22.3第3课时　建立坐标系解“抛物线”形问题课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.3　实际问题与二次函数 第3课时　建立坐标系解“抛物线”形问题 第二十二章　二次函数 猎豹图书 学习目标 (1)能建立合适的直角坐标系，用二次函数的知识解决与抛物线相关的实际问题. (2)进一步巩固二次函数的性质与图象特征. 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m时，水面宽度增加多少？ 分析： (1) 建立合适的直角坐标系； (2) 将实际建筑数学化，数字化； (3) 明确具体的数量关系，如函数解 析式； (4) 分析所求问题，代入解析式求解。 探究 (2,-2) (-2,-2) x y O 解： 以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(-2，-2)代入解析式， 可得-2=a · (-2)2. x y O (2,-2) (-2,-2) 水面 水面下降一米，即此时y=-3. 如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？ y O (2,1) (-2,1) 水面 x (0,3) 解： 依题意建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+3. 将点(-2，1)代入解析式， 可得1=a · (-2)2+3. 水面下降一米，即此时y=0. 虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的. y O (2,1) (-2,1) 水面 x (0,3) 你还有其他的方法吗？ y O (2,0) (-2,0) x (0,2) 还可以以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算. 课堂小结 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的直角坐标系； (2) 写出抛物线上的关键点的坐标； (3) 运用待定系数法求出函数关系式； (4) 求解数学问题； (5) 求解抛物线形实际问题. 1. 如图所示为一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水位在l时，水面宽 为4m，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m.当水面宽为3m时，水位上 升了（　B　） A. 0.675m B. 0.875m C. 0.975m D. 1.125m （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 2. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离 是5m，高度是4m.若实心球落地点为M，则OM＝ m. （第2题） 　 1 2 3 4 5 6 7 3. （2023·温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的点A处射 门，足球射向球门的路线呈抛物线形.当足球飞行的水平距离为6m时， 足球到达最高点，此时足球离地面3m.已知球门的高度OB为2.44m，现 以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 （1） 求抛物线对应的函数解析式，并通过计算判断足球能否射进球门 （忽略其他因素）. 解：（1） ∵ 8－6＝2（m）， ∴ 抛物线的顶点坐标为（2，3）. 设抛物线对应的函数解析式为y＝a（x－2）2＋3. 把A（8，0）代入，得36a＋3＝0，解得a＝－ . ∴ y＝－ （x－2）2＋3.当x＝0时，y＝－ ×4＋3＝ . ∵ ＞2.44，∴ 足球不能射进球门.　 （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 12 （2） 对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时小明应该带足球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O的正上方2.25m处？ 解：（2） 设小明带足球向正后方移动nm， 则移动后的抛物线对应的函数解析式为 y＝－ （x－2－n）2＋3.把（0，2.25）代入， 得2.25＝－ （0－2－n）2＋3，解得n＝－5（不合题意，舍去）或n＝1.∴ 当时小明应该带足球向正后方移动1m射门，才能让足球经过点O的正上方2.25m处. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 4. 如图所示为一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相 交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8m，AB＝24m，D，E 为拱桥底部的两点，且DE∥AB. 若点E到直线AB的距离为10m，则 DE的长为 m. （第4题） 36　 1 2 3 4 5 6 7 5. 如图，排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度 为2.4米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6米的点C处 向正前方飞出，排球经过的路线是抛物线的一部分，当排球飞行至离点 O的水平距离OE为6米处时，到达最高点G，建立平面直角坐标系. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 （1） 当排球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网0.4米的点F处 有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米.这位队员是否可以拦网成功？ （第5题） 解：（1） 可以.根据题意，知此时抛物线 的顶点G的坐标为（6，3.4）.设抛物线对 应的函数解析式为y＝a（x－6）2＋3.4. 将C（0，1.6）代入，得36a＋3.4＝1.6， 解得a＝－ .∴ y＝－ （x－6）2＋3.4. 当x＝ ＝9时，y＝－ ×（9－6）2＋3.4＝2.95＞2.4， ∴ 球可过网.当x＝ ＋0.4＝9.4时， y＝－ ×（9.4－6）2＋3.4＝2.822＜3.1.∴ 这位队员可以拦网成功.　 1 2 3 4 5 6 7 （2） 若队员发球既要过球网，又不出边界，则排球飞行的最大高度h （米）的取值范围是多少（排球压线属于没出界）？ 解：（2） 设抛物线对应的函数解析式为 y＝a（x－6）2＋h.将C（0，1.6）代入， 得36a＋h＝1.6，即a＝ . ∴ y＝ （x－6）2＋h.根据题意， 得 解得h＞ . ∴ 排球飞行的最大高度h（米）的取值范围是h＞ . （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 6. 施工队要修建一个横断面为抛物线形的公路隧道，其高度为8m，宽 度OM为16m.现以O为原点，OM所在直线为x轴建立如图所示的平面 直角坐标系. （1） 求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. 解：（1） ∵ 易知抛物线的顶点坐标为（8，8）， ∴ 设抛物线对应的函数解析式为 y＝a（x－8）2＋8.将O（0，0）代入， 得0＝64a＋8，解得a＝－ . ∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－ （x－8）2＋8，即y＝－ x2＋2x（0≤x≤16）. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 （2） 隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），其 中的一条行车道能否行驶宽为3.5m、高为5.8m的车？ 解：（2） ∵ 双向行车道，且正中间是一条宽1m的 隔离带，∴ 每条行车道宽为7.5m，车沿着隔离带边 沿行驶时，车另一侧边沿与隧道边沿的最近水平距 离为7.5－3.5＝4（m）.当x＝4时，y＝－ x2－2x＝6. ∵ 5.8＜6，∴ 其中的一条行车道能行驶宽为3.5m、高为5.8m的车. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 （3） 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点 A，D在抛物线上，点B，C在地面OM上.为了筹备材料，需求出“脚 手架”三根木杆AB，AD，DC的长度之和的最大值. 解：（3） 设B（m，0），则A（m，－ m2＋2m）. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC，BC＝AD. ∵ 抛物线的对称轴为直线x＝8， ∴ BC＝AD＝2（8－m）＝（16－2m）m.设AB，AD， DC的长度之和为wm. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 ∴ w＝16－2m＋2 ＝－ m2＋2m＋16＝－ （m－4）2＋20. ∵ － ＜0， ∴ 当m＝4时，w的最大值为20，即AB，AD，DC的长度之和的最大值是20m. 1 2 3 4 5 6 7 $$