专题21.1 二次函数重难点题型专训（3个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版2012）

专题21.1 二次函数重难点题型专训 （3个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 题型四 待定系数法求二次函数解析式 拓展训练一 二次函数的综合运算 知识点一：二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的特征：1）函数关系式的左侧是因变量，右侧是含有自变量的是整式； 2）自变量的最高次数是2；3）二次项系数不能为0. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海·期末）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D．． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）若函数为二次函数，则实数 ． 知识点二：二次函数的一般式 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时， 2)当c＝0时， 3)当b＝0且c＝0时， 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏南通·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 知识点三：列二次函数 在实际问题中建立二次函数解析式的一般步骤： 1.审清题意,分清实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量),并分析它们之间的关系，找出等量关系. 2.用含一个变量的代数式表示等量关系中的相关数量，从而写出用一个变量表示另一个变量的函数解析式 3.注意自变量的取值范围，在实际问题中，自变量的取值要符合实际意义. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 【经典例题一 列二次函数关系式】 【例1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 4．（23-24九年级下·山东·课后作业）如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．    【经典例题二 二次函数的识别】 【例1】（23-24九年级上·广西贵港·阶段练习）下列函数是二次函数的有（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·全国·假期作业）在下列表达式中，为自变量，问哪些是二次函数？ ，，，，，，． 1．（24-25九年级下·全国·假期作业）正方形的面积和边长的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 4．（22-23九年级·上海·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数】 【例1】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【例2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川凉山·期末）当二次函数的解析式为时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 4．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数（为常数），求当为何值时，是的二次函数？ 【经典例题四 待定系数法求二次函数解析式】 【例1】（2025九年级上·浙江·专题练习）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·吉林·期中）已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列各函数表达式中，是如图所示的抛物线对应的函数表达式的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东肇庆·三模）抛物线如图所示，则它的解析式是 ． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示． (1)写出c的值； (2)求出二次函数的表达式 【拓展训练一 二次函数的综合运算】 【例1】（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若函数是二次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 【例2】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，这是抛物线形拱桥．当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米．以水面所在的直线为轴，以抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系．求抛物线的表达式． 1．（24-25九年级下·陕西西安·期中）二次函数的图象经过，其中m、n为常数，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，则过点B，C，E的抛物线的函数解析式为 ． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数中，部分数值如下表所示： x 求此二次函数解析式． 1．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 4．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 7．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过两点，则这个二次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·云南昭通·期末）若抛物线经过点，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．4 11．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 12．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）若函数是关于的二次函数，则的值是 ． 14．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 … 则这个二次函数的表达式为 ． 15．（18-19九年级上·吉林长春·期末）已知抛物线y＝+1有下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y＝+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是 ． 16．（19-20九年级上·安徽·阶段练习）有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式. 17．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 18．（20-21九年级上·全国·课后作业）已知关于x的函数． 当m为何值时，y是x的二次函数； 当m为何值时，y是x的一次函数； 19．（20-21九年级上·全国·课后作业）（1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值． 20．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点是的中点，连接并延长交二次函数的图像于点． (1)求二次函数的解析式； (2)在线段上有动点（不与，重合），过点作轴交线段于点，在的右侧作交二次函数的图像于点，当时，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.1 二次函数重难点题型专训 （3个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 题型四 待定系数法求二次函数解析式 拓展训练一 二次函数的综合运算 知识点一：二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的特征：1）函数关系式的左侧是因变量，右侧是含有自变量的是整式； 2）自变量的最高次数是2；3）二次项系数不能为0. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海·期末）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的一般形式是常数），并据此对各选项进行分析判断． 分别对每个选项中的函数进行化简，然后根据二次函数的定义判断其是否为二次函数． 【详解】A、函数符合二次函数的一般形式），故它是二次函数，不符合题意； B、函数也符合二次函数的一般形式，它是二次函数，不符合题意； C、函数同样符合二次函数的一般形式，故是二次函数，不符合题意； D、对进行化简，，化简后函数最高次项是一次，不符合二次函数的定义，故它不是二次函数，符合题意；． 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）若函数为二次函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的一般式为（，为常数）是解本题的关键． 根据二次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴． 故答案为：2． 知识点二：二次函数的一般式 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时， 2)当c＝0时， 3)当b＝0且c＝0时， 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏南通·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，． 知识点三：列二次函数 在实际问题中建立二次函数解析式的一般步骤： 1.审清题意,分清实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量),并分析它们之间的关系，找出等量关系. 2.用含一个变量的代数式表示等量关系中的相关数量，从而写出用一个变量表示另一个变量的函数解析式 3.注意自变量的取值范围，在实际问题中，自变量的取值要符合实际意义. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 2．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 【经典例题一 列二次函数关系式】 【例1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可； （2）把（1）中的除以5即可得到． 【详解】解：（1） ； （2）． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式。根据已知得出三角形的高，再利用三角形的面积公式列式即可． 【详解】解：∵BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1， ∴这条边上的高为：2x+1， 根据题意得出：. 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：． 3．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 4．（23-24九年级下·山东·课后作业）如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．    【答案】S＝- x2＋30x（0＜x＜30） 【分析】由铁丝的长是60cm，一边长xcm，可知另一边长是（30-x）cm，然后根据长方形的面积公式即可求出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式． 【详解】∵铁丝的长是60cm，一边长xcm， ∴另一边长是（30-x）cm， ∴S=x（30-x）＝- x2＋30x（0＜x＜30）. 【点睛】本题考查了列二次函数解析式，解决本题的关键得到所求矩形的等量关系，易错点是得到另一边的长度；注意求自变量的取值应从线段的长为正数入手考虑． 【经典例题二 二次函数的识别】 【例1】（23-24九年级上·广西贵港·阶段练习）下列函数是二次函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如、、为常数，的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二次函数，故本选项符合题意； B．，分母中含有，不是二次函数，故本选项不符合题意； C．是一次函数，故本选项不符合题意； D．当时，（、为常数）是一次函数，当时，是常函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25九年级下·全国·假期作业）在下列表达式中，为自变量，问哪些是二次函数？ ，，，，，，． 【答案】二次函数有：，，，． 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1；（2）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为2．根据二次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：二次函数有：，，，． 1．（24-25九年级下·全国·假期作业）正方形的面积和边长的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式判断函数类型即可． 本题考查了正方形的面积，函数的判定，熟练掌握函数的特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得正方形的面积公式为，其中是面积，是边长，是二次函数， 故A，B，C都错误，D正确， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数叫二次函数，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义可得答案． 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③是二次函数． 故答案为：①②③． 4．（22-23九年级·上海·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数】 【例1】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1)，函数的表达式是 (2)二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0 【分析】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由①得，，由②得， ∴，函数的表达式是． （2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，解得或， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川凉山·期末）当二次函数的解析式为时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项系数不等于零是解题的关键． 先根据二次函数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴且，解得：． 故选C． 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键． 根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， 综上所述：m的值为4． 故答案为：4． 4．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数（为常数），求当为何值时，是的二次函数？ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．根据二次函数的定义，最高指数是2且二次项系数不能等于0列式求解． 【详解】解：因为是的二次函数， 所以且， 由得， 解得， 又，即， 所以． 【经典例题四 待定系数法求二次函数解析式】 【例1】（2025九年级上·浙江·专题练习）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：． 设抛物线的表达式为，将代入上式，即可求解； 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为，其中， 将代入上式，得 ， 解得， 故抛物线的表达式为． 故选C． 【例2】（24-25九年级上·吉林·期中）已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法解二次函数，掌握二次函数的顶点式，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 已知顶点坐标为，设抛物线的解析式为，把点代入即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得，， ∴， ∴抛物线的解析式为． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列各函数表达式中，是如图所示的抛物线对应的函数表达式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 设该抛物线对应的函数表达式为，将代入计算即可． 【详解】根据图象可知，该抛物线与x轴交点的坐标为，，与y轴交点的坐标为． 设该抛物线对应的函数表达式为． 将代入， 得， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为． 故选：B． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，直接设抛物线为，再进一步求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点， ∴设二次函数为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 故选：A 3．（2025·广东肇庆·三模）抛物线如图所示，则它的解析式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，根据图象确定抛物线过点，将其代入解析式求出b，c的值即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线过点， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示． (1)写出c的值； (2)求出二次函数的表达式 【答案】(1) (2) 【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键． （1）将点代入即可求出c； （2）把点代入即可求出函数表达式． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点； ∴将点代入得；． （2）解：设函数的表达式为， ∵函数图象经过点， ∴把点代入得； ； ∴函数的表达式为：． 【拓展训练一 二次函数的综合运算】 【例1】（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若函数是二次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：． 【例2】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，这是抛物线形拱桥．当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米．以水面所在的直线为轴，以抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系．求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意求得二次函数即可，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 【详解】解：设该抛物线的表达式为． 由题意可得该抛物线经过，，三点， ， 解得， 该抛物线的表达式为． 1．（24-25九年级下·陕西西安·期中）二次函数的图象经过，其中m、n为常数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 设抛物线解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】解：设抛物线解析式为，将点代入，得 解得： ∴解析式为， 故选：D． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，则过点B，C，E的抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据OA＝8，AB＝AC＝10，可得B（6，0），C（﹣6，0），A（0，﹣8），设点D（m，n），由S△COE＝S△ADE，得S△CDB＝S△AOB，从而求出n的值，可得点D是AB的中点，进而可得点E为△ABC的重心，即可得点E的坐标，最后即可求出过点B，C，E的抛物线的函数解析式． 【详解】解：∵OA＝8，AB＝AC＝10， ∴OB＝OC＝＝6， ∴B（6，0），C（﹣6，0），A（0，﹣8） 设点D（m，n）， ∵S△COE＝S△ADE， ∴S△COE+S四边形OEDB＝S△ADE+S四边形OEDB ∴S△CDB＝S△AOB， ∴BC•|n|＝AO•BO， ∴12（﹣n）＝ 8×6， 解得n＝﹣4， 设直线AB解析式为y＝kx+b， 把A（0，﹣8），B（6，0），代入得， 解得，b＝﹣8，k＝， ∴直线AB解析式为y＝x﹣8， 当y＝﹣4时，x＝3， ∴D（3，﹣4）， ∵C（﹣6，0）， 同理可得CD解析式为y＝x﹣， ∴点E的坐标为：（0，﹣）， 设经过B、C、E三点的二次函数的解析式为：y＝ax2﹣， 把B（6，0）代入得，0＝36a﹣， a＝， ∴过点B，C，E的抛物线的函数解析式为：y＝x2﹣． 故答案为：y＝x2﹣． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解决本题的关键是求出点E的坐标，解题时注意转化思想的合理运用． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数中，部分数值如下表所示： x 求此二次函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据表中数值一次求出的值即可求解，弄清表中数值的对应关系是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， 把代入，得到， 把，，代入，得到， ∴此二次函数解析式． 1．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二次函数关系式．根据正方形的面积=边长边长即可求得． 【详解】解：由正方形面积公式得：． 故选：D． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A．关系式为：，故A错误； B．关系式为：，故B错误； C．关系式为：，故C错误； D．关系式为：，故D正确． 故选：D． 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 4．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：D． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，求参数，根据二次函数的定义得出关于m的不等式和方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得． 故选：D． 7．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值． 【详解】解：把代入函数解析式， 得： 解得． 故选：D． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可得，图象过，可设抛物线解析式为. 由图可知，对称轴为直线，可确定顶点坐标为. 将顶点坐标代入方程，从而求得a的值，得到解析式. 【详解】解：由图可知：设抛物线解析式为. 代入顶点坐标得：. . 所以抛物线方程为：. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数图象性质及二次函数表达式的求解. 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过两点，则这个二次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．将点代入二次函数解析式，建立方程组求解b和c的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过两点， ∴将代入中得： ，解得：， ∴二次函数表达式为：， 故选：C． 10．（24-25九年级上·云南昭通·期末）若抛物线经过点，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式，把点代入抛物线，即可解得k． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴, 解得． 故选：A． 11．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 12．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）若函数是关于的二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如可得且然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意，得， 即：， 解得． ． 故答案为：． 14．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 … 则这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法的一般步骤是解题的关键．解题时利用待定系数法解答，将表格中的x，y的对应值分别代入得到三元一次方程组，解三元一次方程组即可得出结论． 【详解】解：表格中的x，y的对应值分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故答案为：． 15．（18-19九年级上·吉林长春·期末）已知抛物线y＝+1有下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y＝+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是 ． 【答案】+3 【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值， 【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示． ∵点P′在抛物线上， ∴P′F＝P′E． 又∵点到直线之间垂线段最短，MF＝， ∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF＝+3． 故答案为+3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键． 16．（19-20九年级上·安徽·阶段练习）有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式. 【答案】y＝4x2-80x+400. 【分析】首先计算出正方形的边长，再利用正方形的性质表示出无盖盒子的底边边长，进而得出函数关系式． 【详解】解：正方形的边长为80÷4＝20cm， 根据题意可得：y＝(20−2x)2＝4x2-80x+400． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出正方形盒子的底边长是解题关键． 17．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案． 【详解】（1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 18．（20-21九年级上·全国·课后作业）已知关于x的函数． 当m为何值时，y是x的二次函数； 当m为何值时，y是x的一次函数； 【答案】（1）（2）当或时，函数，是一次函数 【分析】（1）根据二次函数的定义得到得m-2≠0且m2-2m+2=2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值； （2）根据一次函数的定义分类讨论：当m-2=0且m-1≠0时，y是x的一次函数；当m2-2m+2=0且m-2≠0且m-1≠0时，y是x的一次函数；当m2+m-4=1且m-2≠0，m-2+m-1≠0时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可． 【详解】解：函数，是二次函数， ； 函数，是一次函数， 解得：， ， ， ， 无解， 当或时，函数，是一次函数． 【点睛】本题考查二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义． 19．（20-21九年级上·全国·课后作业）（1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值． 【答案】（1）m≠0且m≠1；（2）m的值为3． 【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可． 【详解】解：（1）函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1是二次函数， 即m2﹣m≠0， 即m≠0且m≠1， ∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数； （2）由题意得：m2﹣2m﹣1=2，m2+m≠0， 解得：m1=3，m2=﹣1（不合题意舍去）， 所以m的值为3． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键． 20．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点是的中点，连接并延长交二次函数的图像于点． (1)求二次函数的解析式； (2)在线段上有动点（不与，重合），过点作轴交线段于点，在的右侧作交二次函数的图像于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，线段相等的坐标表示． （1）把代入解析式，确定a值即可． （2）确定，,设直线的解析式为，确定解析式，设，，根据，轴，判定轴，根据，计算即可． 【详解】（1）把代入解析式， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）∵，点是的中点， ∴，, 设直线的解析式为， ∴， 解得 ∴解析式为， 设，， ∵，轴， ∴轴， ∵，， ∴，， 整理，得， 解得（舍去）， ． 故点． 学科网（北京）股份有限公司 $$