第二课时 1.2函数表示法-新课程新课标《初高中数学衔接课程》

1.2函数的表示法（第2课时） 【学习目标】 1.理解并学会应用函数的三种表示法； 2.学会求函数解析式的四种方法。 【思维整合】 1.表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法； 2.求函数解析式常用方法： （1）待定系数法；当已知函数的类型时，可用待定系数法求解． （2）换元法；当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法． （3）方程组消元法；若已知成对出现，或，等类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． （4）赋值法；若已知抽象函数表达式，则常用赋值法 【探究过程】 问题1.在特定条件下怎样确定函数解析式？ 【探究1】一次函数在上单调递增，且，则 . 【思维提升】明确一次函数，待定一次函数，含两个参数 【针对训练1】已知二次函数满足，，则不等式的解集为 ． 【探究2】已知，那么 ． 【针对训练2】已知满足，则 ． 【引申探究】已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 问题2.“换元与配凑”需要警惕易错点--变元的等价转换 【探究3】已知f(＋1)＝x＋2，试用两种方法求f(x) 【针对训练3】已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； 问题3.在函数解析式不明确情况下求函数解析式---结论开放性 【探究4】已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 【思维分析】整体观察，所求函数解析式可能是多项式，也可能是复合的超越式，结论具有开放性。 【变式训练】写出满足的函数的解析式 ． 问题4.认识函数图象 【探究】函数y＝的大致图象是(　　) 【针对训练】试用列表描点和图象变换两种方法，画出函数y＝(x－2)2的图象． 【思维提升】画函数图象的两种常见方法 (1)描点法：列表、描点、连线． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、对称变换、翻折变换等． 【课堂限训】 1.已知函数是一次函数，且，则的解析式为 . 2.函数y＝－的图象是(　 　) 【课堂小结】 1.本节衔接了函数表示法，求函数解析式及图象认知； 2.常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法． 3.易错点：求解析式容易忽视定义域 【课外作业】 一.基础题：课本相关习题自主选择5-10题 二.提升题： 1.已知f(x)的图象恒过点(1，－1)，则函数f(x－3)的图象恒过点(　　) A．(－2，－1) B．(4，－1) C．(1，－4) D．(1，－2) 2.(多选题)已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论中正确的是(　 　) A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4 C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2 3.在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋2x－3关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为(　　) A．y＝－x2＋2x－3 B．y＝－x2＋2x＋3 C．y＝－x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x＋3 4．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为_____ ___． 5.已知，那么f (x)的解析式为________ ． 6．应用函数的图象变换，画出函数y＝的大致图象． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2函数的表示法（第2课时） 【学习目标】 1.理解并学会应用函数的三种表示法； 2.学会求函数解析式的四种方法。 【思维整合】 1.表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法； 2.求函数解析式常用方法： （1）待定系数法；当已知函数的类型时，可用待定系数法求解． （2）换元法；当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法． （3）方程组消元法；若已知成对出现，或，等类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． （4）赋值法；若已知抽象函数表达式，则常用赋值法 【探究过程】 问题1.在特定条件下怎样确定函数解析式？ 【探究1】一次函数在上单调递增，且，则 . 【答案】 【解】设，则， ， 则.又在上单调递增，即，所以，，则. 故答案为： 【思维提升】明确一次函数，待定一次函数，含两个参数 【针对训练1】已知二次函数满足，，则不等式的解集为 ． 【答案】． 【解】由二次函数满足，设表达式为（，为常数）， 则；， 根据，得，解得，所以， 令，则，解得，所以的解集为． 故答案为：． 【探究2】已知，那么 ． 【答案】 【解】∵，，∴． 联立方程组， 解得．故答案为：. 【针对训练2】已知满足，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 联立，解得. 故答案为：. 【引申探究】已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 【答案】 【解】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故. 故答案为：. 问题2.“换元与配凑”需要警惕易错点--变元的等价转换 【探究3】已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)； 【解】方法一　(换元法)令t＝＋1，则t ≥ 1，且x＝(t－1)2（t≥1）， 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． 方法二　(配凑法)f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.因为＋1≥1， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． 【针对训练3】已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； 【解】方法一　(配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. 方法二　(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1， ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6. 问题3.在函数解析式不明确情况下求函数解析式---结论开放性 【探究4】已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 【思维分析】整体观察，所求函数解析式可能是多项式，也可能是复合的超越式，结论具有开放性。 【答案】（答案不唯一） 【解】设，由， 代入可得，，解得，. 故答案为：.（答案不唯一只要正确即可） 【变式训练】写出满足的函数的解析式 ． 【答案】 【解】中，令，得； 令得，故， 则．故答案为：． 问题4.认识函数图象 【探究】函数y＝的大致图象是(　　) 【解】方法一　y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，当x＝0时，y＝0，排除B. 方法二　y＝＝1－，由函数的平移性质可知A正确． 【针对训练】画出函数y＝(x－2)2的图象． 【解】方法一　列表： x －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y 9 6.25 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 描点、连线，图象如图所示． 方法二　图象变换法：先作出函数y＝x2的图象，然后把它向右平移2个单位长度，就得到函数y＝(x－2)2的图象，如图所示． 【思维提升】画函数图象的两种常见方法 (1)描点法：列表、描点、连线． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、对称变换、翻折变换等． 【课堂限训】 1.已知函数是一次函数，且，则的解析式为 . 【答案】或 【解】设()， 则，则，解得，，或，，故或. 故答案为：或. 2.函数y＝－的图象是(　 　) 【解】方法一　先画y＝－的图象，然后再向右平移1个单位长度即可得到y＝－的图象． 方法二　根据函数y＝－的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)可排除B，D；再根据x＝2时，y＝－1<0，排除A. 【课堂小结】 1.本节衔接了函数表示法，求函数解析式及图象认知； 2.常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法． 3.易错点：求解析式容易忽视定义域 【课外作业】 一.基础题：课本相关习题自主选择5-10题 二.提升题： 1.已知f(x)的图象恒过点(1，－1)，则函数f(x－3)的图象恒过点(　　) A．(－2，－1) B．(4，－1) C．(1，－4) D．(1，－2) 【解】 B， 已知f(x)图象恒过点(1，－1)，所以当x－3＝1时，f(x－3)＝－1，即函数f(x－3)的图象恒过点(4，－1)． 2.(多选题)已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论中正确的是(　 　) A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4 C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2 【解】B D ， f(2x－1)＝4x2＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故选项C错误，选项D正确；f(3)＝16，f(－3)＝4，故选项A错误，选项B正确． 3.在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋2x－3关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为(　　) A．y＝－x2＋2x－3 B．y＝－x2＋2x＋3 C．y＝－x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x＋3 【解】C先将抛物线y＝x2＋2x－3关于原点作中心对称变换，得到抛物线y＝－[(－x)2＋2(－x)－3]，整理得y＝－x2＋2x＋3；再将抛物线y＝－x2＋2x＋3关于y轴作轴对称变换，得到抛物线y＝－(－x)2＋2(－x)＋3，整理得y＝－x2－2x＋3，所以经过两次变换后所得新抛物线为y＝－x2－2x＋3. 4．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为_____ ___． 【解】a的值为－1,若a>0，即图象开口向上，故排除第1个和第3个图象，∵b>0，∴对称轴x＝－<0，故排除第2个和第4个图象；若a<0，即图象开口向下，∵b>0，∴对称轴x＝－>0，故函数图象为第3个图象．由图象知函数过点(0,0)，∴a2－1＝0，∴a＝－1(舍去a＝1)． 5.已知，那么f (x)的解析式为________ ． 【解】　f(x)＝(x≠－1且x≠0) 由知，函数f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠－1}． 令t＝，则f(t)＝＝，故f(x)＝(x≠－1且x≠0)． 6．应用函数的图象变换，画出函数y＝的大致图象． 【解】因为y＝＝2－，所以可先画出函数y＝－的大致图象(如图虚线所示)， 把所得图象向左平移1个单位长度，得到y＝－的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度就得到函数y＝的图象，如图实线所示． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$