第2章 函数（复习讲义）数学北师大版2019必修第一册

第2章 函数（复习讲义） 1.深刻理解函数是描述客观世界变量间依赖关系的重要数学模型，掌握函数的定义（集合对应观点）、定义域、值域等核心概念. 2.掌握函数表示法：学会运用解析法、列表法、图象法三种表示方法来表示函数，理解分段函数的概念及应用. 3.掌握函数单调性与最值的判断与求解方法；理解函数奇偶性的定义与图象特征； 4.了解简单幂函数（如 y=x,y=x2,y=x3,y=x-1 等）的图象和性质. 5.数学应用：能够识别和分析生活中的变量关系，并运用函数模型解决简单的实际问题. 6.通过经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，发展学生的数学抽象和概括能力；通过绘制函数图象、分析图象特征，培养学生的数形结合思想与直观想象能力；在探究函数单调性、奇偶性等性质的过程中，学习用代数运算和推理证明函数性质，培养逻辑推理和数学运算的核心素养. ●一、生活中的变量关系 分段函数：对于x的不同取值，y有着不同的对应关系．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． ●二、函数 （1） 函数概念： 1.给定实数集R中的两个非空数集A与B，如果存在一个对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A x称为自变量，与x对应的y称为函数值. 2.定义域：自变量的取值范围（即集合A）； 3.值域：所有函数值组成的集合{y| y＝f(x)，x∈A }．显然，值域是集合B的子集． 4.相同的函数（同一函数）：两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的一个值，两个函数表达式表示得到的函数值相等） （二）函数的表示方法： 1.表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 2.分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． ●三、函数的单调性和最值 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么称函数f(x)在定义域上是增函数,也说在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么称函数f(x)在定义域上是减函数,也说在区间I上是减函数 单调区间 、I是y＝f(x)的增区间 、I是y＝f(x)的减区间 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2．证明函数单调性的定义法： 3．函数的最值 （1）最大值：设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为； （2）最小值：设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为. （3）最值：函数的最大值和最小值统称为最值. ●四、 函数的奇偶性与简单的幂函数 （1） 函数的奇偶性： 1.函数的奇偶性及函数图象的对称性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有 并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 2. 函数的奇偶性：当函数是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性.奇函数、偶函数的定义域均关于原点对称． 如（-∞，+∞），（-a，a）,[-a,a]（a＞0）. （2） 简单幂函数的图象和性质： 1.幂函数的定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，指数α为常数. 2.幂函数的图象和性质： （1）常见的5种幂函数的图象 （2）常见的5种幂函数的性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 题型一 函数关系的判断 【例1】（25-26高一上·上海·开学考试）下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则（　　） A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 【变式1-2】（19-20高一·全国·课后作业）以下形式中，不能表示“是的函数”的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求函数值 【例2】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【变式2-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 【变式2-2】（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 题型三 求函数定义域 【例3】（25-26高一上·全国·课前预习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025高一上·全国·专题练习）下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ． 题型四 求函数的值域 【例4】（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【变式4-1】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 题型五 根据函数定义域、值域、函数值求参数 【例5】（2022·浙江温州·三模）已知函数，若，则实数的值为 ． 【变式5-1】（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）设函数，若，则实数的值为 . 【变式5-2】（15-16高三上·江西宜春·阶段练习）若函数的定义域和值域都为，则的值是 ． 题型六 判断、证明函数的单调性 【例6】（25-26高一上·全国·随堂练习）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 【变式6-1】（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）根据定义证明函数在区间上单调递增. 题型七 确定函数的单调区间 【例7】（24-25高一上·江苏·阶段练习）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的单调递减区间为 . 题型八 应用函数单调性求最值（值域） 【例8】（20-21高一·江苏·课后作业）如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·全国·单元测试）函数在上的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【变式8-2】（25-26高一上·全国·单元测试）函数在区间上的值域为 ． 题型九 函数的奇偶性及应用 【例9】（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式9-1】（25-26高一上·全国·单元测试）函数在上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 题型十 幂函数的解析式与求值 【例10】（25-26高一上·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 【变式10-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则 ． 【变式10-2】（25-26高一上·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 题型十一 幂函数的定义域问题 【例11】（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 题型十二 幂函数相关值域问题 【例12】（20-21高三下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【变式12-1】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 【变式12-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 题型十三 幂函数的图象及应用 【例13】（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高一上·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 【变式13-2】（24-25高一上·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 题型十四 幂函数图象过定点问题 幂函数相关定义域问题 【例14】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【变式14-1】（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【变式14-2】（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 题型十五 幂函数单调性问题 【例15】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知在上是减函数，则的取值范围是 . 【变式15-1】（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【变式15-2】（22-23高一上·吉林·期末）幂函数的图像过点，则它在上的最大值为（    ） A． B．－1 C．1 D．－3 题型十六 幂函数奇偶性问题 【例16】（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【变式16-1】（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【变式16-2】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知，且，则 ． 题型十七 根据函数的单调性求参数 【例17】（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【变式17-2】（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 题型十八 根据函数的奇偶性求参数 【例18】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知幂函数是定义域上的奇函数，则（   ） A． B．或3 C． D．3 【变式18-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数为偶函数，则（   ） A．或2 B．2 C． D．1 【变式18-2】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 题型十九 应用函数单调性解不等式 【例19】（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式19-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式19-2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 题型二十 应用函数单调性比较大小 【例20】（22-23高一上·北京·期中）已知函数，若，比较： （填“=、>、<、、”） 【变式20-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式20-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 题型二十一 函数的单调性、奇偶性的综合问题 【例21】（23-24高一上·广东江门·期中）已知函数(其中为常数)的图象经过两点. (1)求的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)用定义证明函数在区间上单调递增. 【变式21-1】（多选）（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【变式21-2】（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 基础巩固通关测 1．（25-26高一上·全国·开学考试）下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 5．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 6．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 7．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）已知函数若存在最小值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（多选）幂函数满足时，，则的值可以是（   ） A． B．3 C． D． 11．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在区间上的值域为，则 ． 12．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 ． 能力提升进阶练 13．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 14．（24-25高一上·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 15．（25-26高一上·全国·期末）已知奇函数，且． (1)求的解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递减． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 17．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若，用定义法证明函数在上单调递增． 18．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)求出的值域． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 20．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数为幂函数，且满足. (1)求实数的值； (2)若函数，其定义域为. ①证明：在上为减函数； ②求使不等式成立的实数的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 函数（复习讲义） 1.深刻理解函数是描述客观世界变量间依赖关系的重要数学模型，掌握函数的定义（集合对应观点）、定义域、值域等核心概念. 2.掌握函数表示法：学会运用解析法、列表法、图象法三种表示方法来表示函数，理解分段函数的概念及应用. 3.掌握函数单调性与最值的判断与求解方法；理解函数奇偶性的定义与图象特征； 4.了解简单幂函数（如 y=x,y=x2,y=x3,y=x-1 等）的图象和性质. 5.数学应用：能够识别和分析生活中的变量关系，并运用函数模型解决简单的实际问题. 6.通过经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，发展学生的数学抽象和概括能力；通过绘制函数图象、分析图象特征，培养学生的数形结合思想与直观想象能力；在探究函数单调性、奇偶性等性质的过程中，学习用代数运算和推理证明函数性质，培养逻辑推理和数学运算的核心素养. ●一、生活中的变量关系 分段函数：对于x的不同取值，y有着不同的对应关系．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． ●二、函数 （1） 函数概念： 1.给定实数集R中的两个非空数集A与B，如果存在一个对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A x称为自变量，与x对应的y称为函数值. 2.定义域：自变量的取值范围（即集合A）； 3.值域：所有函数值组成的集合{y| y＝f(x)，x∈A }．显然，值域是集合B的子集． 4.相同的函数（同一函数）：两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的一个值，两个函数表达式表示得到的函数值相等） （二）函数的表示方法： 1.表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 2.分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． ●三、函数的单调性和最值 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么称函数f(x)在定义域上是增函数,也说在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么称函数f(x)在定义域上是减函数,也说在区间I上是减函数 单调区间 、I是y＝f(x)的增区间 、I是y＝f(x)的减区间 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2．证明函数单调性的定义法： 3．函数的最值 （1）最大值：设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为； （2）最小值：设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为. （3）最值：函数的最大值和最小值统称为最值. ●四、 函数的奇偶性与简单的幂函数 （1） 函数的奇偶性： 1.函数的奇偶性及函数图象的对称性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有 并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 2. 函数的奇偶性：当函数是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性.奇函数、偶函数的定义域均关于原点对称． 如（-∞，+∞），（-a，a）,[-a,a]（a＞0）. （2） 简单幂函数的图象和性质： 1.幂函数的定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，指数α为常数. 2.幂函数的图象和性质： （1）常见的5种幂函数的图象 （2）常见的5种幂函数的性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 题型一 函数关系的判断 【例1】（25-26高一上·上海·开学考试）下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义，结合各个选项的图象，即可求解. 【详解】根据函数定义，在自变量的取值范围内，任意的取值，有且只有一个值与之对应， 从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点， 对于A、B、C三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线， 与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于D选项，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点， 从而不能表示是的函数； 故选：D． 【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则（　　） A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 【答案】A 【分析】影响小麦产量的因素有种子、施肥量、水、日照时间等，可判断得答案. 【详解】解：小麦的总产量与种子、施肥量、水、日照时间等因素有相关关系，但不一定是函数关系. 故选：A. 【变式1-2】（19-20高一·全国·课后作业）以下形式中，不能表示“是的函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，判断出C项中不满足一个对应唯一的一个，从而得到结果. 【详解】根据函数的定义，每一个自变量的值，都有唯一确定的值与之对应， 选项C中，某些的值，有两个值与之对应，不符合函数的定义， 所以正确选项为C. 故选：C. 题型二 求函数值 【例2】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】将自变量的值代入函数解析式，求值即可得到答案. 【详解】，所以， 故选：D. 【变式2-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 【答案】B 【分析】代入运算得解. 【详解】. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的分段函数，分段判断代入求值. 【详解】依题意，. 故选：B 题型三 求函数定义域 【例3】（25-26高一上·全国·课前预习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有意义，列出不等式组即可. 【详解】由题可得且，则且， 故函数的定义域为. 故选：B. 【变式3-1】（2025高一上·全国·专题练习）下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比较两个函数的定义域和解析式是否相等，判断即可。 【详解】对于A：的定义域为的定义域为，A中两个函数不表示同一个函数； 对于B：两个函数的对应关系不一致，中两个函数不表示同一个函数； 对于C：与，解析式相同，且两个函数的定义域均为，中两个函数表示同一个函数； 对于D：两个函数的定义域不一致，中两个函数不表示同一个函数； 故答案为：C. 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型四 求函数的值域 【例4】（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【变式4-1】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可. 【详解】定义域是，值域是， 对于A：定义域是，定义域不同，A选项错误； 对于B：值域是，值域不同，B选项错误； 对于C：定义域是，定义域不同，C选项错误； 对于D：定义域是，值域是，解析式可以化成相同，D选项正确； 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 题型五 根据函数定义域、值域、函数值求参数 【例5】（2022·浙江温州·三模）已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】按照从内到外的顺序求，并根据的取值分类讨论函数的解析式，求解即得. 【详解】①当，即时，，由解得（舍）， ②当，即时，， （Ⅰ）若，即时，有，解得； （Ⅱ）若时，即时，有方程无解. 综上，． 故答案为： 【变式5-1】（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）设函数，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】代入即可求解. 【详解】由可得，解得， 故答案为： 【变式5-2】（15-16高三上·江西宜春·阶段练习）若函数的定义域和值域都为，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据为一次函数列式计算即可. 【详解】由题意知为一次函数，则 所以. 故答案为：. 题型六 判断、证明函数的单调性 【例6】（25-26高一上·全国·随堂练习）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 【答案】在上是增函数，证明见解析 【分析】先利用特殊值法猜想的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证. 【详解】对于， 令，得， 故猜想在上是增函数，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 因此在上是增函数. 【变式6-1】（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】 因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 【变式6-2】（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）根据定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】证明见解析 【分析】利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证. 【详解】证明：，，且， ， ，，，， 则，即， 所以函数在区间上单调递增. 题型七 确定函数的单调区间 【例7】（24-25高一上·江苏·阶段练习）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将写成分段函数判断即可. 【详解】，故单调增区间是. 故选：C 【变式7-1】（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 【变式7-2】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用反比例函数单调性直接求得答案. 【详解】函数是反比例函数，其单调递减区间是. 故答案为： 题型八 应用函数单调性求最值（值域） 【例8】（20-21高一·江苏·课后作业）如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数在区间上的单调性，即可得到结果. 【详解】，开口向上，对称轴为直线， 在区间上单调递增， ， 时，的值域是. 故选：C 【变式8-1】（25-26高一上·全国·单元测试）函数在上的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由对勾函数的单调性求解. 【详解】由对勾函数的单调性知, 函数在上单调递增， 所以． 故选：B 【变式8-2】（25-26高一上·全国·单元测试）函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 题型九 函数的奇偶性及应用 【例9】（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 【变式9-1】（25-26高一上·全国·单元测试）函数在上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点坐标判断即可. 【详解】令，的定义域为， ， 则是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项； 又，则排除选项A. 故选：B. 【变式9-2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质可知，再利用时，的解析式求出即可． 【详解】∵为偶函数， ∴， ∵当时，， ∴， 故． 故答案为：2． 题型十 幂函数的解析式与求值 【例10】（25-26高一上·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 【答案】64 【分析】由题意求得，代入即可得解. 【详解】设，由，得，解得，所以，所以． 故答案为：64. 【变式10-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】将点代入幂函数解析式求解即可. 【详解】因为是幂函数，图象经过点，设， 则，解得，故, 故答案为： 【变式10-2】（25-26高一上·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【答案】16 【分析】根据幂函数的概念及性质，先确定幂函数的解析式，再求的值. 【详解】因为点为第四象限的点，所以幂函数的图象不过点. 设幂函数，其图象经过点和， 所以，解得，所以. 所以. 故答案为：16. 题型十一 幂函数的定义域问题 【例11】（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 【变式11-1】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B 【变式11-2】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 题型十二 幂函数相关值域问题 【例12】（20-21高三下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解. 【详解】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： 【变式12-1】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 【答案】 【分析】设，由可得，将求函数在上的值域转化为求二次函数在上的值域来解决. 【详解】由， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故函数的值域为. 故答案为：. 【变式12-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质一一验证即可. 【详解】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 当时,,其定义域为R,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为. 故答案为:. 题型十三 幂函数的图象及应用 【例13】（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 【变式13-1】（24-25高一上·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论. 【详解】若的图象不过原点，A错误； 对于幂函数，当时，恒成立，因此函数图象不过第四象限，B错误； 当时，的定义域为，且在上单调递增，为非奇非偶函数，C正确； 当时，的图象过第一、三象限，D错误． 故选：C. 【变式13-2】（24-25高一上·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论. 【详解】若的图象不过原点，A错误； 对于幂函数，当时，恒成立，因此函数图象不过第四象限，B错误； 当时，的定义域为，且在上单调递增，为非奇非偶函数，C正确； 当时，的图象过第一、三象限，D错误． 故选：C. 题型十四 幂函数图象过定点问题 幂函数相关定义域问题 【例14】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 【变式14-1】（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 【变式14-2】（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 题型十五 幂函数单调性问题 【例15】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】考虑每段范围上函数为减函数，再考虑分段处的高低，从而可得的取值范围. 【详解】因为在上是减函数， 所以，即， 解得. 故答案为：. 【变式15-1】（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 【变式15-2】（22-23高一上·吉林·期末）幂函数的图像过点，则它在上的最大值为（    ） A． B．－1 C．1 D．－3 【答案】C 【分析】 设出幂函数的解析式，待定系数法求出，结合函数的单调性，求出最大值. 【详解】设幂函数，将代入，得：， 解得：， 故，它在上单调递减，故当时，取得最大值， . 故选：C 题型十六 幂函数奇偶性问题 【例16】（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】根据函数为幂函数及函数为偶函数，求出，从而代入求值即可. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故. 故答案为：4 【变式16-1】（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以，所以，所以， 所以，故. 故选：D 【变式16-2】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】设，证明函数为奇函数，结合奇函数性质可得，由此可求结论. 【详解】设，又， 所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为奇函数，故， 所以，又， 所以. 故答案为：. 题型十七 根据函数的单调性求参数 【例17】（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式17-1】（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与的关系即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上， 所以函数在上单调递增， 因为函数在区间上单调递增， 所以， 解得. 故答案为：. 【变式17-2】（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用单调性的定义来进行判断，结合分离参数，即可求出参数范围. 【详解】 对任意，都有， 即成立，所以，即实数的取值范围为． 故答案为： 题型十八 根据函数的奇偶性求参数 【例18】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知幂函数是定义域上的奇函数，则（   ） A． B．或3 C． D．3 【答案】D 【分析】根据和函数为奇函数，可求的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以，所以，或. 当时，定义域为，为非奇非偶函数，故不合题意； 当时，为奇函数，故满足题意. 故选：D. 【变式18-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数为偶函数，则（   ） A．或2 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】因为幂函数为偶函数， 所以且为偶数， 所以. 故选：. 【变式18-2】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 题型十九 应用函数单调性解不等式 【例19】（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 【变式19-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 【变式19-2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B. 题型二十 应用函数单调性比较大小 【例20】（22-23高一上·北京·期中）已知函数，若，比较： （填“=、>、<、、”） 【答案】 【分析】法一：利用作差法即可得解； 法二：利用函数的单调性亦可得解. 【详解】法一：因为， 所以， 因为，所以， 所以，即. 法二：因为， 所以在上单调递减， 又因为，所以. 故答案为：. 【变式20-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 【变式20-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以． 题型二十一 函数的单调性、奇偶性的综合问题 【例21】（23-24高一上·广东江门·期中）已知函数(其中为常数)的图象经过两点. (1)求的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)用定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】(1) (2)函数是奇函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）将点坐标代入得到方程组，求出的值； （2）利用函数的奇偶性的定义求证； （3）利用单调性的定义求证. 【详解】（1） ∵函数的图象经过两点， ∴，解得； （2）函数是奇函数.证明如下： 由（1）知，，函数的定义域为. ∵， ∴函数是奇函数. （3）任取，则， ∵，∴， ∴，即， ∴在区间上单调递增. 【变式21-1】（多选）（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】取特值代入排除A项，利用函数的奇偶性定义判断B项；利用函数的单调性定义判断C，D两项. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，因函数的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数，B正确； 对于C，任取，， 因，故，即在上单调递减，故C正确； 对于D，任取，， 因，故，即在上单调递增，故D正确. 故选：BCD. 【变式21-2】（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）分和，不同时为0两种情况讨论可得结论； （2）由已知得，分和两种情况讨论，当时，利用单调性的定义可得函数在上单调递增. 【详解】（1）当时，既是奇函数也是偶函数； 当，不同时为0时，是奇函数，证明如下： 函数的定义域为，对于，都有， 且， 故为奇函数． 综上：当时，既是奇函数也是偶函数；当，不同时为0时，是奇函数. （2）当时，． 当时，在上无单调性； 当时，任取，，且， 则， ，，且， ，，． 若，则，即， 在上单调递增； 若，则，即， 在上单调递减． 基础巩固通关测 1．（25-26高一上·全国·开学考试）下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义逐项分析即可判断. 【详解】对于A，对于变量的每一个值，变量不是唯一的值与它对应，故y不是x的函数，符合题意； 对于B，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于C，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于D，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别判断函数的单调性即可． 【详解】为反比例函数，在上单调递减； 为一次函数，在上单调递减； 为开口向下的二次函数，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 故选：D 3．（25-26高一上·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值. 故选：B. 5．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】数形结合，画出函数的图象即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象如下：    由图可知，的最小值是. 故选：C 6．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可. 【详解】由题意可得解得且， 故的定义域为且， 故选：C 7．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ， 解得. 故选：A. 8．（2026高三·全国·专题练习）已知函数若存在最小值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当时，， 故当时，有最小值为； 当时，单调递减，所以，由题意存在最小值， 则，解得，即c的最大值为. 故选：A. 9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可. 【详解】对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确， 对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确， 由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误； 由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．. 故选：ABD. 10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（多选）幂函数满足时，，则的值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】BC 【分析】根据题中条件，确定幂函数在上单调递增，进而可得结果. 【详解】因为幂函数满足时，， 所以幂函数在上单调递增， 因此，故AD错，BC正确； 故选：BC 11．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在区间上的值域为，则 ． 【答案】1 【分析】根据值域判断函数单调性，然后可列方程求解. 【详解】由题意得，且在上的值域为， 所以，在上单调递减，即，故． 故答案为：1 12．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意作出示意图，结合图形可求不等式的解集. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，， 作出示意图如图所示：    由图形可知满足不等式的的取值范围是. 故答案为：. 能力提升进阶练 13．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据奇函数定义即可得证； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因的定义域为. 对于任意，都有，且， 故是奇函数. （2）已知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 14．（24-25高一上·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式求出，得解； （2）问题转化为恒成立，令，求出的最小值得解. 【详解】（1）由题意可得，，. （2）由（1）可得，恒成立，， 令，，， 实数的取值范围为. 15．（25-26高一上·全国·期末）已知奇函数，且． (1)求的解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递减． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用函数的奇偶性及给定的函数值求出即可. （2）利用减函数的定义推理证明即得. 【详解】（1）函数的定义域是， 由为奇函数，得，恒成立， 即，即，而，因此， 则，而，即，解得， 所以的解析式. （2）任意，且， 则 由，得，，， 因此，即， 所以在上单调递减. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用定义证明减函数； （2）由单调性求值域. 【详解】（1）任取，且， 则， 又因为，且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数． （2）由（1）知函数在区间上是减函数，又， 所以函数在区间上的值域为． 17．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若，用定义法证明函数在上单调递增． 【答案】(1)实数的值为 (2)证明见解析. 【分析】（1）由偶函数的性质可得，代入化简后即可求解. （2）由函数单调性的定义，设，通过作差证明，即可得证. 【详解】（1）由已知函数在上是偶函数， 则有，即， 即，即， 又时均成立，解得. 于是实数的值为. （2）由已知得，解出，则. 证明如下： 任取， 则有， 因为，所以， 所以，即. 故函数在上单调递增. 18．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)求出的值域． 【答案】(1) (2)单增区间为，，单减区间为，. (3) 【分析】（1）令求出，再根据偶函数的定义即可； （2）根据二次函数的性质得出在上的单调性，再结合偶函数的性质即可； （3）根据二次函数的单调性以及偶函数的性质可得. 【详解】（1）若，则，则， 因是偶函数，则， 则. （2）时，的图象开口朝上且对称轴为， 则的单增区间为，单减区间为， 因是偶函数，则的单增区间为，， 单减区间为，. （3）由的单调性以及偶函数的性质可知，， 故的值域为    19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）对于给定的函数关系式赋值代入计算即得； （2）根据函数的单调性的定义，作差比较与的大小，此时需构造，利用题设性质证得即可． 【详解】（1）由题意，对任意的实数，都有， 令，则，所以． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 因，则，故， 所以，即， 所以在上单调递增． 20．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数为幂函数，且满足. (1)求实数的值； (2)若函数，其定义域为. ①证明：在上为减函数； ②求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质得解； （2）①利用单调性的定义证明； ②利用单调性解不等式. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 又因为，所以为奇函数，故. （2）①证明：由（1）知，则， 设， 则， 因为，所以，所以，故. 所以在上为减函数. ②因为在上为减函数，其定义域为， 所以等价于解得， 所以实数的取值范围为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$