第二十五章 锐角的三角比（复习课件）数学沪教版五四制九年级上册

单元复习课件 第二十五章 锐角的三角比 沪教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.通过自主梳理、小组讨论等方式，构建锐角三角比单元的知识框架，明确知识间的内在联系，提升知识整合与归纳总结的能力。 3.在处理实际应用问题时，能从文字描述中提取关键信息，将实际场景抽象为数学中的直角三角形模型，明确模型中的已知元素和未知元素，学会用图形表示实际问题中的数量关系，体会数学建模思想，提升将实际问题转化为数学问题的能力。 2. 在解决锐角三角比相关练习题的过程中，学会分析题目条件，选择合适的解题方法，经历 “审题 — 分析 — 解题 — 检验” 的完整解题流程，培养逻辑推理能力和问题解决能力。 单元学习目标 单元知识图谱 一个锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为这个锐角的三角比 A B b a c ┏ C 在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B为锐角，它们所对的边分别为c 、a、b . 考点一、锐角的三角比定义 1.在中， ，，则 的值为( ) D A. B. C. D. 【解析】设为，则 .由勾股定理得 ， .故选D. 考点串讲 ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小； ②若， ，则 ③ 考点二、锐角的三角比性质 2.若锐角 满足且，则 的取值范围是（提示:， ）( ) B A. B. C. D. 锐角的正弦值、正切值都随着它的角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的 增大而减小. 考点串讲 1 ┌ 450 450 ┌ 300 600 1 考点三、特殊角的三角比 考点串讲 3.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 【解】原式 . 考点三、特殊角的三角比 考点串讲 考点四、直角三角形的边角关系 中， 4.如图，在 中，， ， . 求 边上的高线长. 【解】如图，过点作于.在中， , ,, 边上的高线长为4. 考点串讲 考点五、解直角三角形的应用 （1）仰角与俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； （2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度，记作i，即 坡度表示形式： 坡面与水平面的夹角叫坡角，记为a；坡度i与坡角a的关系： 考点串讲 5.如图，某同学为了测得电视塔的高度，在与电视塔底端点 成一直线的， 两处地面上，用高为的测角仪分别测得电视 塔顶端的仰角为 和 ，同时测得，则这个电 视塔的高度 为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意，得 ， ， ， .是 的一个外角， ， ， . 在中，， . 故选D. 考点五、解直角三角形的应用 考点串讲 题型一、定义法求锐角三角比 1.已知中， ，于 ，若，，则 的值 是( ) D A. B. C. D. 【解析】如图,， ， .又 ，，，即， 解得 （负值已舍去）.在 中，由勾股定理得 ， .故选D. 题型剖析 定义法求锐角三角函数 在直角三角形中，可利用锐角三角函数的定义把求三角函数转化为求线段长度的 比，或把求线段长度的比转化为求三角函数，从而实现三角函数与线段长度的比 之间的灵活转化. 关键点拨 根据题意画出图形,由题意可证 ，根据相似三角形对应边成比例求 出，再利用勾股定理求出 ，然后根据锐角的余弦的定义计算即可． 方法技巧 2.已知为锐角，且，则 ( ) C A. B. C. D. 题型一、同角三角比的关系 【解析】， ， ，，解得 . 又为锐角，， .故选C. 题型剖析 14 同角三角比的关系 同角三角函数具有的关系： （1）平方关系： ； （2）正、余弦与正切之间的关系：一个角的正切值等于这个角的正弦值与余弦值 的比，即 . 方法技巧 15 题型三、等角转化法 3.如图，矩形 的顶点分别在直线，，，上，, 且间隔相等.若， ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，设交直线于点 四边形 是矩形， ,且间隔相等， , , , ，， ， ，故选C. 题型剖析 16 等角转化法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可以将此角通 过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“若两锐角相等，则三 角函数值也相等”来解决. 方法技巧 17 4.如图，菱形的对角线交于点 ，过点作于点， 连结.若， ，则 __. 【解析】 四边形是菱形，且，， ， ，， ， ，，， ， ， ， ，.故答案为 . 题型剖析 18 题型四、构造直角三角形法 5.如图，在正方形外作等腰直角三角形 ， ，连结，则 __. 【解析】过点作，交的延长线于，如图. 设 为等腰直角三角形， ， 四边形 为正方形， ， ， ， 为等腰直角三角形， .在中， ， 即.故答案为 . 题型剖析 19 构造直角三角形法 直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件，故当题目中未出现直角三角形时， 需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解. 方法技巧 20 6.【2025山东烟台期中，中】如图，在中，对角线与相交于点 ， ,若，则 __. 【解析】如图，过点作于点，过点作，交 的延长线于点 四边形是平行四边形， ， ，.又,, 四边形 是矩 形，.设，则 ， ，是等腰直角三角形，则 ， , ，则 是等腰直角三角形， ， ，.故答案为 . 题型剖析 21 7.在中， ，如果 ，那么 的值等于___. 题型五、巧设参数法 【解析】 在中， ，， 设， ，则 ，.故答案为 . 巧设参数法 锐角三角函数值的实质就是直角三角形中对应两边长度的比值，所以在解题中有 时需要将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表 示出直角三角形各边的长，再结合题中条件解决问题. 方法技巧 题型剖析 22 8.如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.若的顶点都在 格点上，则 的值为_ ____. 题型六、网格中求锐角三角函数值 【解析】如图，连结.由勾股定理知 ， ， ， .， ， 关键点拨 连结，利用网格求出各边长，根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角形， 得到 ，从而推出 是解本题的关键. ,是直角三角形, , .在中， .故答案为 . 题型剖析 23 9.如图，点，，， 在正方形网格中的格点上，与相交于 点 ，每个小正方形的边长均为1，则 等于___. 3 【解析】如图，取格点，连结，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， .故答案为3. 题型六、网格中求锐角三角函数值 题型剖析 24 10.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长均为1，点，， 都 在格点（小正方形的顶点）上，则 的值是__. 【解析】如图，作于点 ， ，. ， ， . 故答案为 . 题型七、网格中求锐角三角函数值 题型剖析 25 11.某地修建了一座以 “讲好家乡故事，厚植种子情怀” 为主题的半径为 的圆形纪念园.如图，纪念园中心 位于村西南方向和 村南偏东 方向上.村在 村的 正东方向且两村相距.有关部门计划在， 两村之间修一条笔直的公路来连结 两村.问该公路是否穿越纪念园？试通过计算加以说明.（参考数据： ， ，， ） 题型六、背靠背模型 【解】该公路不会穿越纪念园.理由： 如图，过点作，垂足为点 . 由题意得 ， ， ， ， . 设 .在中， . 在中， . ，，解得， . ， 该公路不会穿越纪念园. 题型剖析 26 背靠背模型的两个直角三角形是并列的，有公共的直角顶点及一条公共的直角边， 这条公共的直角边就是沟通两个直角三角形的媒介，一般利用线段的和来寻找等 量关系.此类型的特殊情况是隔一段距离的背靠背，如图，区别是中间多了一段固 定长度的线段. 方法技巧 27 12.如图，已知点与某建筑物底端 相距306米（点与点在同一水平线上），某同学 从点出发，沿同一剖面的斜坡 行走195米至坡顶处，斜坡的坡比，在 处测得该建筑物顶端 的俯角为 ，则建筑物 的高度约为多少米？（精确到0.1米， 参考数据：，， ） 【解】如图，过作于点，过作 于点 . 斜坡的坡比4, 设米，则 米. 在中，由勾股定理，得, 即 ，解得 （负值已舍去）， 米，米， （米）， 米. 易证四边形为矩形，， ， . ， ， . 又， （米）， （米）. 建筑物 的高度约为29.1米. 题型剖析 28 13.某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升 空的高度.如图，在平面内，点，，在同一直线上， ， 垂足为点， ， ，，求 的高度. （结果精确到.参考数据：， ， ， ） 题型八、子母模型 【解】设.在中，， ， . 在中，，， . ，，解得的高度约为 . 题型剖析 29 子母模型的特点是两个直角三角形“大含小”，如图，小的三角形在大的三角形 内部，有公共的直角顶点及一条公共的直角边，通过这条公共的直角边沟通两个 直角三角形，与背靠背型不同的是子母型一般利用线段的差来寻找等量关系. 方法技巧 30 14. 传统文化《海岛算经》是中国古代测量术的代表作， 原名《重差》.这本著作建立起了从直接测量到间接测量的桥 梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义.如图，实践小组为 测量海岛上一座山峰 的高度，直立两根高的标杆和 ，两杆间距为，在点处测得山顶 的仰角为 ， 在点处测得山顶的仰角为 ，求山峰 的高度.（结果精确到0.1米.参考数据： , ） 【解】由题意得，， . 在中，，易知 ， . 在中，，易知 ， ， . 设的长为，则， . ，，解得 , .答：山峰的高度约为 . 题型剖析 31 题型九、拥抱模型 15.某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在山顶 上有一高度为20米的发射塔 ，如图所示.在山脚平地上 的处测得塔底的仰角为 ，向小山前进80米到达点 处，测得塔顶的仰角为 ，小山的高度 为 _______________. 米 【解析】设为米，则米.由题意知 ， 米.在中，，则 米, 米.在中， ,解得 .故答案为 米. 题型剖析 32 拥抱模型的特点比较复杂，是两个直角三角形的边有交点，如图，解此类题要仔细 分析题意，找对等量关系，在找等量关系时，可以结合矩形来找. 方法技巧 33 16.某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示，斜坡的坡比， ，在处测得电线塔顶部 的仰角为 ，在处测得电线塔顶部的 仰角为 . （1）求点离水平地面的高度 . 【解】 斜坡的坡比， . ， . ， . 题型剖析 34 （2）求电线塔 的高度（结果保留根号）. 【解】如图，过点作于点，则 ， 四边形是矩形，， . 设.在中，， . 在中， . , ， . 四边形是矩形，， ， ， . 答：电线塔的高度为 . 题型剖析 35 题型十、斜截型 17.美丽的海南是我国的海洋国土，建设海南是我们的责任.如图，小岛 位于小岛的南偏东 方向，在的中点处建设了灯塔 ，一艘物资 船位于小岛的正南方向，小岛的正西方向的 处，它沿正北方向航行 ，到达处，测得灯塔在北偏东 方向上，这时，处距离小岛 有多远？（参考数据：， ， ） 【解】如图，作于 .设 . 在中， ，， . 在中， ， . ，，， . ，， ， ， ，处距离小岛有 . 题型剖析 36 斜截模型常与方位角结合考查，多呈现为拦截问题、安全问题.此类型的特点是小 的直角三角形在大的直角三角形内部，有公共的锐角，小三角形的斜边与大三角形 的直角边在同一直线上，小三角形的一条直角边与大三角形的斜边在同一直线上， 如图. 方法技巧 37 18.某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库， 如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中， ， ， ，在上，， . 根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否 安全驶入. 小明认为的长就是所限制的高度，而小亮认为应该将 的长作为限制的 高度.小明和小亮谁说得对？请你判断并计算出正确的限制高度.（结果精确到 ， 参考数据：，， ） 【解】， 小亮说得对.在中， ， ， ，， ， . 在中， . ， ， . 正确的限制高度约为 . 题型剖析 38 1.（2023秋•长宁区期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，BC=a，那么AC等于( ____ ) A.a•tanα B.a•cotα C. D. 【解析】____ B 解：cot∠A= ，∴AC=BC•cotA=a•cotA， 故选：B． 针对训练 39 2.（2023秋•浦东新区期末）小明沿着坡度i=1：2.4的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了 ____ 米． 【解析】解：设坡度的高为x米(x＞0)，则水平距离为：2.4x米， 则：x2+(2.4x)2=1302， 解得：x=50， 故答案为：50． 50 针对训练 40 3.（2023秋•金山区期末）如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东60°的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东45°方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处 　　海里． 【解析】解：由题意可知：在Rt△ADB中，∠BAD=30°， AB=8海里，则BD= AB=4海里 海里， 在Rt△BDC中，∠DBC=45°， 则DC=BD=4海里，∴AC=AD+DC=(4 +4)海里， 故答案为：(4 +4)海里． 针对训练 41 4.（2023秋•黄浦区期末）计算： ． 【解析】解：原式=2× + -( )2 = - -1- =- ． 针对训练 42 5. （2023秋•闵行区期中）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求： (1)坡顶A到地面PQ的距离； (2)古塔BC的高度(结果精确到1米)．(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01) 【解析】解：(1)过点A作AH⊥PQ，垂足为点H． ∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴ = ， 设AH=5k m,则PH=12k m,由勾股定理，得AP=13k m. ∴13k=26．解得k=2．∴AH=10(m)． 答：坡顶A到地面PQ的距离为10m. (2)延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ． ∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH． ∵∠BPD=45°，∴PD=BD． 设BC=x m,则x+10=24+DH．∴AC=DH=x-14． 在Rt△ABC中，tan76°= ，即 ≈4.0，解得x= ，即x≈19， 答：古塔BC的高度约为19米． 43 感谢聆听! $$