21.2解一元二次方程 课时训练-2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2解一元二次方程课时训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 2．方程的根的情况是（   ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 5．若1是方程的一个根，则另一个根为（　　） A． B．2 C．1 D．0 6．若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．关于的一元二次方程，则下列说法正确的是（   ） A．时，方程无实数根 B．时，方程有两个相等的实数根 C．时，方程有两个不相等实数根 D．时，方程有一个实数根 9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 10．已知一元二次方程，当时方程的两根分别是和，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 二、填空题 11．一元二次方程 的根为   ． 12．一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 13．写出一个（二次项系数为），根为与的一元二次方程： ． 14．已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 15．已知α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 16．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根． (2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 19．已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 20．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 21．已知实数、满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即： 解得． ∵， ∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数． (2)已知实数、满足，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.2解一元二次方程课时训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D C B B B B B 1．A 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， 或 ， ∴ ，， 故选：． 2．B 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了配方法解方程，先移项，再等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 整理后得， 故选：D． 4．D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．可设另一个根为t，根据根与系数关系得到，然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设另一个根为t， 根据题意得， 所以， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可以得到，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴方程的解为或， 解得：； 故选：B． 8．B 【分析】该题考查了直接开平方法解方程，根据选项中的k值得出方程，求解即可． 【详解】解：A． 时，，，方程有两个不相等的实数根，故错误，不符合题意； B． 时，，，方程有两个相等的实数根，正确，符合题意； C． 时，，方程没有实数根，故错误，不符合题意； D． 时，，，，方程有两个不相等的实数根，故错误，不符合题意； 故选：B． 9．B 【详解】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，可知Δ＞0，进一步求解即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得：且． 故选：B． 10．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，算术平方根，熟记关于x的一元二次方程的两根分别为、，则，是解决问题的关键．当时方程的两根分别是和，可得，求出的值，再求的值，即可求解． 【详解】解：∵当时方程的两根分别是和， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 11． ， 【分析】本题主要考查解一元二次方程—配方法，两边都加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式，继而开方可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴，， 故答案为：，． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及其与根的关系，具体涉及判别式的计算公式 和无实数根的条件 ．解题的关键在于准确应用判别式公式，建立并解不等式，最终得出 的取值范围．根据一元二次方程无实数根的条件，需满足判别式小于零，从而建立不等式求解m的取值范围． 【详解】解：一元二次方程无实数根， ，即， 解得． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，设所求方程为，由已知得，由根与系数的关系可知，，，分别求出、的值即可．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：设所求方程为， ∵二次项系数为， ∴． ∵方程的两根分别为与， ∴，， ∴，， ∴所求方程为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求代数式的值，提公因式法因式分解．若，是一元二次方程的两根时，，．利用一元二次方程的根与系数的关系求得和的值，并将其代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ∴ ． 故答案为：． 15．8 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、方程的解的定义等知识点，灵活运用一元二次方程根与系数的关系以及方程的解的定义是解题的关键． 根据根与系数的关系可得以及方程解的定义可得，然后再对变形后代入计算即可． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：8． 16．13 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，再根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 当时，三边为3，4，6，能组成三角形， ∴这个三角形的周长为； 当时，三边为2，3，6，不能组成三角形． 故答案为：13． 17．(1)，； (2)，； (3)，； (4)无解 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特点选用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解方程是解题的关键． （1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可； （3）运用公式法解一元二次方程即可； （4）运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 解得：，； （2）解： 解得：，； （3）解： ， 解得：，； （4）解： ， ∴方程无解． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可； （2）当边长为2的边为腰时，则可知方程有一个根为2，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为2的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：当腰长为2时，则可知方程有一个实数根为2， ∴，解得， ∴方程为，解得或， ∴三角形的三边长为，满足题意， ∴三角形的周长为； 当底边长为2时，则可知方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 方程为，解得， ∴三角形的三边长为，，不满足题意． 综上，的周长为． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式的意义可得，然后判断即可求解； （2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案． 【详解】（1）证明：根据题意，得 ， 即， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ， 或， ∴，， ∵方程有一个根为负数， ∴， ∴． 20．(1) (2)2 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出k的取值范围； （2）首先判断出两根均大于0，然后去掉绝对值，进而得到，结合k的取值范围解方程即可． 【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵， ∴． 21．(1)这四个连续的正整数为，，，； (2)的值为． 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是正确理解“换元法”． （1）设这四个连续的正整数为，，，，，根据题意列方程，用换元法求解即可； （2）设，根据题意列方程，用换元法求解即可． 【详解】（1）解：设这四个连续的正整数为，，，，为正整数， 根据题意可得， ∴， 设，，则， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴，，， 答：这四个连续的正整数为，，，． （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：的值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$