23.3.3　相似三角形的性质 同步练 2025-2026学年 华东师大版（2024）九年级数学上册

23.3.3　相似三角形的性质 1.相似三角形对应线段的比等于 ． 2.相似三角形对应 、 、 的比也等于相似比． 3.相似三角形对应周长的比等于 ，对应面积的比等于 ． 考点1　利用相似三角形的性质求周长问题 【典例1】已知两个相似三角形的一对对应边长为20 cm、35 cm，若它们的周长差为63 cm，求这两个三角形的周长． 熟记相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 【变式训练】 1.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为( ) A.2 B．4 C．8 D．32 考点2　用相似三角形面积的比求面积或线段 【典例2】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝3AD，AC＝3AE. (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)如果△ADE的面积为10，求四边形BCDE的面积． 相似三角形面积的比∶相似三角形面积的比等于相似比的平方．若△ABC∽△A′B′C′，且它们的相似比为k，则＝k2. 【变式训练】 2.如图，已知在△ABC中，DE∥BC，＝. (1)若BC＝21，求DE的长； (2)若S四边形DBCE＝45，求S△ADE的值． 知识点1　相似三角形对应线段的比 1.（海南东方校级期中）若两个相似三角形的对应中线之比为2∶3，则它们的对应高之比为( ) A．2∶3 B．4∶9 C．9∶4 D．3∶2 2.若△ABC∽△DEF，其对应中线之比为2∶3，则∠ABC与∠DEF的平分线之比为( ) A．4∶9 B．2∶3 C．∶ D．16∶81 3.若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2∶3，则△ABC与△DEF的相似比为 ． 知识点2　相似三角形的周长比 4.两个相似三角形的周长比是1∶2.则其相似比是( ) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 5.（海南海口秀英区校级期中）两个相似三角形的一对对应边的长分别是20 cm、8 cm，它们的周长差为60 cm，则这两个三角形的周长分别为 、 ． 知识点3　相似三角形的面积比 6.（海南三亚校级期中）在打印三角形图片时，打印前后三角形形状没变，其中一条边由原图中的2 cm打印后变成了6 cm，则打印出的三角形的面积是原图中三角形面积的( ) A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍 7.已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的面积为20，则△DEF的面积为( ) A．5 B．40 C．80 D．无法计算 8.已知△ABC∽△A′B′C′，S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶4，若AB＝2，则A′B′的长为 ． 9.（海南海口期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若＝，则的值为( ) A． B． C． D． 10.如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，∠ADE＝∠B，M、N分别是DE、BC的中点，若＝，则的值为( ) A． B． C． D． 11.（海南文昌校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE、BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝( ) A．2∶5 B．3∶5 C．2∶3 D．3∶2 12.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，＝. (1)若AB＝8，求线段AD的长； (2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 13.（推理能力）（海南海口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1＝∠B.设BD的长为x(0＜x＜8). 　 (1)求证：△DCE∽△ABD. (2)用含x的代数式表示CE的长；当CE＝2时，求x的值． (3)当x为何值时，△ADE为等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.3.3　相似三角形的性质 1.相似三角形对应线段的比等于　相似比　． 2.相似三角形对应　高　、　中线　、　角平分线　的比也等于相似比． 3.相似三角形对应周长的比等于　相似比　，对应面积的比等于　相似比的平方　． 考点1　利用相似三角形的性质求周长问题 【典例1】已知两个相似三角形的一对对应边长为20 cm、35 cm，若它们的周长差为63 cm，求这两个三角形的周长． 解：设两个三角形的周长分别为x cm、y cm.由题意，得＝＝. ∵它们的周长差为63 cm， ∴x＝63×＝84，y＝63×＝147. 答：这两个三角形的周长为84 cm、147 cm. 熟记相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 【变式训练】 1.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为(　C　) A.2 B．4 C．8 D．32 考点2　用相似三角形面积的比求面积或线段 【典例2】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝3AD，AC＝3AE. (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)如果△ADE的面积为10，求四边形BCDE的面积． (1)证明：∵AB＝3AD， AC＝3AE， ∴＝，＝， ∴＝， 又∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC； (2)解：∵△ADE∽△ABC，且＝， ∴＝＝，又∵S△ADE＝10， ∴S△ABC＝9·S△ADE＝9×10＝90， ∴S四边形BCDE＝S△ABC－S△ADE＝90－10＝80. 相似三角形面积的比∶相似三角形面积的比等于相似比的平方．若△ABC∽△A′B′C′，且它们的相似比为k，则＝k2. 【变式训练】 2.如图，已知在△ABC中，DE∥BC，＝. (1)若BC＝21，求DE的长； (2)若S四边形DBCE＝45，求S△ADE的值． (1)∵＝，∴＝＝， ∵DE∥BC，BC＝21，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝， ∴DE＝BC＝×21＝6，∴DE的长是6. (2)∵△ADE∽△ABC， ∴＝＝＝， ∵S△ABC＝S△ADE＋S四边形DBCE，且S四边形DBCE＝45， ∴＝，∴S△ADE＝4，∴S△ADE的值是4. 知识点1　相似三角形对应线段的比 1.（海南东方校级期中）若两个相似三角形的对应中线之比为2∶3，则它们的对应高之比为(　A　) A．2∶3 B．4∶9 C．9∶4 D．3∶2 2.若△ABC∽△DEF，其对应中线之比为2∶3，则∠ABC与∠DEF的平分线之比为(　B　) A．4∶9 B．2∶3 C．∶ D．16∶81 3.若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2∶3，则△ABC与△DEF的相似比为　2∶3　． 知识点2　相似三角形的周长比 4.两个相似三角形的周长比是1∶2.则其相似比是(　B　) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 5.（海南海口秀英区校级期中）两个相似三角形的一对对应边的长分别是20 cm、8 cm，它们的周长差为60 cm，则这两个三角形的周长分别为　100 cm　、 　40 cm　． 知识点3　相似三角形的面积比 6.（海南三亚校级期中）在打印三角形图片时，打印前后三角形形状没变，其中一条边由原图中的2 cm打印后变成了6 cm，则打印出的三角形的面积是原图中三角形面积的(　C　) A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍 7.已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的面积为20，则△DEF的面积为(　C　) A．5 B．40 C．80 D．无法计算 8.已知△ABC∽△A′B′C′，S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶4，若AB＝2，则A′B′的长为　4　． 9.（海南海口期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若＝，则的值为(　C　) A． B． C． D． 10.如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，∠ADE＝∠B，M、N分别是DE、BC的中点，若＝，则的值为(　A　) A． B． C． D． ∵∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵M、N分别是DE、BC的中点，∴AM、AN分别是△ADE与△ABC的中线，∴＝. 11.（海南文昌校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE、BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝(　C　) A．2∶5 B．3∶5 C．2∶3 D．3∶2 12.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，＝. (1)若AB＝8，求线段AD的长； (2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积． (1)∵＝，∴＝，∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2； (2)∵△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积是16，∵四边形BFED是平行四边形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴＝，∴＝＝，∴△EFC的面积＝9，∴平行四边形BFED的面积＝16－9－1＝6. 13.（推理能力）（海南海口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1＝∠B.设BD的长为x(0＜x＜8). 　 (1)求证：△DCE∽△ABD. (2)用含x的代数式表示CE的长；当CE＝2时，求x的值． (3)当x为何值时，△ADE为等腰三角形． (1)∵∠ADC＝∠1＋∠2＝∠B＋∠3，∠1＝∠B，∴∠2＝∠3. 又AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∴△DCE∽△ABD. (2)∵△DCE∽△ABD， ∴＝，即＝， ∴CE＝－x2＋x. ∵CE＝2，∴－x2＋x＝2，解得x＝2或6. (3)∵△ADE为等腰三角形，∴存在以下三种情况： ①当DA＝DE时，△DCE≌△ABD， ∴DC＝AB＝6，即8－x＝6，解得x＝2； ②当EA＝ED时，∠DAE＝∠1＝∠B＝∠C， ∴△DAC∽△ABC， ∴＝，即＝，解得x＝； ③当AD＝AE时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时x＝0， （或当AD＝AE时，∠1＝∠AED＞∠C. ∵∠1＝∠B＝∠C，） ∴AD＝AE情况不成立． 综上所述，当x＝2或x＝时，△ADE为等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$