第一章 特殊的平行四边形（拔高卷）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 特殊的平行四边形（拔高卷） 时间：120分钟 满分：150分 1、 单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．在菱形ABCD中，若，，则的长为（   ） A．3 B．6 C． D． 3．在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 5．如图，矩形中，对角线、相交于点O，已知，，的面积为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的中位线，平分，且，若，则的长为（    ） A．1.5 B．2.5 C．2 D．3 8．如图，将矩形纸片沿折叠（点E在上），使点A落在对角线上的处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，相交于点，，为的中点，为的中点．若，则的长为（　　） A．9 B．9.5 C．10 D．6 10．如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 11．如图，，，延长至D，使，连接，延长至E，使，连接，若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 12．如图，已知四边形是边长为1的正方形，点E、点F分别在边、上，，连接，连接分别交、于点G、点H．下列结论： ①； ②； ③； ④的面积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是​（　　）​ A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，，则点的坐标是 ． 15．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处．以下结论： ①；②直线的表达式为；③点D的坐标为； ④若点P在线段上．使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标为．其中所有正确结论的序号是 ． 16．如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点M在线段上，且，点P为线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．如图，在中，平分交于点D，点E在线段上，点F在的延长线上，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求和的长． 18．如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 19．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 20．如图，将正方形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求四边形的面积． 21．如图，是的中线，过点D作的平行线交于点E，O是的中点，连接并延长，交于点F，连接． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？写出你的猜想并证明． 22．在学习了矩形的相关知识后，九年级（2）班的数学小组进行了更深入的研究，通过研究，他们有了新的发现．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在矩形中，点E是边上的一点．利用直尺和圆规在下方作，与相交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：四边形是矩形，点E，F在上，且．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ，， ∴ ∴．                         ∴ 又，， ∴． 23．图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形． (2)在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形． (3)在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形． 24．如图，在平面直角坐标系中，点 (1)若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，则所有满足条件的点N的坐标为___________． 25．综合与实践活动课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下： 步骤一如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤二连接，．请判定的形状，并说明理由． 【迁移探究】 （2）小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：如图2，先类似小明的步骤一，得到折痕后把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点B恰好落在折痕上的一点M处，连接．小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由． 【拓展应用】 （3）小敏受小华的启发，打算继续利用矩形纸片进行探究： 如图3，在矩形中，，．点P为上的一点（不与B点重合，可以与C点重合），将沿着折叠，点B的对应点为M落在矩形的内部，连接，当为等腰三角形时，求BP的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 特殊的平行四边形（拔高卷） 时间：120分钟 满分：150分 1、 单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是真命题； B．对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题； C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故原命题是假命题； D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题是假命题； 故选：A． 2．在菱形ABCD中，若，，则的长为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】解：记的交点为O，如图所示： ∵在菱形ABCD中，，， ∴ ∴ 故选：D 3．在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，不能判定是正方形，故本选项符合题意； B、，根据菱形的对角线互相平分，，对角线相等的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意； C、，根据对角线相等的菱形是正方形，故本选项不符合题意； D、，则，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【答案】D 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 5．如图，矩形中，对角线、相交于点O，已知，，的面积为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：连接BE，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， 即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在正方形中，点E为对角线边上一点， ∴， ∴ ∵，是的一个外角， ∴， 故选：D 7．如图，是的中位线，平分，且，若，则的长为（    ） A．1.5 B．2.5 C．2 D．3 【答案】C 【详解】∵是三角形的中位线，， ∴， 在中，是的中点，， 则， ∴， 故选：C． 8．如图，将矩形纸片沿折叠（点E在上），使点A落在对角线上的处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， 故选：C． 9．如图，在中，，相交于点，，为的中点，为的中点．若，则的长为（　　） A．9 B．9.5 C．10 D．6 【答案】A 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在中，F为的中点， ∴． 故选：A． 10．如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 【答案】D 【详解】解：如图，连接， 若E，F，G，H分别是上的点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故D选项错误，符合题意； 当时， ∴四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意； 当时，， ∴四边形为矩形，故B选项正确，不符合题意； 若E，F，G，H不是各边中点， 当时，四边形为平行四边形，故C选项正确，不符合题意； 故选：D 11．如图，，，延长至D，使，连接，延长至E，使，连接，若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 12．如图，已知四边形是边长为1的正方形，点E、点F分别在边、上，，连接，连接分别交、于点G、点H．下列结论： ①； ②； ③； ④的面积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是​（　　）​ A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】C 【详解】解：①延长到点M，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②将绕点A顺时针旋转，得到，连接，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，，，过点O作于点H， 设， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∴的面积的最大值为．故④正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】25 【详解】解：由勾股定理得，， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：25． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，与互相平分． ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∵点C在x轴正半轴上， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 15．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处．以下结论： ①；②直线的表达式为；③点D的坐标为； ④若点P在线段上．使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标为．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③/③② 【详解】解：先求A、B坐标： 令，得， 故； 令，得，解得， 故． ① = ， 故①错误． ②设，由翻折性质得． 在中，，由勾股定理：， 即， 展开得， 解得，故． 设表达式为，代入得， 解得， 故表达式为， ②正确． ③∵D在上， ；又， ，代入y得 解得，故， ③正确． ④ ，四边形为菱形，则 ，但 ，需且，或且， 设， ，则， 解得或（舍去）， 故， ，故④错误． 综上，正确结论为②③， 故答案为：②③． 16．如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点M在线段上，且，点P为线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过P点作于H，过M点作于N，如图， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当M、P、H共线时，的值最小，即的最小值为的长， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．如图，在中，平分交于点D，点E在线段上，点F在的延长线上，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)和的长分别为8和 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， 设，则， ∴． ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． ∴和的长分别为8和． 18．如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∵，点E在上， ∴， 又∵， ∴． （2）解：设，则， 由（1）知：， ∴． 在中， ， ∴， 解得：， ∴． 即的长是． 19．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵由此矩形折叠情况可知：点C与点A重合，折痕分别交于点， ， ， ． （2）∵四边形是矩形，， ， 由折叠得：，设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得：， ． 20．如图，将正方形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：连接，交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是正方形， ，， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍）， ， ，， 由（1）知四边形是菱形， ． 21．如图，是的中线，过点D作的平行线交于点E，O是的中点，连接并延长，交于点F，连接． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？写出你的猜想并证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形为菱形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵ ， ∴， ∵O是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）当时，四边形为菱形， 证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中线， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 22．在学习了矩形的相关知识后，九年级（2）班的数学小组进行了更深入的研究，通过研究，他们有了新的发现．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在矩形中，点E是边上的一点．利用直尺和圆规在下方作，与相交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：四边形是矩形，点E，F在上，且．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ，， ∴ ∴．                         ∴ 又，， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【详解】（1）解：图形如图所示： ； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ． ∵， ，， ∴， ∴． ∴， 又，， ∴． 故答案为：，，． 23．图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形． (2)在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形． (3)在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：四边形即为所求作； （2）解：四边形即为所求作； （3）解：四边形即为所求作． 24．如图，在平面直角坐标系中，点 (1)若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，则所有满足条件的点N的坐标为___________． 【答案】(1)或4 (2) 【详解】（1）解：若点P在点A的左侧，四边形为平行四边形，， 由题意得， 解得， 若点P在点A的右侧，四边形为平行四边形，， ， 解得， 综上：或4时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形． （2）解：点坐标为，理由： 点， ， ， 如图，以为边，四边形是菱形， ， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ， ； 如图，以为对角线，四边形是菱形， 设， ， ， ， ， ， ； 综上所述，以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，点N的坐标为． 故答案为： 25．综合与实践活动课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下： 步骤一如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤二连接，．请判定的形状，并说明理由． 【迁移探究】 （2）小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：如图2，先类似小明的步骤一，得到折痕后把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点B恰好落在折痕上的一点M处，连接．小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由． 【拓展应用】 （3）小敏受小华的启发，打算继续利用矩形纸片进行探究： 如图3，在矩形中，，．点P为上的一点（不与B点重合，可以与C点重合），将沿着折叠，点B的对应点为M落在矩形的内部，连接，当为等腰三角形时，求BP的长． 【答案】（1）等腰三角形；（2）见解析（3）或 【详解】解：（1）由折叠可知，是的垂直平分线， ， 是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形． （2）如图2，由折叠可知：，，， 中，取的中点，连接，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， 由折叠性质得， ． （3）如图①，若， 由折叠可知， ∵， ∴此种情况不存在；    如图②，若，则在的垂直平分线上， 过点作于点，的延长线交于点， 则， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 设的长为，则，， ∴在中，可有， 即， 解得， 即的长为； 如图③，若，过点作于点，的延长线交于点，则有，    由，得， 解得， ∴， 设的长为，在中，有， 即， 解得， 即的长为：． 综上，的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$