第3章 二次根式（高效培优单元测试·强化卷）数学湘教版2024八年级上册

第3章 二次根式（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 5．比较：（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 6．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 7．若，则中是（   ） A． B． C． D． 8．已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． 9．若，则可化简为（ ） A． B． C． D． 10．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将化为最简二次根式： ． 12．当时，二次根式的值为 ． 13．计算的结果是 ． 14．一个正方形的面积扩大到原来的倍，则它的边长为原来的 倍．（） 15．已知，则 ． 16．若，则正整数的值是 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．把下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算： (1)； (2)． 19．先化简，再求值．，其中 20．已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 21．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 22．我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以． 请结合上述材料解决下列问题． (1)比较，的大小； (2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”） 23．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 24．有一块长方形木板，采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，求该长方形木料的长． 25．阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ．； ．． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照b式化简＝______； (2)化简：； (3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 二次根式（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键；根据二次根式的性质，二次根式的加法法则，逐个判断即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 3．二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是根据把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式进行解答． 【详解】解：A、与是同类二次根式，故符合题意； B、与不是同类二次根式，故不符合题意； C、2与不是同类二次根式，故不符合题意； D、与不是同类二次根式，故不符合题意； 故选：A． 5．比较：（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的大小比较；比较两个根式的大小，可以通过平方后比较或调整根式结构的方法． 【详解】解：要比较和的大小，可对两数分别平方： 由于，根据正数平方后的大小关系与原数一致，可得． 故选：B． 6．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，平方差公式，通过分母有理化，将原式中的分母根号消去，转化为有理数形式． 【详解】解： ． 故选A． 7．若，则中是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的除法运算法则，进行计算，即可求解． 【详解】解：， 故选：B； 8．已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 依据题意，有一个长方形面积是，宽是，则它的长为：，进而得解． 【详解】解：由题意，一个长方形面积是，宽是， 它的长为：， 故选：A． 9．若，则可化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式有意义判断出，根据进一步确定出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：，， ， ， ，， ， 故选：D． 10．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将化为最简二次根式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据二次根式性质，进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．利用代入法，代入所求的式子即可． 【详解】解：当时， 故答案为： 13．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 14．一个正方形的面积扩大到原来的倍，则它的边长为原来的 倍．（） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式除法的应用，设原正方形的面积为，则扩大后正方形的面积为，分别表示出原正方形和扩大后正方形的边长，进而列式相除即可求解，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：设原正方形的面积为，则扩大后正方形的面积为， ∴原正方形的边长为，扩大后正方形的边长为， ∵， ∴扩大后正方形的边长为原来的倍， 故答案为：． 15．已知，则 ． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的性质，已知字母的值求式子的值，根据已知等式及，得到，，由此求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为8． 16．若，则正整数的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先进行二次根式的加减运算，然后估算结果的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴正整数的值4． 故答案为：4． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．把下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把27写成，然后化简； （2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简； （3）分子分母都乘以5，然后化简； （4）先把分母化简，然后分子分母同乘以，然后化简． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式除法，二次根式乘法，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式性质，二次根式除法法则化简，然后合并即可； （）通过二次根式性质，平方差公式，二次根式乘法法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．先化简，再求值．，其中 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算，二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先进行括号内分式的加减运算，然后进行分式的乘除运算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20．已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式． 21．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)<；>；> (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根． （1）由数轴可得：，，，从而即可得解； （2）由（1）可得，，再根据绝对值的性质、二次根式的性质、立方根化简即可得解． 【详解】（1）解：由图可知，，， 则，， 故答案为：<；>；>； （2）解：∵，，， ∴，， ∴ ． 22．我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以． 请结合上述材料解决下列问题． (1)比较，的大小； (2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可； （2）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 23．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 24．有一块长方形木板，采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，求该长方形木料的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算； 【详解】（1）由题知，，， 正方形的面积为， 正方形的边长为， ， ，， 长方形木板的面积． （2）若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， 则该长方形木料的长为． 25．阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ．； ．． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照b式化简＝______； (2)化简：； (3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化： （1）根据分母有理化的方法计算即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）根据分母有理化的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：能， ． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$