第三单元应用专项09：工程问题中的合作问题和中途请假问题-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

第 1 页 共 12 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第三单元应用专项 09：工程问题中的合作问题和中途请假问题 1．修一段公路，甲队单独修 10天可以完成，乙队单独修 15天可以完成，两队合作，几天可 以修这段公路的一半？ 【答案】3天 【分析】把这条公路的长度看作单位“1”，公路的一半就是 1 2 ；根据工作效率＝工作总量÷工作 时间，用 1÷10，求出甲的工作效率；用 1÷15，求出乙的工作效率，再根据工作时间＝工作总 量÷工作效率，用 1 2 除以甲与乙的工作效率和，即可解答。 【详解】 1 2 ÷（ 110＋ 1 15） ＝ 1 2 ÷（ 30 3 ＋ 30 2 ） ＝ 1 2 ÷ 16 ＝ 1 2 ×6 ＝3（天） 答：两队合作，3天可以修这段公路的一半。 2．疫情期间，为了赶制一批医用口罩，甲工厂单独制作需要 12天完成，乙工厂单独制作需要 15天完成，两厂合作完成这项任务的 3 4 需要几天完成？ 【答案】5天 【分析】将工作总量看作单位“1”，根据 工作总量 工作时间＝工作效率，用 1除以时间可得工作 效率，再根据 工作总量和 工作效率和＝工作时间，用 3 4 ÷两车间效率和即可得解。 【详解】 11 12 12   11 15 15   3 1 1 4 12 15       第 2 页 共 12 页 3 5 4 4 60 60        3 3 4 20   3 20 4 3   5 （天） 答：两厂合作完成这项任务的 3 4 需要 5天完成。 3．修一条长 30千米的公路，如果甲队单独修，12天能修完，如果乙队单独修，18天才能修 完。如果两队合修，多少天能修完这条公路的一半？ 【答案】3.6天 【分析】把这条公路的总长看作单位“1”，根据工作量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲队、 乙队的工作效率，再根据合作时间＝工作量÷工作效率和，代入数据计算即可解答。 【详解】1÷12＝ 1 12 1÷18＝ 1 18 1 2 ÷（ 1 12 ＋ 1 18 ） ＝ 1 2 ÷（ 3 36＋ 2 36 ） ＝ 1 2 ÷ 5 36 ＝ 1 2 × 36 5 ＝3.6（天） 答：3.6天能修完这条公路的一半。 4．甲、乙两队合作一项工程，若由甲队单独做 20天可完成，若由乙队单独做则需 30天完成。 甲乙两队合作若干天后，乙队因事被调走，甲队继续工作，已知从开工到结束共用 14天，乙 队离开了几天？ 【答案】5天 【分析】假设出工作总量，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出甲队和乙队的工作效 率，从开工到结束共用 14天，而且甲队一直在工作，则甲队一共工作了 14天，剩下的由乙队 工作，工作总量减去甲队 14天的工作量得出乙队的工作量，再根据“工作时间＝工作总量÷工 作效率”求出乙队工作的天数，乙队离开的天数＝总天数－乙队工作的天数，据此解答。 第 3 页 共 12 页 【详解】假设工作总量为 1。 甲队的工作效率：1÷20＝ 1 20 乙队的工作效率：1÷30＝ 1 30 乙队工作的天数：（1－ 1 20 ×14）÷ 1 30 ＝（1－ 7 10）÷ 1 30 ＝ 3 10 ÷ 1 30 ＝ 3 10 ×30 ＝9（天） 乙队离开的天数：14－9＝5（天） 答：乙队离开了 5天。 5．一项工程，甲单独做需要 9天完成，乙单独做需要 12天完成。现在甲、乙二人合作几天后， 乙有事离开了，余下的甲再做 2天可完成。乙做了几天？ 【答案】4天 【分析】把工程总量看作单位“1”，甲单独 9天完成，每天完成总量的 1÷9＝ 1 9 。乙单独 12天 完成，每天完成总量的 1÷12＝ 1 12 。甲最后单独做了 2天，完成的工作量为： 1 9 ×2＝ 2 9 。 总工作量为“1”，因此两人合作完成的工作量为： 2 71 9 9   。甲、乙每天一起完成的工作量为： 1 1 4 3 7 9 12 36 36 36     。根据合作天数＝合作工作量÷合作效率和，把数据代入即可解答。 【详解】把工程总量看作单位“1”。 1÷9＝ 1 9 1÷12＝ 1 12 11 9  ×2 ＝ 21 9  7 9  1 1 4 3 7 9 12 36 36 36     第 4 页 共 12 页 7 7 7 36 4 9 36 9 7    （天） 答：乙做了 4天。 6．甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高 1 10 ，乙的工作效率 比单独做时提高 1 5，甲乙合作 6小时完成了这项工作。如果甲单独做需要 11小时，那么乙单 独做需要几小时？ 【答案】18小时 【分析】将工作总量看作单位“1”，如果甲单独做需要 11小时，则甲单独做的工作效率是 1 11 ； 已知合作时甲的工作效率比单独做时提高 1 10 ，将甲单独做的工作效率看作单位“1”，则合作时 甲的工作效率是单独做时的（1＋ 1 10 ），单位“1”已知，用甲单独做的工作效率乘（1＋ 1 10 ）， 求出合作时甲的工作效率； 甲乙合作 6小时完成了这项工作，则合作时两人的效率和是 1 6 ，那么合作时乙的工作效率是（ 1 6 － 1 10 ）；已知合作时乙的工作效率比单独做时提高 1 5，将乙单独做的工作效率看作单位“1”， 合作时乙的工作效率是单独做的（1＋ 15），单位“1”未知，合作时乙的工作效率÷对应分率＝ 乙单独做的工作效率，然后根据工作总量÷乙单独做的工作效率＝乙单独做的工作时间，据此 列式解答。 【详解】合作时甲的工作效率： 1 11 ×（1＋ 1 10 ） ＝ 1 11 × 11 10 ＝ 1 10 乙单独做的工作效率： （ 1 6 － 1 10 ）÷（1＋ 15） ＝（ 5 30－ 3 30）÷ 6 5 ＝ 1 15 ÷ 65 ＝ 1 15 × 5 6 第 5 页 共 12 页 ＝ 1 18 乙单独做需要的时间： 1÷ 1 18 ＝1×18 ＝18（小时） 答：乙单独做需要 18小时。 7．据《墨子•鲁问》中记载，鲁班的“木鹊”是风筝的早期形式，工程复杂。现在科技发达，制 作 120个风筝，甲单独做需要 15天完成，乙单独做需要 20天完成。 （1）甲、乙两队合作多少天能完成任务？ （2）如果乙队先单独做 4天，剩下的由甲、乙两队合作完成，还需要多少天才能完成任务？ 【答案】（1） 48 7天 （2） 66 7天 【分析】（1）把制作 120个风筝的工作总量看作单位“1”，已知甲单独做需要 15天完成，即 甲的工作效率是 1 15 ；乙单独做需要 20天完成，即乙的工作效率是 1 20 ；已知甲、乙两队合作， 根据“合作工时＝工作总量÷合作工效”，即可求出甲、乙两队合作完成任务需要的天数。 （2）如果乙队先单独做 4天，根据“工作量＝工作效率×工作时间”求出乙队做 4天完成的工作 量；再用工作总量减去乙队 4天完成的工作量，即是剩下的工作量； 已知剩下的由甲、乙两队合作完成，根据“合作工作量÷合作工效＝合作工时”，求出完成任务 还需要的天数。 【详解】（1）1÷（ 1 15 ＋ 1 20 ） ＝1÷（ 460＋ 3 60 ） ＝1÷ 760 ＝1× 607 ＝ 48 7（天） 答：甲、乙两队合作 48 7天能完成任务。 第 6 页 共 12 页 （2）（1－ 1 20 ×4）÷（ 1 15 ＋ 1 20 ） ＝（1－ 15）÷（ 4 60＋ 3 60 ） ＝ 4 5 ÷ 7 60 ＝ 4 5 × 60 7 ＝ 66 7（天） 答：还需要 66 7天才能完成任务。 8．修一条路，甲、乙两队合作 12天可以完成。如果甲队单独做 8天后，再由乙队单独做 3 天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的 5 12。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天 可以修完这条路？ 【答案】20天 【分析】甲、乙两队合作 12天可以完成这条路，把工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工 作总量÷工作时间，可得甲、乙两队合作的工作效率为 1÷12＝ 1 12 ，设甲队的工作效率为 x，乙 队的工作效率为 1 12 －x，根据工作量＝工作效率×工作时间，甲队单独做 8天完成的工作量为 8x，乙队单独做 3天的工作量为（ 1 12 －x）×3，根据等量关系：“甲队单独做 8天完成的工作 量＋乙队单独做 3天的工作量＝ 5 12 ”列方程求出甲队的工作效率，再用 1 12 减去甲队的工作效率 求出乙队的工作效率，再用总工作量除以乙队的工作效率。 【详解】甲、乙两队合作的工作效率为：1÷12＝ 1 12 解：设甲队的工作效率为 x，乙队的工作效率为 1 12 －x。 8x＋（ 1 12 －x）×3＝ 5 12 8x＋ 14 －3x＝ 5 12 5x＋ 14 ＝ 5 12 5x＋ 14 － 1 4＝ 5 12－ 1 4 5x＝ 5 12－ 3 12 第 7 页 共 12 页 5x＝ 1 6 1 5 ×5x＝ 1 6 × 15 x＝ 1 30 1÷（ 1 12 － 1 30 ） ＝1÷（ 560－ 2 60） ＝1÷ 1 20 ＝1×20 ＝20（天） 答：乙队 20天可以修完这条路。 9．一项工程，甲单独做 8天完成，乙单独做 12天完成。现两人合做途中乙因病休息了几天， 这样用了 6天才完成任务。乙实际工作了多少天？ 【答案】3天 【分析】由题意可知，把这项工程看作单位“1”，完成这项工程用了 6天，甲全程参与，则甲 完成了全部工程的（6× 18），那么乙完成了全部工程的（1－6× 1 8），再根据工作时间＝工作 总量÷工作时间求出乙实际工作的天数，据此解答即可。 【详解】 1 11 6 8 12        ＝（1－ 3 4 ）×12 ＝ 1 4 ×12 ＝3（天） 答：乙实际工作了 3天。 10．一批零件，甲、乙一起加工要 24天完成任务，两人一起加工了 6天后，乙离开了，剩下 的由甲单独加工 36天才完成任务。这批零件如果由乙单独加工，要多少天完成任务？ 【答案】48天 【分析】把需要加工零件看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用 1÷24求出甲、 乙合作的工作效率，根据工作量＝工作效率×工作时间，求出两人合作 6天完成的工作量，再 用 1减去两人合作 6天完成的工作量，求出剩下的工作量，再用剩下的工作量除以甲单独完成 第 8 页 共 12 页 的天数，求出甲的工作效率，最后用甲、乙合作的工作效率减去甲的工作效率，求出乙的工作 效率，再用总工作量除以乙的工作效率即可解答。 【详解】1÷24＝ 124 （1－ 124 ×6）÷36 ＝（1－ 14 ）× 1 36 ＝ 3 4 × 1 36 ＝ 1 48 1÷（ 124－ 1 48） ＝1÷（ 248－ 1 48） ＝1÷ 148 ＝1×48 ＝48（天） 答：这批零件如果由乙单独加工，要 48天完成任务。 11．一项工程甲、乙两个工程队共同完成，如果甲工程队单独做需要 8天，乙工程队单独做需 要 10天。甲、乙两队合作 2天后，剩下的由乙队单独完成。乙队还需要几天才能完成这项工 程？ 【答案】5.5天 【分析】根据题意，把这项工程看作单位“1”，甲工程队单独做需要 8天，甲工程队的工作效 率是 1 8，乙工程队单独做需要 10天，乙工程队的工作效率是 1 10 ，甲、乙两队合作 2天后，剩 下的由乙队单独完成，用总的工作量减去甲、乙两队合作 2天的工作量，再除以乙队的工作效 率，即可求出乙队还需要几天才能完成这项工程。 【详解】 1 1 11 2 8 10 10           ＝ 9 11 2 40 10       ＝ 91 10 20      第 9 页 共 12 页 ＝ 11 10 20  ＝5.5（天） 答：乙队还需要 5.5天才能完成这项工程。 12．一项工程，甲工程队单独完成需要 20天，乙工程队单独完成需要 30天。先由甲工程队单 独干 5天后，再由两个工程队合作完成，还需要几天完成？ 【答案】9天 【分析】将这项工程看作单位“1”，工作总量÷工作时间＝工作效率，由此分别求出甲乙两个工 程队的工作效率。用甲的工作效率乘 5，求出甲单独完成了这项工程的几分之几。用单位“1” 减去甲完成的分率，求出剩下的分率。工作总量÷工作效率＝工作时间，将剩下的分率除以甲 乙两个工程队的效率和，求出剩下的由两个工程队合作完成，还需要几天完成。 【详解】甲工程队工作效率：1÷20＝ 1 20 乙工程队工作效率：1÷30＝ 1 30 （1－ 1 20 ×5）÷（ 1 20 ＋ 1 30 ） ＝（1－ 14 ）÷（ 3 60 ＋ 2 60） ＝ 3 4 ÷ 1 12 ＝ 3 4 ×12 ＝9（天） 答：还需要 9天完成。 13．一项工程，甲队单独做 5天完成，乙队单独做要 6天完成，两队合做 2天后，剩下的由甲 队独做完成，甲队共做了几天？ 【答案】 13 3天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，甲队单独做 5天完成，乙队单独做要 6天完成， 则甲队的工作效率是 1 5，乙队的工作效率是 1 6 。根据工作效率和×工作时间＝合作的工作总量， 用 1 5与 1 6 的和乘 2，可以求出两队合做 2天完成的工作量。用 1减去两队合做 2天完成的工作 量，可以求出剩下的工作量，再根据工作总量÷工作效率＝工作时间，用剩下的工作量除以 15可 以求出剩下的甲队需要做几天，最后加上合作的 2天，即可求出甲队共做了几天。 第 10 页 共 12 页 【详解】[1－（ 15＋ 1 6 ）×2]÷ 15＋2 ＝[1－（ 6 30 ＋ 5 30）×2]÷ 1 5＋2 ＝[1－ 1130 ×2]÷ 1 5＋2 ＝[1－ 11 15 ]÷ 15＋2 ＝ 4 15 ×5＋2 ＝ 4 3 ＋2 ＝ 13 3（天） 答：甲队共做了 13 3天。 14．2023年初，围绕辖区市民急难愁盼的问题，两江新区制定实施了 20项重点民生实事项目。 人和街道老旧小区改造邢家桥二、三标段项目，由甲、乙两个工程队共同负责。甲队单独做需 要 30天完成，乙队单独做需要 20天完成。甲队先单独做 6天，余下的由甲、乙两队合做，两 队还需要合作几天？ 【答案】 48 5 天 【分析】把这项目的工作总量看作单位“1”，由题意可知，甲队的工作效率是 130，乙队的工作 效率是 1 20，根据 工作效率 工作时间＝工作总量， 1 6 30  得到甲队先单独做 6天的工作总量，再根 据 工作总量和 工作效率和＝工作时间，用 1减甲队做 6天的工作总量，再除以两队的工作效率和， 即可得解。 【详解】 1 1 11 6 30 30 20               1 2 31 5 60 60               4 1 5 12   4 12 5   48 5  （天） 答：两队还需要合作 48 5 天。 15．一项工作，甲单独做 8天可以完成，乙单独做 12天可以完成，现在乙先单独做 3天，余 第 11 页 共 12 页 下的工作由甲去完成，甲还要做几天才能完成？ 【答案】6天 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间；用 1÷8＝ 18，求出甲 的工作效率；用 1÷12＝ 1 12 ，求出乙的工作效率；再根据工作总量＝工作效率×工作时间，用乙 的工作效率×3，求出乙 3天的工作量；再用 1减去乙 3天的工作量，求出剩下的工作量，再根 据工作时间＝工作总量÷工作效率，用剩下的工作量÷甲的工作效率，即可求出甲还要做几天 才能完成。 【详解】（1－ 1 12 ×3）÷ 18 ＝（1－ 14 ）÷ 1 8 ＝ 3 4 ×8 ＝6（天） 答：甲还要做 6天才能完成。 16．修一条公路，甲队单独修完要用 15天，乙队单独修完要用 20天，两队合修 5天后，甲队 因事被调走，剩下的由乙队修完，乙队一共修了多少天？ 【答案】 113 3天 【分析】把修这条公路的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别 求出甲队、乙队各自的工作效率，两队的工作效率相加即是合作工效； 已知两队先合修 5天，根据“合作工作量＝合作工效×合作工时”，求出两队合修完成的工作量； 已知剩下的由乙队修完，先用工作总量“1”减去两队合修完成的工作量，即是剩下的工作量； 再根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，用剩下的工作量除以乙的工作效率，求出乙队修完剩 下部分所需的天数，再加上 5天，即是乙队一共修的天数。 【详解】甲队的工作效率：1÷15＝ 1 15 乙队的工作效率：1÷20＝ 1 20 两队合修的工作量： （ 1 15 ＋ 1 20 ）×5 ＝（ 4 60＋ 3 60 ）×5 第 12 页 共 12 页 ＝ 7 60 ×5 ＝ 7 12 剩下的由乙队修完所需的工作时间： （1－ 7 12）÷ 1 20 ＝ 5 12 ÷ 1 20 ＝ 5 12 ×20 ＝ 18 3 （天） 5＋ 18 3 ＝ 113 3（天） 答：乙队一共修了 113 3天。 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第三单元应用专项09：工程问题中的合作问题和中途请假问题 1．修一段公路，甲队单独修10天可以完成，乙队单独修15天可以完成，两队合作，几天可以修这段公路的一半？ 【答案】3天 【分析】把这条公路的长度看作单位“1”，公路的一半就是；根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1÷10，求出甲的工作效率；用1÷15，求出乙的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用除以甲与乙的工作效率和，即可解答。 【详解】÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝×6 ＝3（天） 答：两队合作，3天可以修这段公路的一半。 2．疫情期间，为了赶制一批医用口罩，甲工厂单独制作需要12天完成，乙工厂单独制作需要15天完成，两厂合作完成这项任务的需要几天完成？ 【答案】5天 【分析】将工作总量看作单位“1”，根据，用1除以时间可得工作效率，再根据，用÷两车间效率和即可得解。 【详解】 （天） 答：两厂合作完成这项任务的需要5天完成。 3．修一条长30千米的公路，如果甲队单独修，12天能修完，如果乙队单独修，18天才能修完。如果两队合修，多少天能修完这条公路的一半？ 【答案】3.6天 【分析】把这条公路的总长看作单位“1”，根据工作量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲队、乙队的工作效率，再根据合作时间＝工作量÷工作效率和，代入数据计算即可解答。 【详解】1÷12＝ 1÷18＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝3.6（天） 答：3.6天能修完这条公路的一半。 4．甲、乙两队合作一项工程，若由甲队单独做20天可完成，若由乙队单独做则需30天完成。甲乙两队合作若干天后，乙队因事被调走，甲队继续工作，已知从开工到结束共用14天，乙队离开了几天？ 【答案】5天 【分析】假设出工作总量，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出甲队和乙队的工作效率，从开工到结束共用14天，而且甲队一直在工作，则甲队一共工作了14天，剩下的由乙队工作，工作总量减去甲队14天的工作量得出乙队的工作量，再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”求出乙队工作的天数，乙队离开的天数＝总天数－乙队工作的天数，据此解答。 【详解】假设工作总量为1。 甲队的工作效率：1÷20＝ 乙队的工作效率：1÷30＝ 乙队工作的天数：（1－×14）÷ ＝（1－）÷ ＝÷ ＝×30 ＝9（天） 乙队离开的天数：14－9＝5（天） 答：乙队离开了5天。 5．一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成。现在甲、乙二人合作几天后，乙有事离开了，余下的甲再做2天可完成。乙做了几天？ 【答案】4天 【分析】把工程总量看作单位“1”，甲单独9天完成，每天完成总量的1÷9＝。乙单独12天完成，每天完成总量的1÷12＝。甲最后单独做了2天，完成的工作量为：×2＝。 总工作量为“1”，因此两人合作完成的工作量为：。甲、乙每天一起完成的工作量为：。根据合作天数＝合作工作量÷合作效率和，把数据代入即可解答。 【详解】把工程总量看作单位“1”。 1÷9＝ 1÷12＝ ×2 ＝ （天） 答：乙做了4天。 6．甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲乙合作6小时完成了这项工作。如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时？ 【答案】18小时 【分析】将工作总量看作单位“1”，如果甲单独做需要11小时，则甲单独做的工作效率是；已知合作时甲的工作效率比单独做时提高，将甲单独做的工作效率看作单位“1”，则合作时甲的工作效率是单独做时的（1＋），单位“1”已知，用甲单独做的工作效率乘（1＋），求出合作时甲的工作效率； 甲乙合作6小时完成了这项工作，则合作时两人的效率和是，那么合作时乙的工作效率是（－）；已知合作时乙的工作效率比单独做时提高，将乙单独做的工作效率看作单位“1”，合作时乙的工作效率是单独做的（1＋），单位“1”未知，合作时乙的工作效率÷对应分率＝乙单独做的工作效率，然后根据工作总量÷乙单独做的工作效率＝乙单独做的工作时间，据此列式解答。 【详解】合作时甲的工作效率： ×（1＋） ＝× ＝ 乙单独做的工作效率： （－）÷（1＋） ＝（－）÷ ＝÷ ＝× ＝ 乙单独做需要的时间： 1÷ ＝1×18 ＝18（小时） 答：乙单独做需要18小时。 7．据《墨子•鲁问》中记载，鲁班的“木鹊”是风筝的早期形式，工程复杂。现在科技发达，制作120个风筝，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要20天完成。 （1）甲、乙两队合作多少天能完成任务？ （2）如果乙队先单独做4天，剩下的由甲、乙两队合作完成，还需要多少天才能完成任务？ 【答案】（1）天 （2）天 【分析】（1）把制作120个风筝的工作总量看作单位“1”，已知甲单独做需要15天完成，即甲的工作效率是；乙单独做需要20天完成，即乙的工作效率是；已知甲、乙两队合作，根据“合作工时＝工作总量÷合作工效”，即可求出甲、乙两队合作完成任务需要的天数。 （2）如果乙队先单独做4天，根据“工作量＝工作效率×工作时间”求出乙队做4天完成的工作量；再用工作总量减去乙队4天完成的工作量，即是剩下的工作量； 已知剩下的由甲、乙两队合作完成，根据“合作工作量÷合作工效＝合作工时”，求出完成任务还需要的天数。 【详解】（1）1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 答：甲、乙两队合作天能完成任务。 （2）（1－×4）÷（＋） ＝（1－）÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（天） 答：还需要天才能完成任务。 8．修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？ 【答案】20天 【分析】甲、乙两队合作12天可以完成这条路，把工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可得甲、乙两队合作的工作效率为1÷12＝，设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为－x，根据工作量＝工作效率×工作时间，甲队单独做8天完成的工作量为8x，乙队单独做3天的工作量为（－x）×3，根据等量关系：“甲队单独做8天完成的工作量＋乙队单独做3天的工作量＝”列方程求出甲队的工作效率，再用减去甲队的工作效率求出乙队的工作效率，再用总工作量除以乙队的工作效率。 【详解】甲、乙两队合作的工作效率为：1÷12＝ 解：设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为－x。 8x＋（－x）×3＝ 8x＋－3x＝ 5x＋＝ 5x＋－＝－ 5x＝－ 5x＝ ×5x＝× x＝ 1÷（－） ＝1÷（－） ＝1÷ ＝1×20 ＝20（天） 答：乙队20天可以修完这条路。 9．一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。现两人合做途中乙因病休息了几天，这样用了6天才完成任务。乙实际工作了多少天？ 【答案】3天 【分析】由题意可知，把这项工程看作单位“1”，完成这项工程用了6天，甲全程参与，则甲完成了全部工程的（6×），那么乙完成了全部工程的（1－6×），再根据工作时间＝工作总量÷工作时间求出乙实际工作的天数，据此解答即可。 【详解】 ＝（1－）×12 ＝×12 ＝3（天） 答：乙实际工作了3天。 10．一批零件，甲、乙一起加工要24天完成任务，两人一起加工了6天后，乙离开了，剩下的由甲单独加工36天才完成任务。这批零件如果由乙单独加工，要多少天完成任务？ 【答案】48天 【分析】把需要加工零件看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用1÷24求出甲、乙合作的工作效率，根据工作量＝工作效率×工作时间，求出两人合作6天完成的工作量，再用1减去两人合作6天完成的工作量，求出剩下的工作量，再用剩下的工作量除以甲单独完成的天数，求出甲的工作效率，最后用甲、乙合作的工作效率减去甲的工作效率，求出乙的工作效率，再用总工作量除以乙的工作效率即可解答。 【详解】1÷24＝ （1－×6）÷36 ＝（1－）× ＝× ＝ 1÷（－） ＝1÷（－） ＝1÷ ＝1×48 ＝48（天） 答：这批零件如果由乙单独加工，要48天完成任务。 11．一项工程甲、乙两个工程队共同完成，如果甲工程队单独做需要8天，乙工程队单独做需要10天。甲、乙两队合作2天后，剩下的由乙队单独完成。乙队还需要几天才能完成这项工程？ 【答案】5.5天 【分析】根据题意，把这项工程看作单位“1”，甲工程队单独做需要8天，甲工程队的工作效率是，乙工程队单独做需要10天，乙工程队的工作效率是，甲、乙两队合作2天后，剩下的由乙队单独完成，用总的工作量减去甲、乙两队合作2天的工作量，再除以乙队的工作效率，即可求出乙队还需要几天才能完成这项工程。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝5.5（天） 答：乙队还需要5.5天才能完成这项工程。 12．一项工程，甲工程队单独完成需要20天，乙工程队单独完成需要30天。先由甲工程队单独干5天后，再由两个工程队合作完成，还需要几天完成？ 【答案】9天 【分析】将这项工程看作单位“1”，工作总量÷工作时间＝工作效率，由此分别求出甲乙两个工程队的工作效率。用甲的工作效率乘5，求出甲单独完成了这项工程的几分之几。用单位“1”减去甲完成的分率，求出剩下的分率。工作总量÷工作效率＝工作时间，将剩下的分率除以甲乙两个工程队的效率和，求出剩下的由两个工程队合作完成，还需要几天完成。 【详解】甲工程队工作效率：1÷20＝ 乙工程队工作效率：1÷30＝ （1－×5）÷（＋） ＝（1－）÷（＋） ＝÷ ＝×12 ＝9（天） 答：还需要9天完成。 13．一项工程，甲队单独做5天完成，乙队单独做要6天完成，两队合做2天后，剩下的由甲队独做完成，甲队共做了几天？ 【答案】天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，甲队单独做5天完成，乙队单独做要6天完成，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是。根据工作效率和×工作时间＝合作的工作总量，用与的和乘2，可以求出两队合做2天完成的工作量。用1减去两队合做2天完成的工作量，可以求出剩下的工作量，再根据工作总量÷工作效率＝工作时间，用剩下的工作量除以可以求出剩下的甲队需要做几天，最后加上合作的2天，即可求出甲队共做了几天。 【详解】[1－（＋）×2]÷＋2 ＝[1－（＋）×2]÷＋2 ＝[1－×2]÷＋2 ＝[1－]÷＋2 ＝×5＋2 ＝＋2 ＝（天） 答：甲队共做了天。 14．2023年初，围绕辖区市民急难愁盼的问题，两江新区制定实施了20项重点民生实事项目。人和街道老旧小区改造邢家桥二、三标段项目，由甲、乙两个工程队共同负责。甲队单独做需要30天完成，乙队单独做需要20天完成。甲队先单独做6天，余下的由甲、乙两队合做，两队还需要合作几天？ 【答案】天 【分析】把这项目的工作总量看作单位“1”，由题意可知，甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，根据，得到甲队先单独做6天的工作总量，再根据，用1减甲队做6天的工作总量，再除以两队的工作效率和，即可得解。 【详解】 （天） 答：两队还需要合作天。 15．一项工作，甲单独做8天可以完成，乙单独做12天可以完成，现在乙先单独做3天，余下的工作由甲去完成，甲还要做几天才能完成？ 【答案】6天 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间；用1÷8＝，求出甲的工作效率；用1÷12＝，求出乙的工作效率；再根据工作总量＝工作效率×工作时间，用乙的工作效率×3，求出乙3天的工作量；再用1减去乙3天的工作量，求出剩下的工作量，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用剩下的工作量÷甲的工作效率，即可求出甲还要做几天才能完成。 【详解】（1－×3）÷ ＝（1－）÷ ＝×8 ＝6（天） 答：甲还要做6天才能完成。 16．修一条公路，甲队单独修完要用15天，乙队单独修完要用20天，两队合修5天后，甲队因事被调走，剩下的由乙队修完，乙队一共修了多少天？ 【答案】天 【分析】把修这条公路的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲队、乙队各自的工作效率，两队的工作效率相加即是合作工效； 已知两队先合修5天，根据“合作工作量＝合作工效×合作工时”，求出两队合修完成的工作量； 已知剩下的由乙队修完，先用工作总量“1”减去两队合修完成的工作量，即是剩下的工作量；再根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，用剩下的工作量除以乙的工作效率，求出乙队修完剩下部分所需的天数，再加上5天，即是乙队一共修的天数。 【详解】甲队的工作效率：1÷15＝ 乙队的工作效率：1÷20＝ 两队合修的工作量： （＋）×5 ＝（＋）×5 ＝×5 ＝ 剩下的由乙队修完所需的工作时间： （1－）÷ ＝÷ ＝×20 ＝（天） 5＋＝（天） 答：乙队一共修了天。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第三单元应用专项09：工程问题中的合作问题和中途请假问题 1．修一段公路，甲队单独修10天可以完成，乙队单独修15天可以完成，两队合作，几天可以修这段公路的一半？ 2．疫情期间，为了赶制一批医用口罩，甲工厂单独制作需要12天完成，乙工厂单独制作需要15天完成，两厂合作完成这项任务的需要几天完成？ 3．修一条长30千米的公路，如果甲队单独修，12天能修完，如果乙队单独修，18天才能修完。如果两队合修，多少天能修完这条公路的一半？ 4．甲、乙两队合作一项工程，若由甲队单独做20天可完成，若由乙队单独做则需30天完成。甲乙两队合作若干天后，乙队因事被调走，甲队继续工作，已知从开工到结束共用14天，乙队离开了几天？ 5．一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成。现在甲、乙二人合作几天后，乙有事离开了，余下的甲再做2天可完成。乙做了几天？ 6．甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲乙合作6小时完成了这项工作。如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时？ 7．据《墨子•鲁问》中记载，鲁班的“木鹊”是风筝的早期形式，工程复杂。现在科技发达，制作120个风筝，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要20天完成。 （1）甲、乙两队合作多少天能完成任务？ （2）如果乙队先单独做4天，剩下的由甲、乙两队合作完成，还需要多少天才能完成任务？ 8．修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？ 9．一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。现两人合做途中乙因病休息了几天，这样用了6天才完成任务。乙实际工作了多少天？ 10．一批零件，甲、乙一起加工要24天完成任务，两人一起加工了6天后，乙离开了，剩下的由甲单独加工36天才完成任务。这批零件如果由乙单独加工，要多少天完成任务？ 11．一项工程甲、乙两个工程队共同完成，如果甲工程队单独做需要8天，乙工程队单独做需要10天。甲、乙两队合作2天后，剩下的由乙队单独完成。乙队还需要几天才能完成这项工程？ 12．一项工程，甲工程队单独完成需要20天，乙工程队单独完成需要30天。先由甲工程队单独干5天后，再由两个工程队合作完成，还需要几天完成？ 13．一项工程，甲队单独做5天完成，乙队单独做要6天完成，两队合做2天后，剩下的由甲队独做完成，甲队共做了几天？ 14．2023年初，围绕辖区市民急难愁盼的问题，两江新区制定实施了20项重点民生实事项目。人和街道老旧小区改造邢家桥二、三标段项目，由甲、乙两个工程队共同负责。甲队单独做需要30天完成，乙队单独做需要20天完成。甲队先单独做6天，余下的由甲、乙两队合做，两队还需要合作几天？ 15．一项工作，甲单独做8天可以完成，乙单独做12天可以完成，现在乙先单独做3天，余下的工作由甲去完成，甲还要做几天才能完成？ 16．修一条公路，甲队单独修完要用15天，乙队单独修完要用20天，两队合修5天后，甲队因事被调走，剩下的由乙队修完，乙队一共修了多少天？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 4 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第三单元应用专项 09：工程问题中的合作问题和中途请假问题 1．修一段公路，甲队单独修 10天可以完成，乙队单独修 15天可以完成，两队合作，几天可 以修这段公路的一半？ 2．疫情期间，为了赶制一批医用口罩，甲工厂单独制作需要 12天完成，乙工厂单独制作需要 15天完成，两厂合作完成这项任务的 3 4 需要几天完成？ 3．修一条长 30千米的公路，如果甲队单独修，12天能修完，如果乙队单独修，18天才能修 完。如果两队合修，多少天能修完这条公路的一半？ 4．甲、乙两队合作一项工程，若由甲队单独做 20天可完成，若由乙队单独做则需 30天完成。 甲乙两队合作若干天后，乙队因事被调走，甲队继续工作，已知从开工到结束共用 14天，乙 队离开了几天？ 5．一项工程，甲单独做需要 9天完成，乙单独做需要 12天完成。现在甲、乙二人合作几天后， 乙有事离开了，余下的甲再做 2天可完成。乙做了几天？ 第 2 页 共 4 页 6．甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高 1 10 ，乙的工作效率 比单独做时提高 1 5，甲乙合作 6小时完成了这项工作。如果甲单独做需要 11小时，那么乙单 独做需要几小时？ 7．据《墨子•鲁问》中记载，鲁班的“木鹊”是风筝的早期形式，工程复杂。现在科技发达，制 作 120个风筝，甲单独做需要 15天完成，乙单独做需要 20天完成。 （1）甲、乙两队合作多少天能完成任务？ （2）如果乙队先单独做 4天，剩下的由甲、乙两队合作完成，还需要多少天才能完成任务？ 8．修一条路，甲、乙两队合作 12天可以完成。如果甲队单独做 8天后，再由乙队单独做 3 天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的 5 12。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天 可以修完这条路？ 9．一项工程，甲单独做 8天完成，乙单独做 12天完成。现两人合做途中乙因病休息了几天， 这样用了 6天才完成任务。乙实际工作了多少天？ 10．一批零件，甲、乙一起加工要 24天完成任务，两人一起加工了 6天后，乙离开了，剩下 的由甲单独加工 36天才完成任务。这批零件如果由乙单独加工，要多少天完成任务？ 第 3 页 共 4 页 11．一项工程甲、乙两个工程队共同完成，如果甲工程队单独做需要 8天，乙工程队单独做需 要 10天。甲、乙两队合作 2天后，剩下的由乙队单独完成。乙队还需要几天才能完成这项工 程？ 12．一项工程，甲工程队单独完成需要 20天，乙工程队单独完成需要 30天。先由甲工程队单 独干 5天后，再由两个工程队合作完成，还需要几天完成？ 13．一项工程，甲队单独做 5天完成，乙队单独做要 6天完成，两队合做 2天后，剩下的由甲 队独做完成，甲队共做了几天？ 14．2023年初，围绕辖区市民急难愁盼的问题，两江新区制定实施了 20项重点民生实事项目。 人和街道老旧小区改造邢家桥二、三标段项目，由甲、乙两个工程队共同负责。甲队单独做需 要 30天完成，乙队单独做需要 20天完成。甲队先单独做 6天，余下的由甲、乙两队合做，两 队还需要合作几天？ 15．一项工作，甲单独做 8天可以完成，乙单独做 12天可以完成，现在乙先单独做 3天，余 下的工作由甲去完成，甲还要做几天才能完成？ 第 4 页 共 4 页 16．修一条公路，甲队单独修完要用 15天，乙队单独修完要用 20天，两队合修 5天后，甲队 因事被调走，剩下的由乙队修完，乙队一共修了多少天？