第三单元：角的度量（知识清单）数学人教版四年级上册

人教版四年级数学上册第三单元：角的度量（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：线的认识 1、线段、直线、射线的认识和特征 2、数线段的方法 （1）定义法：从基本线段数起；以某一点为左端点数起。 （2）公式法： ①加法公式：首先数出线段由几个端点，然后从1＋2＋3＋……＋（n－1），其中n代表端点数量。 ②乘法公式：n×（n－1）÷2（其中n代表端点数量）。 【名师点拨】 （1）区分线段、直线、射线：线段有2个端点且可测量，直线无端点、射线1个端点且均不可测量，避免混淆。 （2）两点确定一条直线的应用：实际生活中“钉木条用2个钉子固定”“排队站成一条直线”均基于此性质，需结合实例理解，避免死记概念。 知识点02：角的认识 1、角的认识 （1）定义：从一点引出的两条射线所组成的图形，叫做角。 （2）本质：两条射线的“公共端点”是角的顶点，两条射线是角的两条边，角的大小与两条边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。 2、角的各部分名称 （1）顶点：两条射线的公共端点； （2）边：组成角的两条射线。 3、角的表示方法：角通常用符号“∠”来表示，不同的角可以用数字区分，如∠1、∠2,但要在相应的图中表明。 【名师点拨】 （1）“两条射线”的核心：角的两条边必须是射线（可无限延伸），不能是线段。 （2）角的大小与边的长短无关：即使角的两条边画得长或短，只要张开程度不变，角的大小就不变，避免被“边的长度”误导。 （3）公共端点的必要性：两条射线必须有且只有一个公共端点（顶点），若两条射线无公共端点或有多个公共端点，均不能组成角。 知识点03：角的度量 1、角的计量单位 （1）单位名称：角的计量单位是“度”，用符号“°”表示（如“30 度”记作“30°”）。 （2）单位定义：将半圆（或圆）平均分成180（或360）等份，每一份所对的角的大小就是1 度（1°）。 2、角的度量工具：量角器。 3、角的度量方法 核心是“两对齐，一读数”，步骤如下： （1）点对齐：将量角器的中心点与角的顶点完全对齐； （2）线对齐：将量角器的0°刻度线与角的一条边完全对齐（这条边作为“基准边”）； （3）读刻度：看角的另一条边所对应的量角器刻度，这个刻度值就是角的度数（注意区分内圈和外圈刻度）。 【名师点拨】 （1）量角器内圈与外圈刻度的区分：量角时需根据角的“开口方向”选择刻度（开口向右，看内圈；开口向左，看外圈），避免读错刻度。 （2）中心点与 0°刻度线的作用：中心点对应角的顶点，0°刻度线对应角的一条边，二者缺一不可，不能用“量角器的边缘”对齐顶点或边。 （3）刻度的选择技巧：若基准边对齐的是“内圈0°”，则读内圈刻度；若对齐的是“外圈0°”，则读外圈刻度。 知识点04：角的分类 1、锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角； 2、1平角＝2直角，1周角＝2平角＝4直角。 【名师点拨】 （1）平角是“角”（有顶点和两条边），不是“一条直线”（直线无顶点）。 （2）周角是“角”（有顶点和两条边），不是“一条射线”（射线只有一条边）。 （3）钝角的范围：钝角必须“大于 90°且小于 180°”，不能说“大于 90°的角是钝角”。 知识点05：画角 画角的方法： （1）画一条射线：先画一条射线OA，使端点O在左侧（作为角的一条边和顶点）； （2）量角器对齐：将量角器的中心点与射线的端点O对齐，量角器的0°刻度线与射线OA 对齐； （3）找刻度点：在量角器内圈60°刻度线的位置，用铅笔点一个点B； （4）画另一条射线：取下量角器，从顶点O出发，经过点B画一条射线OB； （5）标注角：在角的内部标注角度（60°）和角的符号（∠AOB=60°）。 【名师点拨】特殊角的简便画法：画直角（90°）可借助三角尺的直角边，画平角（180°）可借助直尺画直线并标注顶点，提高画图效率，但需确保角度准确。 考点1：线段、直线、射线 【典型例题1】“有始有终”意思是有开头也有收尾，做事能坚持到底。在数学上可以用这个词表示（     ）的特征。 A．射线 B．直线 C．线段 【答案】C 【分析】根据直线、射线和线段的含义：射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；线段有两个端点，进而解答即可。 【详解】“有始有终”意思是有开头也有收尾，做事能坚持到底。根据直线、射线和线段的含义：射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；线段有两个端点，所以在数学上可以用这个词表示线段的特征。 故答案为：C 【典型例题2】下图中，共有（     ）条线段。    A．1 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】线段有两个端点，以点A为首端的线段有3条，以点B为首端的线段有2条，以点C为首端的线段有1条，依此计算出线段的总条数即可选择。 【详解】3＋2＋1＝6（条），即图中共有6条线段。 故答案为：C 【练习1】 上图中，（ ）是直线，（ ）是射线，（ ）是线段。 【答案】 ② ④ ① 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。把线段的两端无限延长，得到一条直线，直线没有端点。把线段的一端无限延长，得到一条射线，射线有一个端点。 【详解】上图中，②是直线，④是射线，①是线段。 【练习2】下列说法不正确的是（     ）。 A．射线可以向一端无限延伸 B．线段可以量出长度 C．直线比射线长 D．直线没有端点 【答案】C 【分析】线段有两个端点，不可以无限延长，可以量出长度；射线有一个端点，直线没有端点，射线和直线可以无限延长，不能量出长度。据此解答即可。 【详解】A．射线可以向一端无限延伸，原说法正确； B．线段可以量出长度，原说法正确； C．射线和直线不能量出长度，原说法错误； D．直线没有端点，原说法正确。 故答案为：C 考点2：角的认识 【典型例题】下图中有（     ）个角。 A．5 B．6 C．10 D．15 【答案】D 【分析】只含一个角的角有5个，由两个角拼成的角有4个，由三个角拼成的角有3个，由四个角拼成的角有2个，由五个角拼成的角有1个，据此解答。 【详解】 ＝（5＋4）＋（3＋2＋1） ＝9＋6 （个） 所以有15个角。 故答案为：D 【练习1】一个正方形有4个角，沿直线锯掉一个角后，最多还有（ ）个角，最少还有（ ）个角。 【答案】 5 3 【分析】如果从两个角开始锯掉一个角，那么就剩下三个角，如果从两个角的一旁锯掉一个角，就剩下（4＋1）个角，如果一头是从一个角开始，从一边结束，就会剩下四个角。 据此解答。 【详解】 4＋1＝5（个） 根据图和分析可知：一个正方形有4个角，沿直线锯掉一个角后，最多还有5个角，最少还有3个角。 【练习2】在一个4倍的放大镜下看一个45°的角，看到的角是（     ）。 A．45° B．90° C．135° D．180° 【答案】A 【分析】用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变，据此解答。 【详解】在一个4倍的放大镜下看一个45°的角，看到的角是45°。 故答案为：A 考点3：角的度量 【典型例题1】小明在用量角器测量一个钝角的度数时，角的一条边与0刻度线重合，读数时误把内圈刻度读成外圈刻度，读出的度数是30°，则正确的度数是（ ）°。 【答案】150 【分析】根据量角器的构造即可求解，注意外圈刻度与内圈刻度的和是180°，误把内圈刻度读成外圈刻度，读出的度数是30°，因此用180°减去30°，就是正确的度数；据此解答即可。 【详解】180°－30°＝150° 则正确的度数是150°。 【典型例题2】亮亮用破损的量角器度量∠1（如图），∠1的度数是（     ）。 A．100° B．80° C．60° D．40° 【答案】B 【分析】由题意得，∠1的一条边对着刻度40°，另一条边对着刻度120°，求∠1的度数，直接用120°减去40°即可解答。 【详解】120°－40°＝80°，即∠1的度数是80°。 故答案为：B 【练习1】小华度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“120”，另一条边对着外圈刻度“40”，这个角的度数是（ ）。 【答案】80°/80度 【分析】用量角器量角读度数的时候，先看量角器的中心点是否有对准角的顶点。根据题意，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“120”，另一条边对着外圈刻度“40”，可以得出角的度数用外圈刻度的120减去外圈刻度的40即可得出这个角的度数。 【详解】120°－40°＝80° 这个角的度数是80°。 【练习2】钟面上2时整，时针和分针组成的较小的角是（ ）°；钟面上4时整，时针和分针组成的较小的角是（ ）°。 【答案】 60 120 【分析】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；当钟面上2时整，时针指向2，分针指向12，时针与分针之间较小角有2个大格，夹角的度数是2×30°＝60°； 当钟面上4时整，时针指向4，分针指向12，时针与分针之间较小角有4个大格，夹角的度数是4×30°＝120°；据此解答即可。 【详解】据分析可知： 2×30°＝60° 4×30°＝120° 钟面上2时整，时针和分针组成的较小的角是60°；钟面上4时整，时针和分针组成的较小的角是120°。 考点4：角的分类 【典型例题1】两个角正好能拼成一个平角，如果其中一个角是锐角，则另外一个角是（     ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】C 【分析】大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，平角等于180°，两个角组成一个平角，其中一个角是锐角，则另一个角应大于90°，是一个钝角，据此解答即可。 【详解】两个角正好能拼成一个平角，如果其中一个角是锐角，则另外一个角是钝角。 故答案为：C 【典型例题2】将一张圆形纸片对折、对折、再对折，展开后折痕之间最小的夹角是（     ）。 A．45° B．90° C．120 【答案】A 【分析】每对折一次就用原来角的度数除以2得到新形成角的度数。可拿纸实际操作一下。 【详解】360°÷2÷2÷2 ＝180°÷2÷2 ＝90°÷2 ＝45° 将一张圆形纸片对折、对折、再对折，展开后折痕之间最小的夹角是45°。 故答案为：A 【练习1】把两个锐角拼在一起，拼成的角不可能是（     ）。 A．平角 B．锐角 C．直角 D．钝角 【答案】A 【分析】根据角的分类标准：0°＜锐角＜90°，直角＝90°，90°＜钝角＜180°，平角＝180°，我们采取举例的方法进行解答，先选出两个锐角，然后再进行计算，最后选择出答案即可。 【详解】A．平角不可能拼成，例如：89°＋89°＝178°； B．锐角可以拼成，例如：30°＋40°＝70°； C．直角可以拼成，例如：30°＋60°＝90°； D．钝角可以拼成，例如：65°＋80°＝145°； 由此可知，把两个锐角拼在一起，拼成的角不可能是平角。 故答案为：A 【练习2】钟面上4时整，时针和分针的夹角是（ ）角；再过2小时时针和分针的夹角是（ ）角。 【答案】 钝 平 【分析】已知钟面上有12个大格，每一份分针和时针的夹角是30°；4时整，分针指着12，时针指着4，时针和分针的夹角有4个大格，其度数是30°×4＝120°，根据大于90°小于180°的角是钝角可知，4时整，时针和分针的夹角是钝角；再过2小时，即4时＋2小时＝6时，分针指着12，时针指着6，这时分针和时针成一条直线，其夹角的度数为30°×6＝180°，根据角的两边成一条直线，这样的角叫平角，平角＝180°，再过2小时时针和分针的夹角是平角。 【详解】30°×4＝120° 所以，4时整，时针和分针的夹角是钝角； 4时＋2小时＝6时 30°×6＝180° 所以，再过2小时时针和分针的夹角是平角。 考点5：画角 【典型例题1】小亮想用一个破损的量角器画一个70°的角，他已经画好了一条边，请你在量角器上画出另外一条边。 【答案】见详解 【分析】根据题意，要画70°的角，以外圈的度数为准，量角器的中心已与顶点重合，已画好的边与140°刻度线重合；用140°减去70°，得到70°，找到外圈70°处，做标记点，然后以已画好的顶点为端点，通过刚标记点，再画一条射线，那么两条射线之间的夹角就是70°的角，据此解答。 【详解】根据分析可知，画图如下： 【典型例题2】用一副三角尺拼一个105°的角，下面哪种拼法是正确的？（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一副三角板中包含的角的度数有30°、45°（两个）、60°、90°（两个），如果把它们相加或相减后能得出的角都可以用一副三角板拼出，算出每个角的度数，判断即可。 【详解】A．60°＋45°＝105° B．30°＋45°＝75° C．90°＋60°＝150° D．30°＋90°＝120° 故答案为：A 【典型例题3】将长方形的一个角折叠后如图，已知∠2＝40°，∠1＝（     ）。 A．25° B．30° C．40° 【答案】A 【分析】折叠后∠1和原来被折起来地方的角度一样大，也就是2个∠1与1个∠2一起组成了1个直角，直角的度数是90°，据此用90°减去∠2的度数，再除以2即可求出∠1的度数。 【详解】（90°－40°）÷2 ＝50°÷2 ＝25° 则∠1＝25° 故答案为：A 【练习1】用一副三角尺不能直接拼出的角的度数是（     ）。 A．105° B．115° C．120° 【答案】B 【分析】一副三角尺由两个三角尺组成，一个三角尺的三个角分别是90°，45°，45°，另一个三角尺的三个角分别是90°，60°，30°。由题意得，将两个三角尺的角度相加或相减看能否得到选项中的角度即可。 【详解】A．60°＋45°＝105°，即105°的角可以用一副三角尺拼出。 B．115°的角无法通过一副三角尺拼出。 C．90°＋30°＝120°，即120°的角可以用一副三角尺拼出。 故答案为：B 【练习2】如图，一面镜子反射一条光线。已知∠2＝∠3，∠4＝140°，那么∠1＝（    ）。 A．40° B．80° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】解决此类问题时，要善于利用图中隐藏的特殊角（直角、平角、周角），以及它与各角之间的关系，利用已知角，求出未知角。 根据题图可知，∠3和∠4组成一个平角，则∠3＝180°－∠4。∠1＋∠2＝∠4，∠2＝∠3，则∠1＝∠4－∠2＝∠4－∠3。 【详解】∠3＝180°－∠4＝180°－140°＝40° ∠2＝∠3 ∠1＝∠4－∠3＝∠4－∠2＝140°－40°＝100° 故答案为：C 一、选择题 1．经过一点可以画（     ）条直线。 A．2 B．1 C．无数 【答案】C 【详解】根据题意作图如下： 由图可知，经过一点可以画无数条直线。 故答案为：C 2．如图，把长方形纸的一个角折起。这时∠1＋∠2＝（     ）。 A．60° B．90° C．120° 【答案】B 【分析】1平角＝180°，1直角＝90°；结合题意，长方形的每个角都是直角，而且折起来的角是直角，所以∠1、∠2和一个90°的角组成一个平角，则∠1＋∠2＝180°－90°；据此作答即可。 【详解】180°－90°＝90° 则∠1＋∠2＝90°。 故答案为：B 3．如下图，小明去学校上学，走（     ）号路最近。 A．① B．② C．③ 【答案】B 【分析】从小明家到学校所走的路线，可以看作是两点之间的连线，根据两点之间的距离可知：两点之间的连线中，线段最短；①号路是曲线，②号路是线段，③号路也是曲线，所以②号路最近。据此解答。 【详解】由分析知，小明去学校上学，走②号路最近。 故答案为：B 4．洋洋在纸上画了一个角，他说：“这个角比180°小，但比90°大。”洋洋画的角是一个（     ）角。 A．锐 B．直 C．钝 【答案】C 【分析】锐角是大于0°小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角；据此解答。 【详解】A．锐角大于0°，但比90°小，不符合题意； B．直角等于90°，不符合题意； C．钝角比180°小，但比90°大，符合题意； 所以洋洋画的角是一个钝角。 故答案为：C 5．把一个平角分成两个角，这时所成的角可能是（     ）。 ①一个钝角和一个锐角    ②两个锐角    ③两个钝角    ④两个直角 A．①② B．②③ C．①④ 【答案】C 【分析】1平角＝180°，锐角大于0°而小于90°，钝角大于90°而小于180°。 ①一个钝角与一个锐角的和有可能等于180°，如120°与60°的和是120°。 ②两个最大整度数的锐角和一定是小于180°的，如89°与89°的和。 ③两个最小整度数的钝角和一定是大于180°的，如91°与91°的和。 ④1直角＝90°，2个90°的和就是180°。 【详解】①120°＋60°＝180°，所以一个钝角和一个锐角是有可能的。 ②89°＋89°＝178°，两个锐角的和不可能是180°。 ③91°＋91°＝182°，两个钝角的和不可能是180°。 ④90°＋90°＝180°，两个直角的和是180°。 把一个平角分成两个角，这时所成的角可能是一个钝角和一个锐角，或两个直角。因此，①④说法正确。 故答案为：C 二、填空题 6．把下面各角认真分类，填在相应的方框里。 90°   28°   72°   106°   48°   138° 180°   16°   94°   360°   160°   60° 【答案】见详解 【分析】锐角是大于0°而小于90°的角；钝角是大于90°而小于180°的角，直角是90°的角；等于180°的角是平角；周角是360°的角；据此判断填写即可。 【详解】如下图： 7．量出下面各角的度数。 （ ）     （ ）        （ ） 【答案】 20° 50° 120° 【分析】根据角的度量方法：先把量角器的中心点与角的顶点重合，再把量角器的0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边指着的度数就是这个角的度数；注意角的第一条边与量角器哪一边的0°刻度线重合，读数时，就从那一边的0°刻度读起。据此解答。 【详解】根据分析，量出各角的度数如下： 8．下图所示量角器测量的角是（ ）度。 【答案】40 【分析】由图可知，角的一边指向30°的位置，另一边指向70°的位置，用70°减30°即可求出这个角的度数。 【详解】70°－30°＝40° 下图所示量角器测量的角是40度。 9．知∠1＝50°，那么∠2＝（ ），∠3＝（ ），∠4＝（ ）。 【答案】 50°/50度 130°/130度 130°/130度 【分析】根据题图可知，∠1和∠3组成一个平角，则∠3＝180°－∠1。∠2和∠3组成一个平角，则∠2＝∠1。∠1和∠4组成一个平角，则∠4＝∠3。 【详解】∠3＝180°－∠2＝180°－50°＝130° ∠2＝∠1＝50° ∠4＝∠3＝130°。 10．如图，用破损的量角器测量角的度数，量得这个角是（ ）°，它与（ ）°的角合在一起，就能拼成一个平角。 【答案】 30 150 【分析】观察这个量角器，这个角的两边分别在内圈刻度70°和40°的位置上，利用大度数减小度数即可得到角的度数；平角等于180°，用180°减去这个角的度数，即可求出这个角与多少度的角拼成一个平角。 【详解】70°－40°＝30° 180°－30°＝150° 用破损的量角器测量角的度数，可以量得这个角是30°，它与150°的角合在一起，就能拼成一个平角。 11．钟面上3时整，时针和分针形成（ ）角；6时整，时针和分针的夹角是（ ）°。 【答案】 直 180 【分析】钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；3时整，时针指向3，分针指向12，时针与分针之间相差3个大格，夹角为3×30°＝90°，是直角；6时整，时针指向6，分针指向12，时针与分针之间相差6个大格，夹角为6×30°＝180°；据此解答。 【详解】3×30°＝90° 6×30°＝180° 钟面上3时整，时针和分针形成直角；6时整，时针和分针的夹角是180°。 12．已知∠1与∠2组成的角是直角，∠1＝40°，那么∠2＝（ ）。 【答案】50° 【分析】1直角＝90°，用90°减∠1的度数即可求出∠2的度数。 【详解】∠2＝90°－∠1＝90°－40°＝50° 13．下图中，已知∠1＝43°，∠2＝（ ），∠3＝（ ）。 【答案】 47°/47度 133°/133度 【分析】由图可知，∠1和∠2组成直角，所以∠2＝90°－∠1，∠1已知，代入即可求出∠2的度数； 由图可知，∠3和∠2组成平角，所以∠3＝180°－∠2，代入已求出的∠2的度数，即可求出∠3的度数；据此解答。 【详解】∠1＋∠2＝90° ∠1＝43° 所以∠2＝90°－∠1 ＝90°－43° ＝47° ∠3＋∠2＝180° 所以∠3＝180°－∠2 ＝180°－47° ＝133° 即下图中，已知∠1＝43°，∠2＝47°，∠3＝133°。 14．在剪纸过程中，折叠是一种常见的手法，通过折叠能让图案连续对称。萱萱把一张圆形彩纸对折三次能得到一个（ ）°的角。 【答案】45 【分析】圆形彩纸对折一次后，圆周角被分成2份，每份180°，再对折一次，圆周角被分成4份，每份90°，再对折一次，圆周角被分成8份，每份45°，据此解答。 【详解】在剪纸过程中，折叠是一种常见的手法，通过折叠能让图案连续对称。萱萱把一张圆形彩纸对折三次能得到一个45°的角。 15．已知∠1＋∠2＝直角，∠2＋∠3＝平角，∠1＝56°，那么∠2＝（ ），∠3＝（ ）。 【答案】 34°/34度 146°/146度 【分析】直角是90°的角，所以∠1＋∠2＝90°，又因为∠1＝56°，所以∠2＝90°－56°＝34°； 平角是180°的角，所以∠2＋∠3＝180°，又因为∠2＝34°，∠3＝180°－∠2，代入数据即可解答。 【详解】因为∠1＋∠2＝90°，∠1＝56° 所以∠2＝90°－∠1 ＝90°－56° ＝34° 因为∠2＋∠3＝180°，∠2＝34° 所以∠3＝180°－∠2， ＝180°－34° ＝146° 三、判断题 16．3时半时，钟面上时针与分针所成的角是直角。（ ） 【答案】× 【分析】钟面上一圈为360°，被平均分成了12个大格，那么每一个大格的角度是。 3时半时，时针在3和4的正中间，分针指向6。此时时针和分针之间共有2个加上半个大格。2个大格的角度是，半个大格的角度是，它们所成角的度数是。算出角度再根据“锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°而小于180°的角。”判断钟面上时针与分针所成的角是什么角。 【详解】 因为，所以75°是锐角。原题说法错误。 故答案为：× 17．角的两条边叉开越大，角就越大。（ ） 【答案】√ 【分析】由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角。角的大小与边的长短无关，跟两边叉开的大小有关，叉开越大角的度数就越大；据此解答即可。 【详解】角的大小要看两条边夹角的大小，叉开越大角的度数就越大。 原题说法正确。 故答案为：√ 18．学生用的每块三角板都有一个角是直角，另外两个角都是锐角。（ ） 【答案】√ 【分析】一副三角板中，有两个三角形，一个三角形的三个角分别为90°、45°和45°。另一个三角形的三个角分别为90°、30°和60°。再根据小于90°的角是锐角，90°的角是直角，大于90°且小于180°的角是钝角，则三角形中均有一个直角和两个锐角。据此解答即可。 【详解】由分析可知，学生用的每块三角板都有一个角是直角，另外两个角都是锐角。原题说法正确。 故答案为：√ 19．用5倍的放大镜看一个20°的角，看到的角的度数应该是100°。（ ） 【答案】× 【分析】角的大小与角两边的长短无关，与角开叉的大小有关，用5倍放大镜看角，角两边的长度增大，但角开叉的大小没变，所以角的度数没变。 【详解】由分析可知，用5倍的放大镜看一个20°的角，看到的角的度数应该是20°。原题说法错误。 故答案为：× 20．芬芬在纸上画了一条8厘米长的直线。（ ） 【答案】× 【分析】直线没有端点，是无限长的，不可以测量出长度；线段有两个端点，可以测量出长度；依此即可判断。 【详解】芬芬在纸上画了一条8厘米长的线，这条线有具体的长度，所以这条线应为线段，而不是直线，故答案为：×。 四、作图题 21．按要求画图。 （1）画出射线OA。 （2）以射线OA为角的一条边，画一个50°的角。 【答案】见详解 【分析】（1）先找出两个点O和A，然后连接OA，以O为顶点画线超出点A即可； （2）点O与量角器中心重合，OA与量角器0刻度重合，标出50°位置并连接这个点与O点，然后标出角度即可。 【详解】 五、解答题 22．下面是一张长方形纸折起来以后形成的图形，已知∠1＝36°，求∠2。 【答案】18° 【分析】将长方形纸折起来后形成的两个角相等，即∠1＝∠3。∠1、∠2和∠3组成一个直角，则∠2＝90°－2×∠1。 【详解】∠2＝90°－2×∠1＝90°－2×36°＝90°－72°＝18° 23．如下图，已知∠1＝∠2，∠3＝120°，求∠1、∠2的度数。 【答案】∠1＝∠2＝30° 【分析】根据题图可知，∠1、∠2、∠3组成一个平角，则∠1＋∠2＝180°－∠3。因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠2＝（180°－∠3）÷2。 【详解】∠1＝∠2＝（180°－∠3）÷2＝（180°－120°）÷2＝60°÷2＝30° 24．图①中，用量角器量∠1的度数，∠1＝______°；请你用类似的方法在图②量角器中画一个50°的角。 【答案】100；见解析 【分析】（1）用量角器的圆点和角的顶点重合，30°刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度是130°，用130°减去30°就是该角的度数； （2）150°－100°＝50°，根据用量角器画角的方法，用量角器的圆点和角的顶点重合，100°刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的150°刻度线，据此画角即可。 【详解】（1）∠1＝130°－30°＝100° （2）画图如下： 25．下面图中的∠1与∠2是不是相等？说明理由。 【答案】∠1＝∠2；见详解 【分析】由图可知，∠1不管是加左边的角还是右边的角，都可以组成一个平角；∠2同样不管是加左边的角还是右边的角，都可以组成一个平角，因此∠1和∠2都等于180°减去旁边的角，据此即可得出结论。 【详解】∠1＝∠2，理由如下： 因为∠1＋∠3＝180° 所以∠1＝180°－∠3 因为∠2＋∠3＝180° 所以∠2＝180°－∠3 所以∠1＝∠2 26．如图，已知，求、、的度数。 【答案】50°；130°；50° 【分析】观察图可知：∠1＋∠2＝90°，为直角，已知∠1＝40°，所以∠2＝90°－∠1；∠3＋∠2＝180°，为平角，所以∠3＝180°－∠2；∠3＋∠4＝180°，为平角，所以∠4＝180°－∠3，据此解答即可。 【详解】如图，因为，∠1＋∠2＝90°所以，∠2＝90°－40°＝50°； ∠3＝180°－50°＝130°； ∠4＝180°－130°＝50°； 答：∠2的度数为50°，∠3的度数为130°，∠4的度数为50°。 27．如果两条平行线被一条直线所截（如图），会产生很多个有联系的角。 （1）请用量角器测量∠1、∠2，你发现了什么？ （2）根据上面得到的结论，观察∠3、∠5，通过推理说明∠3和∠5的关系。 【答案】（1）∠1＝∠2 （2）∠3＝∠5 【分析】（1）分别量出∠1、∠2的度数，再比较大小即可； （2）平角＝180°，∠1加∠3为平角，∠2加∠5为平角，根据平角的定义，再判断∠3、∠5的大小关系即可；据此解答。 【详解】（1）∠1＝150°，∠2＝150° 所以∠1＝∠2。 答：我发现了∠1＝∠2。 （2）因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠5＝180° 又因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠5。 答：∠3＝∠5。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版四年级数学上册第三单元：角的度量（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：线的认识 1、线段、直线、射线的认识和特征 2、数线段的方法 （1）定义法：从基本线段数起；以某一点为左端点数起。 （2）公式法： ①加法公式：首先数出线段由几个端点，然后从1＋2＋3＋……＋（n－1），其中n代表端点数量。 ②乘法公式：n×（n－1）÷2（其中n代表端点数量）。 【名师点拨】 （1）区分线段、直线、射线：线段有2个端点且可测量，直线无端点、射线1个端点且均不可测量，避免混淆。 （2）两点确定一条直线的应用：实际生活中“钉木条用2个钉子固定”“排队站成一条直线”均基于此性质，需结合实例理解，避免死记概念。 知识点02：角的认识 1、角的认识 （1）定义：从一点引出的两条射线所组成的图形，叫做角。 （2）本质：两条射线的“公共端点”是角的顶点，两条射线是角的两条边，角的大小与两条边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。 2、角的各部分名称 （1）顶点：两条射线的公共端点； （2）边：组成角的两条射线。 3、角的表示方法：角通常用符号“∠”来表示，不同的角可以用数字区分，如∠1、∠2,但要在相应的图中表明。 【名师点拨】 （1）“两条射线”的核心：角的两条边必须是射线（可无限延伸），不能是线段。 （2）角的大小与边的长短无关：即使角的两条边画得长或短，只要张开程度不变，角的大小就不变，避免被“边的长度”误导。 （3）公共端点的必要性：两条射线必须有且只有一个公共端点（顶点），若两条射线无公共端点或有多个公共端点，均不能组成角。 知识点03：角的度量 1、角的计量单位 （1）单位名称：角的计量单位是“度”，用符号“°”表示（如“30 度”记作“30°”）。 （2）单位定义：将半圆（或圆）平均分成180（或360）等份，每一份所对的角的大小就是1 度（1°）。 2、角的度量工具：量角器。 3、角的度量方法 核心是“两对齐，一读数”，步骤如下： （1）点对齐：将量角器的中心点与角的顶点完全对齐； （2）线对齐：将量角器的0°刻度线与角的一条边完全对齐（这条边作为“基准边”）； （3）读刻度：看角的另一条边所对应的量角器刻度，这个刻度值就是角的度数（注意区分内圈和外圈刻度）。 【名师点拨】 （1）量角器内圈与外圈刻度的区分：量角时需根据角的“开口方向”选择刻度（开口向右，看内圈；开口向左，看外圈），避免读错刻度。 （2）中心点与 0°刻度线的作用：中心点对应角的顶点，0°刻度线对应角的一条边，二者缺一不可，不能用“量角器的边缘”对齐顶点或边。 （3）刻度的选择技巧：若基准边对齐的是“内圈0°”，则读内圈刻度；若对齐的是“外圈0°”，则读外圈刻度。 知识点04：角的分类 1、锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角； 2、1平角＝2直角，1周角＝2平角＝4直角。 【名师点拨】 （1）平角是“角”（有顶点和两条边），不是“一条直线”（直线无顶点）。 （2）周角是“角”（有顶点和两条边），不是“一条射线”（射线只有一条边）。 （3）钝角的范围：钝角必须“大于 90°且小于 180°”，不能说“大于 90°的角是钝角”。 知识点05：画角 画角的方法： （1）画一条射线：先画一条射线OA，使端点O在左侧（作为角的一条边和顶点）； （2）量角器对齐：将量角器的中心点与射线的端点O对齐，量角器的0°刻度线与射线OA 对齐； （3）找刻度点：在量角器内圈60°刻度线的位置，用铅笔点一个点B； （4）画另一条射线：取下量角器，从顶点O出发，经过点B画一条射线OB； （5）标注角：在角的内部标注角度（60°）和角的符号（∠AOB=60°）。 【名师点拨】特殊角的简便画法：画直角（90°）可借助三角尺的直角边，画平角（180°）可借助直尺画直线并标注顶点，提高画图效率，但需确保角度准确。 考点1：线段、直线、射线 【典型例题1】“有始有终”意思是有开头也有收尾，做事能坚持到底。在数学上可以用这个词表示（     ）的特征。 A．射线 B．直线 C．线段 【典型例题2】下图中，共有（     ）条线段。    A．1 B．4 C．6 D．8 【练习1】 上图中，（ ）是直线，（ ）是射线，（ ）是线段。 【练习2】下列说法不正确的是（     ）。 A．射线可以向一端无限延伸 B．线段可以量出长度 C．直线比射线长 D．直线没有端点 考点2：角的认识 【典型例题】下图中有（     ）个角。 A．5 B．6 C．10 D．15 【练习1】一个正方形有4个角，沿直线锯掉一个角后，最多还有（ ）个角，最少还有（ ）个角。 【练习2】在一个4倍的放大镜下看一个45°的角，看到的角是（     ）。 A．45° B．90° C．135° D．180° 考点3：角的度量 【典型例题1】小明在用量角器测量一个钝角的度数时，角的一条边与0刻度线重合，读数时误把内圈刻度读成外圈刻度，读出的度数是30°，则正确的度数是（ ）°。 【典型例题2】亮亮用破损的量角器度量∠1（如图），∠1的度数是（     ）。 A．100° B．80° C．60° D．40° 【练习1】小华度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“120”，另一条边对着外圈刻度“40”，这个角的度数是（ ）。 【练习2】钟面上2时整，时针和分针组成的较小的角是（ ）°；钟面上4时整，时针和分针组成的较小的角是（ ）°。 考点4：角的分类 【典型例题1】两个角正好能拼成一个平角，如果其中一个角是锐角，则另外一个角是（     ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【典型例题2】将一张圆形纸片对折、对折、再对折，展开后折痕之间最小的夹角是（     ）。 A．45° B．90° C．120 【练习1】把两个锐角拼在一起，拼成的角不可能是（     ）。 A．平角 B．锐角 C．直角 D．钝角 【练习2】钟面上4时整，时针和分针的夹角是（ ）角；再过2小时时针和分针的夹角是（ ）角。 考点5：画角 【典型例题1】小亮想用一个破损的量角器画一个70°的角，他已经画好了一条边，请你在量角器上画出另外一条边。 【典型例题2】用一副三角尺拼一个105°的角，下面哪种拼法是正确的？（     ） A． B． C． D． 【典型例题3】将长方形的一个角折叠后如图，已知∠2＝40°，∠1＝（     ）。 A．25° B．30° C．40° 【练习1】用一副三角尺不能直接拼出的角的度数是（     ）。 A．105° B．115° C．120° 【练习2】如图，一面镜子反射一条光线。已知∠2＝∠3，∠4＝140°，那么∠1＝（    ）。 A．40° B．80° C．100° D．120° 一、选择题 1．经过一点可以画（     ）条直线。 A．2 B．1 C．无数 2．如图，把长方形纸的一个角折起。这时∠1＋∠2＝（     ）。 A．60° B．90° C．120° 3．如下图，小明去学校上学，走（     ）号路最近。 A．① B．② C．③ 4．洋洋在纸上画了一个角，他说：“这个角比180°小，但比90°大。”洋洋画的角是一个（     ）角。 A．锐 B．直 C．钝 5．把一个平角分成两个角，这时所成的角可能是（     ）。 ①一个钝角和一个锐角    ②两个锐角    ③两个钝角    ④两个直角 A．①② B．②③ C．①④ 二、填空题 6．把下面各角认真分类，填在相应的方框里。 90°   28°   72°   106°   48°   138° 180°   16°   94°   360°   160°   60° 7．量出下面各角的度数。 （ ）      （ ）         （ ） 8．下图所示量角器测量的角是（ ）度。 9．知∠1＝50°，那么∠2＝（ ），∠3＝（ ），∠4＝（ ）。 10．如图，用破损的量角器测量角的度数，量得这个角是（ ）°，它与（ ）°的角合在一起，就能拼成一个平角。 11．钟面上3时整，时针和分针形成（ ）角；6时整，时针和分针的夹角是（ ）°。 12．已知∠1与∠2组成的角是直角，∠1＝40°，那么∠2＝（ ）。 13．下图中，已知∠1＝43°，∠2＝（ ），∠3＝（ ）。 14．在剪纸过程中，折叠是一种常见的手法，通过折叠能让图案连续对称。萱萱把一张圆形彩纸对折三次能得到一个（ ）°的角。 15．已知∠1＋∠2＝直角，∠2＋∠3＝平角，∠1＝56°，那么∠2＝（ ），∠3＝（ ）。 三、判断题 16．3时半时，钟面上时针与分针所成的角是直角。（ ） 17．角的两条边叉开越大，角就越大。（ ） 18．学生用的每块三角板都有一个角是直角，另外两个角都是锐角。（ ） 19．用5倍的放大镜看一个20°的角，看到的角的度数应该是100°。（ ） 20．芬芬在纸上画了一条8厘米长的直线。（ ） 四、作图题 21．按要求画图。 （1）画出射线OA。 （2）以射线OA为角的一条边，画一个50°的角。 五、解答题 22．下面是一张长方形纸折起来以后形成的图形，已知∠1＝36°，求∠2。 23．如下图，已知∠1＝∠2，∠3＝120°，求∠1、∠2的度数。 24．图①中，用量角器量∠1的度数，∠1＝______°；请你用类似的方法在图②量角器中画一个50°的角。 25．下面图中的∠1与∠2是不是相等？说明理由。 26．如图，已知，求、、的度数。 27．如果两条平行线被一条直线所截（如图），会产生很多个有联系的角。 （1）请用量角器测量∠1、∠2，你发现了什么？ （2）根据上面得到的结论，观察∠3、∠5，通过推理说明∠3和∠5的关系。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$