第1章 第1节 地球的自转和公转(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中地理选择性必修第一册(中图版)

2025-09-02
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资源信息

学段 高中
学科 地理
教材版本 高中地理中图版选择性必修1
年级 高二
章节 第一节 地球的自转和公转
类型 课件
知识点 -
使用场景 同步教学-新授课
学年 2025-2026
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 PPTX
文件大小 3.09 MB
发布时间 2025-09-02
更新时间 2025-09-02
作者 山东育博苑文化传媒有限公司
品牌系列 精讲精练·高中同步
审核时间 2025-09-02
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来源 学科网

内容正文:

第一章 地球的运动 第一节 地球的自转和公转 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 目 录 课前预习·教材新知 01 02 CONTENTS 04 课堂探究·要点突破 课后巩固·知能达标 03 随堂演练·知识巩固 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 课前预习·教材新知 01 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 自西向东 逆时针 顺时针 23时56分4秒 24时 15° 最大 递减 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 太阳 西 东 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 焦点 恒星 1 快 7 慢 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 黄道面 23°26′ 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 回归 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 课堂探究·要点突破 02 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 随堂演练·知识巩固 03 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 点击进入Word 课后巩固·知能达标 04 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 谢谢观看 返回目录 第一章 地球的运动 地理•选择性必修1 自然地理基础(配ZT版) 1 课标展示 素养目标   结合实例,说明地球运动的地理意义。 1.结合具体材料,综合分析地球自转和公转的基本特征、黄赤交角及其影响。(综合思维) 2.观察当地日、月、星辰的运动方向,思考其与地球自转的关系。(地理实践力) 一、地球的自转 1.概念:地球始终在绕其自转轴__________地旋转,叫自转。 2.运动特点 特点 自转轴 地轴——北端始终指向北极星附近 方向 自西向东旋转:在北极上空观察呈________方向旋转,在南极上空观察呈________方向旋转 周期 恒星日:____________________ 太阳日:________ 速度 角速度:除南北极点为0外,其余各地均为每小时________ 线速度赤道上_____,由赤道向两极_____,两极点为0 [特别提醒] 1北极星周围的恒星呈逆时针绕北极星转动,每小时约15°。 2北极星的仰角等于当地的地理纬度。 二、地球的公转 1.定义:地球围绕_____旋转的运动。 2.方向:自___向___。 3.轨道:近似正圆的椭圆形轨道,椭圆有两个焦点,太阳位于其中的一个_____上。 4.真正周期:1_____年,约为365天6时9分10秒。 5.速度 公转位置 时间 公转速度 A点 近日点 ___月初 最___ B点 远日点 ___月初 最___ 6.黄赤交角 (1)形成:________与赤道面之间的夹角。 (2)大小:目前是_______________。 (3)影响:黄赤交角的存在导致地球公转过程中太阳直射点在南北回归线之间做周期性往返运动。 7.太阳直射点的回归运动 (1)移动过程(如二分二至日均指北半球) (2)周期:365天5时48分46秒,即一个_____年。 [特别提醒] 近日点不同于冬至日,远日点不同于夏至日。 要点一 地球自转的特点 材料 “天上的明星现了,好像点着无数的街灯。我想那缥缈的空中,定然有美丽的街市。”美丽星空充满诱惑,下图所示照片是摄影师在夜晚采用连续曝光技术拍摄的。照片中的弧线为恒星视运动轨迹。 [问题探究] (1)照片中恒星的运动轨迹为什么以北极星为中心? (2)照片中恒星视运动轨迹所反映的地理现象是怎样产生的? 提示:(1)地轴北端始终指向北极星附近,因此在地球上观察时北极星几乎是不动的。 (2)地球的自转。 1.地球自转方向的判断方法 (1)根据南北极来判断:从北极俯视地球为逆时针,从南极俯视地球为顺时针。(如图) (2)根据经纬度判断:地球自西向东自转,东经度增大的方向与自转方向一致,而西经度增大的方向则与自转方向相反。(如图) 2.地球自转的周期 名称 参照物 自转角度 时间 应用价值 图中A 恒星日 恒星 360° 23小时56分4秒 地球自转的真正周期 图中B 太阳日 太阳 360°59′ 24小时 平常所说的一天 3.地球表面自转线速度 (1)计算公式:V=1 670×cos θ(θ为当地纬度) (2)地球自转线速度的分布规律 ①极点的线速度均为0。 ②纬度相同的两点,若海拔相同,则自转的线速度相同;海拔越高,自转线速度越大。 ③60°纬线上的线速度是赤道上线速度的一半。 (3)影响地球自转线速度的因素 ①影响地球自转线速度的因素主要有纬度和海拔,具体影响及其关系如表所示: 因素 影响 关系 纬度 纬度越低,线速度越大 负相关 海拔 海拔越高,线速度越大 正相关 ②从地球自转线速度考虑,航天发射基地多选择在纬度较低、地势较高的地区。因为低纬度、高海拔地区地球自转线速度大,可获得较大的发射初速度,有利于航天器发射,节省能源。 下图示意地球陆地表面局部地区自转线速度等值线分布状况。据此完成1~2题。 1.影响图示区域地球自转线速度等值线分布的因素主要有(  ) A.地形和洋流     B.纬度和地势 C.纬度和太阳辐射 D.经度和地势 2.图中a、b、c、d四地(  ) A.都位于南半球高纬度 B.都位于南半球中纬度 C.都位于北半球中纬度 D.地球自转线速度都相同 解析 第1题,图示区域地球自转线速度等值线分布,整体上受纬度因素影响,数值由南向北递减,说明南部纬度低、北部纬度高;在局部地区等值线发生弯曲,是地形因素影响的结果(海拔越高线速度越大),如在a地等值线向低纬度方向凸出,说明该处自转线速度比同纬度地区小,这是地势低导致的,b地相反,B正确;洋流、太阳辐射和经度因素对自转线速度没有影响,A、C、D错误。第2题,地球自转线速度从赤道向两极递减,而图示区域自转线速度由北向南递增,说明该区域位于北半球,A、B错误;图示区域最北部的等值线显示地球自转线速度约为850 km/h,约为赤道处(1670 km/h)的一半,说明北部纬度约靠近60°N,该区域位于北半球中纬度,C正确。四地线速度排序为b>c=d>a,D错误。 答案 1.B 2.C 要点二 地球公转的特点 材料 极昼和极夜是地球两极地区特有的自然现象,每年南、北两极地区“极昼”“极夜”交替出现。极昼,就是太阳永不落,天空总是亮的;极夜,就是太阳总不出来,天空总是黑的。南、北极点的极昼期时间长短不同,北极点极昼约为186天,南极点极昼约为179天,这与地球公转速度的变化有关。下面是北极地区极昼时太阳在地平线上运动的轨迹图。 [问题探究] (1)试从地球运动的角度分析极昼、极夜现象产生的原因。 (2)探讨北极点极昼期比南极点极昼期时间长的原因。 提示:(1)地球在沿椭圆轨道绕太阳公转的同时,还绕自身的倾斜地轴旋转。 (2)由于地球绕日公转的速度随日地距离不同而略有变化,在北半球夏半年公转速度较慢,用时多;而北半球冬半年公转速度较快,用时较少。 1.近、远日点与冬、夏至日的区别 (1)从时间上看:近日点为1月初,冬至日为12月22日;远日点为7月初,夏至日为6月22日。 (2)从在公转轨道上的位置看:近日点比冬至日靠东;远日点比夏至日靠东。 2.近日点、远日点的判定方法 (1)从日期判断:每年1月初,地球位于近日点附近,每年7月初,地球位于远日点附近。 (2)从公转速度判断:地球在近日点附近时,公转速度(线速度、角速度)较快,反之则较慢。 (3)从地球公转轨道的长轴和短轴判断:近日点和远日点位于长轴两端。距离太阳最近的点为近日点,反之为远日点。 (4)从直射位置判断:连接太阳和地球的中心,观察太阳直射的位置,若直射南回归线附近则位于近日点附近,若直射北回归线附近则位于远日点附近。 (5)从节日角度判断:元旦时接近近日点。 2025年成都世界运动会是第十二届世界运动会,是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会,竞赛项目以非奥运会项目为主。2025年世界运动会于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行,是中国大陆第一次举办世界运动会。揭幕战于北京时间2025年8月7日20时进行。据此完成1~3 题。 1.当揭幕战进行时(  ) A.伦敦正值太阳当空  B.长城一轮红日东升 C.沈阳正值太阳当空 D.黄河结冰速度减慢 2.成都世界运动会举办期间,地球运行至图中(  ) A.a处 B.b处 C.c处 D.d处 3.成都世界运动会举办期间,北京(  ) A.正午物体日影逐渐变短 B.天安门广场升旗时间逐渐推迟 C.街道路灯打开时间减少 D.一天中太阳高度变化幅度变大 解析 第1题,揭幕战于北京时间8月7日20时进行,北京时间是东八区的区时,此时伦敦(中时区)是12时左右,A正确;北京时间(东八区)是7日20时,长城、沈阳都是傍晚或夜晚,B、C错误;此时处于夏季,黄河不结冰,D错误。第2题,成都世界运动会举办期间,是北京时间2025年8月7日至8月17日,地球运行在夏至日至秋分日之间,对应图中b处,B正确;a处位于春分日至夏至日之间,A错误;c处位于秋分日至冬至日之间,C错误;d处位于冬至日至春分日之间,D错误。第3题,据上题可知,成都世界运动会举办期间,地球运行在夏至日至秋分日之间,太阳直射点南移,北京正午物体日影逐渐变长,A错误;白昼时间逐渐变短,天安门广场升旗时间逐渐推迟,B正确;太阳直射北半球,北京昼长夜短,且昼变短,街道路灯打开时间延长,C错误;北京正午太阳高度变小,一天中太阳高度变化幅度变小,D错误。 答案 1.A 2.B 3.B 要点三 黄赤交角及其影响 材料 广东从化北回归线标志塔位于从化区太平场油麻埔村三甲子坡地上,建于1985年,总高30.25 m,是目前世界上南北回归线标志塔中高度最高、规模最大的一座标志塔。 该塔占地面积28亩,塔身的形状像一枚火箭,直指蓝天,正面刻着贴金的“北回归线标志”六个大字,高度是23.5 m,与北回归线纬度相一致。塔顶是一个直径1.2 m的空心铜球,用不锈钢筒承托着,其圆孔的垂线与塔底中央嵌有一颗铜心相对,塔身是空心的,北回归线正从这里通过。在每年夏至日的 中午12时26分,太阳光线会透过铜球的圆孔直射到塔内正中点,这个时候人立于塔底铜心,抬头仰望,从塔心及铜球的一个圆孔窥见苍穹,你会发现自己的影子消失无踪,一年仅此一次立杆不见影之奇观。从这一瞬间开始,北半球进入夏季。 [问题探究] (1)分析南北回归线的纬度是根据什么确定的。 (2)分析站在北回归线标志塔下,连续两次看到太阳光线透过铜球的圆孔直射到塔内正中点的时间间隔是多少。 提示:(1)因地球自转与公转的轨道平面不重合,二者之间存在着23°26′的夹角,由此确定了南北回归线的纬度数。 (2)应是一个回归年。 1.黄赤交角的特点 黄赤交角的特点,可以概括为“一轴两面三角度”和“三个基本不变两个变”。其含义如下: 含义 一轴两面三角度 一轴 地轴(自转轴,与赤道面垂直) 黄道平面 地球公转的轨道平面 赤道平面 地球自转的平面,与地轴垂直 黄赤交角 黄道平面与赤道平面的夹角,为23°26′ 地轴与黄道平面夹角 与黄赤交角互余,为66°34′ 地轴与赤道平面夹角 90° 三个基本不变两个变 三个基 本不变 地球在公转过程中,地轴的空间指向基本不变,北极始终指向北极星附近 黄赤交角的大小基本不变,目前保持23°26′ 地球运动的方向不变,总是自西向东 两个变 地球在公转轨道的不同位置,黄道平面与赤道平面的交线、地轴与太阳光线的相对位置是变化的 2.黄赤交角的影响——太阳直射点的移动 日期 春分日eq \o(――→,\s\up17(a),\s\do5( ))夏至日eq \o(――→,\s\up17(b),\s\do5( ))秋分日eq \o(――→,\s\up17(c),\s\do5( ))冬至日eq \o(――→,\s\up17(d),\s\do5( ))春分日 太阳 直射点 赤道eq \o(――→,\s\up17(向北),\s\do5( ))北回归线eq \o(――→,\s\up17(向南),\s\do5( ))赤道eq \o(――→,\s\up17(向南),\s\do5( ))南回归线eq \o(――→,\s\up17(向北),\s\do5( ))赤道 太阳直射点的南北移动规律总结如下: 日期 太阳直射点位置及移动方向 春分日 3月21日前后 位于赤道,直射点向北移动 夏至日 6月22日前后 位于北回归线,直射点开始向南移动 秋分日 9月23日前后 位于赤道,直射点向南移动 冬至日 12月22日前后 位于南回归线,直射点开始向北移动 3.在太阳直射点回归运动图上判断二分日的方法 太阳直射点在赤道上,若由南半球进入北半球,此时为春分日;若由北半球进入南半球,此时为秋分日。 4.在公转轨道图上判断二分二至日的方法 在高中阶段对公转轨道图进行了一定的简化,基本上左右两个被固定为夏至日和冬至日这两天;上下两个被固定为春分日和秋分日这两天。因此判断的时候可根据此特点进行判读。 第一步:先确定出地球公转方向,如图1。(可根据地球自转、南北极指向等来确定地球公转方向) 第二步:在图中过球心作地轴的垂线,即赤道,如图2。 第三步:作条直线连接左右两个球心,如图3。 第四步:如果直线指向北半球(北回归线),为北半球夏至日,即图3中的A;如果直线指向南半球(南回归线),为北半球冬至日,即图3中的C。 读黄赤交角示意图,完成1~2题。 1.下列说法正确的是(  ) A.图中角β大小即是极圈度数 B.图中角α是黄赤交角 C.角β大小直接决定了回归线度数 D.角α的大小直接决定直射点纬度 2.如果黄赤交角由目前大小变为25°,下列说法正确的是(  ) A.温带的范围比现在小 B.热带的范围比现在小 C.寒带的范围比现在小 D.极昼和极夜的范围比现在小 解析 第1题,图中角α是地轴和黄道平面的夹角,与黄赤夹角互余,也是极圈度数,A、B错误;图中角β是赤道平面和黄道平面的夹角,即为黄赤夹角,直接决定了回归线度数,也决定了直射点的纬度范围,C正确,D错误。第2题,黄赤交角如果变大,回归线度数同样变大,热带范围变大;极圈与黄赤交角互余,由此其纬度值变小,寒带范围(即极昼和极夜范围)变大;温带范围由此变小。故B、C、D错误,A正确。 答案 1.C 2.A  材料 北京时间2025年6月20日20时37分,我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭,成功将中星9C卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功。下图为我国四大卫星发射中心示意图。 (1)(区域认知)根据酒泉卫星发射中心所处的位置,试说明该卫星发射中心附近的自然环境特征及其对航天发射的影响。 (2)(综合思维)文昌是继酒泉、西昌、太原后的我国第四个航天发射基地。试分析中国文昌航天发射场的区位优势。 提示:(1)地势平坦,气候干燥,晴天多,大气能见度高;地处西北地区,多大风和扬沙等天气。影响:晴天多、能见度高,便于卫星的发射和跟踪;大风和扬沙天气多,不利于卫星发射,并危害航天发射设备;等等。 (2)纬度低,自转线速度大,可提高火箭运载能力和节省能源;海运便利、廉价,有利于运输大型火箭;三面临海,安全性高,有利于火箭残骸安全坠落。 昼夜更替,潮起潮落,地球自转运动产生了许许多多的自然现象。据此完成1~2题。 1.以太阳为参照点,地球自转一周所需的时间是(  ) A.23小时56分4秒 B.24小时 C.24小时4分钟 D.24小时56分4秒 2.下列现象可以成为地球自转证据的是(  ) A.极昼极夜       B.日月升落 C.花开花落 D.四季转换 解析 第1题,以太阳为参照点,地球自转一周所需的时间是太阳日,其长度为24小时。同时,若以除太阳外的遥远恒星为参考,地球自转一周的时间为恒星日,其长度为23小时56分4秒,是地球自转的真正周期,故选B。第2题,由于地球的自转,我们看到日月星辰的东升西落,这是地球自转的证据,B正确;极昼极夜、花开花落、四季转换均与地球的公转有关,不是地球自转的证据。 答案 1.B 2.B 下表为某市2025年某月连续三天的日出、日落时刻。据此完成3~4题。 第一天 第二天 第三天 日出时刻 06:15:33 06:15:37 06:16:22 日落时刻 18:45:37 18:44:31 18:43:25 3.与表中日期临近的节气是(  ) A.春分日        B.夏至日 C.秋分日 D.冬至日 4.根据表中信息,下列说法正确的是(  ) A.长沙市正午太阳高度逐渐增大 B.地球公转速度越来越快 C.华北平原正值小麦收获季节 D.印度半岛盛行东北季风 解析 第3题,根据表格中日出和日落时间,可算出当地的昼长接近于12小时,由于春秋二分昼长接近于12小时,夏至日昼最长,昼长远大于12小时,冬至日昼最短,昼长远小于12小时,可把B、D排除;从表格中还可以看出当地日出时间越来越晚,日落越来越早,说明昼渐短,夜渐长,说明太阳直射点向南移,为秋分日,C正确;春分日前后太阳直射点向北移,昼渐长,可排除A。第4题,根据表格中日出和日落时间,可算出当地的昼长接近于12小时,且昼长越来越短,日期临近秋分日;太阳直射点南移,长沙市离直射点越来越远,正午太阳高度越来越小,A错误;由于离1月初越来越近,公转速度越来越快,B正确;华北平原是冬小麦,冬小麦于每年9—10月份播种,于次年6月初收获,C错误;印度半岛盛行东北季风主要是在冬季,D错误。 答案 3.C 4.B 黄赤交角并非固定不变,现在约为23°26′,最大时可达24.24°,最小时为22.1°,变动周期约4万年。读黄赤交角变动时回归线和极圈的变动示意图,完成5~6题。 5.黄赤交角为24.24°时(  ) A.热带的范围比现在小 B.北温带的范围比现在小 C.北寒带的范围比现在小 D.北极出现极昼的范围比现在小 6.地球上的太阳直射点(  ) A.在南北回归线之间来回移动 B.位置保持不变 C.回归运动的周期约为4万年 D.移动的纬度跨度最大为24.24° 解析 第5题,黄赤交角与回归线度数相等,与极圈度数互余。黄赤交角为24.24°时,即黄赤交角增大,则热带和寒带范围增大,极昼极夜范围增大,排除A、C、D;温带范围缩小,B正确。第6题,黄赤交角的存在,使得太阳直射点在南北回归线之间移动,目前移动的纬度跨度最大为46°52′,A正确,D错误。太阳直射点随季节变化而变化,B错误。太阳直射点回归运动周期为一个回归年(365天5小时48分46秒),C错误。 答案 5.B 6.A $$

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