第四课时 2.1“三个二次”（1）-新课程新课标《初高中数学衔接课程》

2.1 “三个二次”（1）（第4课时） 【学习目标】 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系； 2.从函数观点看一元二次不等式，通过二次函数图象直观，抽象出一元二次不等式解的结构； 3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 【知识整合】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识归纳： 1. 因式分解：除了已经学习的公式法、分组分解法、提取公因式等，重要衔接：十字相乘法 (1)判定能否使用十字相乘法分解因式，先看Δ＝b2－4ac，当Δ为完全平方数时，可以在整数范围内对该多项式进行十字相乘；(2)有时需对二次项系数和常数项进行多次拆分，直到符合要求为止． 2.一元二次方程根与系数的关系--韦达定理 设一元二次方程的两个实数根为， 由求根公式可知， 则有 ； 上述两个式子称为韦达定理 且 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程，若是其两根，由韦达定理可知 ，， 以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是． 韦达定理是初等代数的一个基本定理，可以让我们不通过解方程，熟悉方程的根和系数的关系，但要注意，韦达定理使用的前提是，在高中学习圆锥曲线过程中，韦达定理可以让我们减少计算，提高效率. 3.二次函数的解析式、图象与弦长、最值问题 （1）二次函数解析式的三种形式： ①一般式：； ②顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. ③零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. （2）二次函数的图象 是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （3）单调性与最值： ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减， 在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增， 在上递减，当时， （4）与轴相交的弦长问题 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 4.二次不等式解的结构，理解一元二次函数零点与其相应方程的解、二次不等式解集的端点关系-----是一致的（见上述表）； 若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集；不等式的解集必须写成集合的形式，若无解，则解集为空集． 【探究过程】 问题1.如何运用十字相乘法因式分解？ 【探究1】分解下列因式： (1)x2＋4x＋3； (2)5x2－6x＋1； (3)m2＋2mn－3n2； (4)ax2＋(a－1)x－1(a≠0)． 【解】(1)x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3)． (2)5x2－6x＋1＝(x－1)(5x－1)． (3)m2＋2mn－3n2＝(m＋3n)(m－n)． (4)ax2＋(a－1)x－1＝(ax－1)(x＋1)(a≠0)． 问题2.一元二次不等式的解集 【探究2】(教材P52例1,2,3改编)解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； 解　(1)原不等式化为2x2－x＋6>0. 方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0， 函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式等价x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}． 【思维提升】解一元二次不等式（不含参数）的一般步骤： (1)化标准式：通过变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正； (2)验判别式：当左侧不能因式分解，则计算对应方程的判别式； (3)求根公式：求实根． (4)画草图：根据一元二次方程根和二次项系数情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集． 【引申探究】解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 【解】原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小． 当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)； 当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4； 当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x<a＋1， 综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}； 当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}； 当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x<a＋1}． 【针对训练2】 （1）解不等式x2－2x－3>0； （2）解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)． 【解】（1）方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示． 观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． （2）原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为； 当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为. 【思维提升】解含参数的一元二次不等式时，讨论需从以下三个方面进行考虑： (1)不等式类型讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)不等式对应的方程根的存在性讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 问题3.如何确定二次函数解析式 求二次函数解析式的三个技巧 (1)已知三个点的坐标，选择一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，选择顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，选择零点式． 【探究3】已知函数（）的图象关于轴对称，且与直线相切，写出满足上述条件的一个函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【解】已知，∵的图象关于y轴对称， ∴对称轴，∴，∴， 联立，整理得，即，∵的图象与直线相切， ∴，∴，当时， . ∴满足条件的二次函数可以为． 故答案为： . 【针对训练3】已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ . 【答案】 【解】因为对恒成立，所以的图象关于对称. 又的图象在轴上截得的线段长为2，所以的两根为或， 所以二次函数与轴的两交点坐标为和， 因此设.又点在的图象上， 所以，则，故. 故答案为： 【变式训练】已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是 ． 【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【解】法一　(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 ∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二　(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为f（2）＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为，所以m＝. 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝. 因为f（2）＝－1，所以，解得a＝－4， 所以f(x)＝＝－4x2＋4x＋7. 法三　(利用“零点式”解题)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即.解得a＝－4或a＝0(舍). 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 故答案为：f(x)＝－4x2＋4x＋7. 问题4. “三个二次”的关系 【探究4】已知不等式解是，求不等式解． 【解】由不等式的解为，可知， 且方程的两根分别为2和3，∴，即． 由于，所以不等式可变为 ，即－ 整理，得所以，不等式的解是x＜－1，或x＞． 【思维提升】本例利用了方程和不等式的关系、韦达定理来解决，对于不等式的问题，判断首项系数的正负是必要的，还要注意整体带入的基本思想. 【引申探究】已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求的值． 【解】设是方程的两根，由韦达定理，得 ，． ∵，∴， 即 ， 化简，得 ， 解得 ，或． 当时，方程为，，满足题意； 当时，方程为，，不合题意，舍去． 综上，． 反思：解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根． 【针对训练4】若是方程的两根，试求下列各式子的值： 【解】由韦达定理，得， (1) (2) (3) 反思：利用韦达定理求值，应熟练掌握以下等式变形： 等等，韦达定理体现了整体思想 【变式训练】已知是一元二次方程的两个实数根. (1)是否存在实数k，使得成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. (2)求使得的值为整数的实数k的整数值. (3)若k=-3, ，试求的值. 【解】（1）一元二次方程的两个实数根，则 解得，由韦达定理可得， 所以，解得，与矛盾，所以不存在实数k，使得成立 (2) 要是其为整数，只需4能被整除，且，所以整数k的值为。 (3)若k=-3,则，所以，所以， 所以 反思：本题是综合题目，要注意根据判断方程有实数根，之后所有的讨论和计算都是基于这个前提. 【课堂限训】（限时10分钟） 1．观察下列不等式：①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有(　 　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答】D，根据一元二次不等式的定义，只有①②满足． 2.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 【答】B，方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n<x<m}． 3.(多选题)下列不等式的解集为R的有(　　) A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0 C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1 【解】AC，A中Δ＝12－4×1<0，满足条件； B中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R； C中Δ＝62－4×10<0，满足条件； D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能． 4.设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为_____ ___． 【答】 【解】设y＝x2－2ax＋a＋2， 由题意，不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆{x|1≤x≤3}， 所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0， 若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1<a<2； 若A≠∅，则即所以2≤a≤. 综上，a的取值范围为. 【课外作业】 1.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2} 答案　B 解析　根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)， 又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0， 故不等式的解集是{x|－2<x<1}． 2.解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0. 解　因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－<a<时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅； 当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根． 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}， 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}； 当Δ>0，即a>或a<－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1<x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}． 综上所述，当－<a<时，原不等式的解集为∅； 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}； 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}； 当a>或a<－时， 原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}． 3.若不等式的解为，求不等式的解. 【解】由题意可知为方程的两根，且，由韦达定理可知 ，设的两根为，则 因为，所以，所以，又，所以 的解为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 “三个二次”（1）（第4课时） 【学习目标】 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系； 2.从函数观点看一元二次不等式，通过二次函数图象直观，抽象出一元二次不等式解的结构； 3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 【知识整合】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识归纳： 1. 因式分解：除了已经学习的公式法、分组分解法、提取公因式等，重要衔接：十字相乘法 (1)判定能否使用十字相乘法分解因式，先看Δ＝b2－4ac，当Δ为完全平方数时，可以在整数范围内对该多项式进行十字相乘；(2)有时需对二次项系数和常数项进行多次拆分，直到符合要求为止． 2.一元二次方程根与系数的关系--韦达定理 设一元二次方程的两个实数根为， 由求根公式可知， 则有 ； 上述两个式子称为韦达定理 且 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程，若是其两根，由韦达定理可知 ，， 以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是． 韦达定理是初等代数的一个基本定理，可以让我们不通过解方程，熟悉方程的根和系数的关系，但要注意，韦达定理使用的前提是，在高中学习圆锥曲线过程中，韦达定理可以让我们减少计算，提高效率. 3.二次函数的解析式、图象与弦长、最值问题 （1）二次函数解析式的三种形式： ①一般式：； ②顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. ③零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. （2）二次函数的图象 是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （3）单调性与最值： ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减， 在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增， 在上递减，当时， （4）与轴相交的弦长问题 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 4.二次不等式解的结构，理解一元二次函数零点与其相应方程的解、二次不等式解集的端点关系-----是一致的（见上述表）； 若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集；不等式的解集必须写成集合的形式，若无解，则解集为空集． 【探究过程】 问题1.如何运用十字相乘法因式分解？ 【探究1】分解下列因式： (1)x2＋4x＋3； (2)5x2－6x＋1； (3)m2＋2mn－3n2； (4)ax2＋(a－1)x－1(a≠0)． 问题2.一元二次不等式的解集 【探究2】(教材P52例1,2,3改编)解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； 【思维提升】解一元二次不等式（不含参数）的一般步骤： (1)化标准式：通过变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正； (2)验判别式：当左侧不能因式分解，则计算对应方程的判别式； (3)求根公式：求实根． (4)画草图：根据一元二次方程根和二次项系数情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集． 【引申探究】解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 【针对训练2】 （1）解不等式x2－2x－3>0； （2）解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)． 【思维提升】解含参数的一元二次不等式时，讨论需从以下三个方面进行考虑： (1)不等式类型讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)不等式对应的方程根的存在性讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 问题3.如何确定二次函数解析式？ 求二次函数解析式的三个技巧 (1)已知三个点的坐标，选择一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，选择顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，选择零点式． 【探究3】已知函数（）的图象关于轴对称，且与直线相切，写出满足上述条件的一个函数 ． 【针对训练3】已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ . 【变式训练】已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是 ．（要求试用多种方法求解） 问题4. “三个二次”的关系 【探究4】已知不等式解是，求不等式解． 【思维提升】本例利用了方程和不等式的关系、韦达定理来解决，对于不等式的问题，判断首项系数的正负是必要的，还要注意整体带入的基本思想. 【引申探究】已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求的值． 【思维提升】解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根． 【针对训练4】若是方程的两根，试求下列各式子的值： 反思：利用韦达定理求值，应熟练掌握以下等式变形： 等等，韦达定理体现了整体思想 【变式训练】已知是一元二次方程的两个实数根. (1)是否存在实数k，使得成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. (2)求使得的值为整数的实数k的整数值. (3)若k=-3, ，试求的值. 反思：是综合题目，注意根据判断方程有实数根，之后所有的讨论和计算都是基于这个前提. 【课堂限训】（限时10分钟） 1．观察下列不等式：①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有(　 　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 3.(多选题)下列不等式的解集为R的有(　　) A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0 C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1 4.设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为_____ ___． 【课外作业】 1.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2} 2.解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0. 3.若不等式的解为，求不等式的解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$