∴ AA'=BB',AA'∥BB'∥x轴. ∴ 四边形A'B'BA 为平行四边形. ∵ A(m,5),B(n,2), ∴ 点A 到BB'的距离=yA-yB= 5-2=3,即▱A'B'BA 的边B'B 上的 高为3. ∵ S四边形A'B'BA=9, ∴ 3BB'=9. ∴ BB'=3. ∴ 抛物线C2 是由抛物线C1:y= 1 2x 2-2x+3=12 (x-2)2+1沿 x轴向左平移3个单位得到的. ∴ 抛物线C2 对应的函数表达式为 y= 1 2 (x-2+3)2+1= 12 (x+ 1)2+1. 1.3　二次函数的性质 1. D 2. B 3. D 4. -1 5. 3≤ y≤11 6. (1) 由题意,得抛物线经过 点 C 2,94 ,A(8,0). ∴ 4a+2b=94 , 64a+8b=0, 解得 a=-316 , b=32. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 该抛物线对应的函数表达式为 y=- 3 16x 2+32x. (2) ∵ y = - 3 16x 2 + 32x = -316 (x-4)2+3, ∴ 当x=4时,y取得最大值. ∴ 蔬菜大棚离地面的最大高度是 3m. (3) 由题意,知当y=1.5时,DE 的 宽度取得最大值. ∴ 令-316x 2+32x=1.5 ,解得x1= 4+22,x2=4-22. ∴ DE=x1-x2=4+22-(4- 22)=42(m). ∴ 横梁DE 的宽度最大是42m. 7. B 解析:∵ 抛物线y=ax2+4ax+ 3的对称轴为直线x=-4a2a=-2 , ∴ ①正确.当x=0时,y=3,则点(0, 3)在抛物线上,∴ ②正确.当a>0 时,若x1>x2>-2,则y1>y2;当 a<0时,若x1>x2>-2,则y1<y2, ∴ ③错误.当y1=y2 时,点P1(x1, y1),P2(x2,y2)关于直线x=-2对 称,则x1+x2=-4,∴ ④错误.综上 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 所述,正确的有2个. 8. C 解析:∵ 二次函数y=ax2- 2ax+3=a(x-1)2+3-a(a>0), ∴ 该函数的图象开口向上,对称轴是 直线x=1,当x=1时,该函数取得最 小值3-a.∵ 当0≤x≤m 时,3- a≤y≤3,当y=3时,x=2或x=0, ∴ 1≤m≤2. 9. C 解析:令x+1=-x2+2x+3, 解得 x1 = -1,x2 =2.∴ y= x+1(-1≤x≤2), -x2+2x+3(x<-1或x>2), 画 出函数图象如图所示.把x=2代入 y=x+1,得y=3,∴ 该函数的最大 值为3. (第9题) 10. 1 解析:∵ AC⊥x 轴,∴ 当A 为抛物线的顶点时,AC 长取最小值. ∵ y=x2-2x+2=(x-1)2+1, ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,1).∴ AC 长的最小值为1.∵ 四边形ABCD 为 矩形,∴ BD=AC.∴ BD 长的最小 值为1. 11. x0>-2 解析:∵ 点A(-7, y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2+ bx+c(a≠0)上,-7<3,C(x0,y0)是 该抛 物 线 的 顶 点,y1>y2≥y0, ∴ a>0,49a-7b+c>9a+3b+c. ∴ b<4a.∴ b 2a<2.∴ -b2a>-2. ∴ x0=- b 2a>-2. 12. (1) ∵ 抛物线y=x2-2bx+c 的顶点坐标为(2,-3), ∴ y=(x-2)2-3=x2-4x+1. ∴ b=2,c=1. (2) 存在. 理由:令y=1,则x2-2bx+c=1, ∴ x2-2bx+c-1=0. ∵ b+c=0, ∴ c=-b. ∵ (-2b)2-4(c-1)=4b2-4(-b- 1)=4b2+4b+4=(2b+1)2+3>0, ∴ 存在实数x,使得对应的y 的值 为1. (3) ∵ c=b+2, ∴ 抛物线对应的函数表达式可化为 y=x2-2bx+b+2. ∴ 对称轴为直线x=b. ① 当b≤-2时,函数在x=-2时取 得最小值-3,此时(-2)2-2b× (-2)+b+2=-3,解得b=-95 ,不 合题意; ② 当b≥2时,函数在x=2时取得最 小值-3,此时22-2b×2+b+2= -3,解得b=3; ③ 当-2<b<2时,函数在x=b时 取得最小值-3,此时b2-2b·b+ b+2=-3,即b2-b-5=0,解得 b1= 1+ 21 2 (不 合 题 意,舍 去), b2= 1- 21 2 . 综上所述,b的值为3或1- 212 . 13. (1) ∵ y=-x2+6x-5= -(x-3)2+4, ∴ 该二次函数图象的顶点坐标为(3,4). (2) ∵ a=-1<0, ∴ 抛物线的开口向下. ∵ 顶点坐标为(3,4), ∴ 当x=3时,y最大值=4. ∵ 当1≤x≤3时,y 随x 的增大而 增大, ∴ 当x=1时,y最小值=0. ∵ 当3<x≤4时,y 随x 的增大而 减小, ∴ 当x=4时,y最小值=3. ∴ 当1≤x≤4时,函数的最大值为 4,最小值为0. (3) 当t≤x≤t+3时,对t进行分类 讨论:① 当t+3<3,即t<0时,y随 x的增大而增大. 当x=t+3时,函数取得最大值,m= -(t+3-3)2+4=-t2+4; 当x=t时,函数取得最小值,n= -t2+6t-5. ∴ m-n=-t2+4-(-t2+6t- 5)=-6t+9. 令-6t+9=3,解得t=1(不合题意, 舍去). ② 当0≤t<3时,顶点的横坐标在取 值范围内, ∴ m=4. (Ⅰ) 当0≤t<32 时,函数在x=t时 取得最小值, ∴ n=-t2+6t-5. ∴ m-n=4-(-t2+6t-5)=t2- 6t+9. 令t2-6t+9=3,解得t1=3- 3, t2=3+3(不合题意,舍去). (Ⅱ) 当3 2≤t<3 时,函数在x=t+3 时取得最小值, ∴ n=-t2+4. ∴ m-n=4-(-t2+4)=t2. 令t2=3,解得t3= 3,t4=- 3(不 合题意,舍去). ③ 当t≥3时,y随x的增大而减小. 当x=t时,函数取得最大值,m= -t2+6t-5; 当x=t+3时,函数取得最小值,n= -t2+4. ∴ m-n=-t2+6t-5-(-t2+ 4)=6t-9. 令6t-9=3,解得t=2(不合题意, 舍去). 综上所述,t的值为3-3或3. 1.4　二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决 面积最值问题 1. A 2. 2 3. 75 4. 由题意,得y= 1 2× (8-x)(6- x)×2=x2-14x+48=(x-7)2-1, ∴ 抛物线的对称轴为直线x=7. ∴ 当0.5≤x≤1时,y随x的增大而 减小. ∴ 当x=0.5时,y 最大,y最大值 = (0.5-7)2-1=41.25. ∴ 改造后剩余油菜花地所占的最大 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6