函数模型及其应用-知识点训练卷 吉林省2026年高职分类考试《数学考纲百套卷》第18卷（原卷版+解析版）

编写说明：吉林省2026年高职分类考试《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及吉林历年高职分类考试真题编写。本套试卷共105份：第一部分是按照考试纲要编写的79份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等11个章节的16份专题训练卷；第三部分是参考考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是吉林省2026年高职分类考试《数学考纲百套卷》的第18卷，是知识点训练卷，主要考查对数函数的概念、定义域、值域及图象与性质的掌握情况。 吉林省2026年高职分类考试《数学考纲百套卷》 第18卷 函数模型及其应用 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） （改编题）1．下列函数中，增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异判断. 【详解】为指数函数，为二次函数，是对数函数， 是一次函数， 因为当足够大时，指数函数增长速度最快. 故选：A 2．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（   ） A．56.6米 B．57.6米 C．58.6米 D．59.6米 【答案】B 【分析】利用配方法，求二次函数最大值即可. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 所以烟花爆裂的高度是57.6米. 故选：B (改编题)3. 某厂2013年的产值为万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2025年的产值（万元）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】指数函数的实际应用，解答本题只需要从2013年向后写几年就可以得到规律. 【详解】∵某厂2013年的产值为万元，预计产值每年以5%递增， ∴该厂到2014年的产值(万元)为, 该厂到2015年的产值(万元)为, 该厂到2016年的产值(万元)为, ∴该厂到2025年的产值(万元)为. 故选：C． 4. 小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看20分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间x与距离y之间的关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题目中描述的信息，按照分段函数图象分成三段画出即可得出答案. 【详解】小明父亲行走的前20分钟路程一直在增加，到900米之后停下看报纸，20分钟至40分钟路程不增加， 40分钟至60分钟回家过程中，路程减少至0，因此A中图象符合题意. 故选：A 5. 卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的增长速度可得合适的函数模型. 【详解】由图可知，随着的增长，的增长速度越来越慢，C选项中的函数模型较为合适. 故选：C. 6. “每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件列式，再利用指数式与对数式互化关系作答. 【详解】（解法一）依题意，，化为对数函数得， 所以x与y之间的函数关系式是. 故选：C （解法二）依题意该函数模型是单调增函数，故排除A,B,选项D对应的是进步率为5%与题意不符，故排除，所以答案选C 7. 螃蟹素有“一盘蟹，顶桌菜”的民谚，它不但味美，且营养丰富，是一种高蛋白的补品，假设某池塘里的螃蟹繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为，假设该池塘第一年繁殖数量有200只，则第4年它们繁殖数量为（    ） A．400 B．600 C．800 D．1600 【答案】D 【分析】根据题意令，求出，再令即可求解. 【详解】令，则，所以， 所以，令，则， 故选:D. 8. 某林区的森林面积每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再确定其图象即可. 【详解】依题意，，则，即， 显然选项ABC不符合题意，D符合. 故选：D 9. 为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由函数图象特殊点代入解析式求解， 【详解】当时，，代入解析式得，得， 令，解得，即，， 故选；C 10. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（    ） A．30 B．60 C．40 D．80 【答案】C 【分析】根据题意将代入可求出即可. 【详解】因为，将代入，则， 则，所以， 所以， 故选：C 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 变量随变量变化的数据如下表： 1 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 现有三种函数模型：①，②，③最符合上表变化规律的函数模型序号是 . 【答案】① 【分析】观察表中数据分别判断三个模型的规律可得结论. 【详解】根据表格数据可知最符合变量随变量变化规律. 故答案为：① 12. 某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x之间的关系式为，其中，当时，；当时，，且此产品生产件数不超过20．则y关于x的解析式为 ． 【答案】（，且） 【分析】根据已知条件将两组值代入得到二元一次方程组，求解a，b的值，得到函数解析式，并根据应用条件写出定义域的范围即可. 【详解】由题意知，即，解得， 所以所求函数的解析式为（，且）． 13. 如果在某种细菌培养过程中，细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个），那么经过1h，1个这种细菌可以分裂成 个. 【答案】64 【解析】一个小时分裂6次，根据分裂规则，即可求解. 【详解】由题：细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个）， 经过1h可分裂6次，可分裂成（个）. 故答案为：64 14. 某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的关系式为，若每台产品的售价为8万元，且当产量为6台时，生产者可获得的利润为16万元，则 . 【答案】3 【分析】解方程得出的值. 【详解】当产量为6台时，总成本为万元，则生产者可获得的利润为，解得. 故答案为： 15. 某生物兴趣小组自2010年起对一湖泊进行监测研究，发现其中某种生物的总数y（单位：亿）与经过的时间x（单位：年）的函数关系与函数模型基本拟合.经过1年，y为3亿，经过3年，y为5亿，预计经过15年时，此种生物总数y为 亿. 【答案】9 【解析】由于某种生物的总数y（单位：亿）与经过的时间x（单位：年）的函数关系与函数模型基本拟合，故将过1年，y为3亿，经过3年，y为5亿代入函数模型，求出a,b，可得函数模型，可得。 【详解】由题得，点和点在函数上，代入得，解得，则函数为，所以预计经过15年时，此种生物总数y为，亿元. 故答案为：9 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 16. 如图，y＝f(x)反映了某公司产品的销售收入y万元与销售量x吨的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问： (1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)? (2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)? 【答案】(1)销售量范围为； (2)销售量范围为. 【分析】根据收入函数与成本函数的图象判断公司赢利或亏损时，对应销售量范围即可. 【详解】（1）由图知：销售量大于a吨，即时，即公司赢利. （2）由图知：当销售量小于a吨，即时，即公司亏损. 17. 某型号汽车在行驶x km以后蓄电池的存电比例可用下面的关系式表示：求该型号汽车行驶km和km时的存电比例． 【答案】行驶km时的存在比例为，行驶km时的存点比例为. 【分析】代入求值即可. 【详解】由题意得， 故该型号汽车行驶km时的存在比例为，行驶km时的存点比例为. 18. 直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件. (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ (2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)50元 (2)55元， 450元 【分析】（1）结合题意列出等式即可. （2）化为顶点式即可求. 【详解】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元， 日销售量为件， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：每件售价应定为50元； （2）设每天的销售利润为元.依题意，得： 整理得：，化成顶点式得， ∴当时.每天的销售利润最大，最大利润是450元. 19. 某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【答案】(1)③，理由见解析 (2)万元 【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解． （2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可. 【详解】（1）对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度由快变慢， 对于模型②，指数型的函数是由慢变快，且增长速度是爆炸型增长，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选项模型③， （2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点， 则，解得， 故所求函数为， 因为总奖金不少于9万元，所以，即， 所以，所以， 所以至少应完成销售利润万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：吉林省2026年高职分类考试《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及吉林历年高职分类考试真题编写。本套试卷共105份：第一部分是按照考试纲要编写的79份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等11个章节的16份专题训练卷；第三部分是参考考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是吉林省2026年高职分类考试《数学考纲百套卷》的第18卷，是知识点训练卷，主要考查对数函数的概念、定义域、值域及图象与性质的掌握情况。 吉林省2026年高职分类考试《数学考纲百套卷》 第18卷 函数模型及其应用 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） （改编题）1．下列函数中，增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 2．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（   ） A．56.6米 B．57.6米 C．58.6米 D．59.6米 (改编题)3. 某厂2013年的产值为万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2025年的产值（万元）是（    ） A． B． C． D． 4. 小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看20分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间x与距离y之间的关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   5. 卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（    ）． A． B． C． D． 6. “每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 7. 螃蟹素有“一盘蟹，顶桌菜”的民谚，它不但味美，且营养丰富，是一种高蛋白的补品，假设某池塘里的螃蟹繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为，假设该池塘第一年繁殖数量有200只，则第4年它们繁殖数量为（    ） A．400 B．600 C．800 D．1600 8. 某林区的森林面积每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 9. 为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（    ）      A．， B．， C．， D．， 10. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（    ） A．30 B．60 C．40 D．80 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 变量随变量变化的数据如下表： 1 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 现有三种函数模型：①，②，③最符合上表变化规律的函数模型序号是 . 12. 某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x之间的关系式为，其中，当时，；当时，，且此产品生产件数不超过20．则y关于x的解析式为 ． 13. 如果在某种细菌培养过程中，细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个），那么经过1h，1个这种细菌可以分裂成 个. 14. 某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的关系式为，若每台产品的售价为8万元，且当产量为6台时，生产者可获得的利润为16万元，则 . 15. 某生物兴趣小组自2010年起对一湖泊进行监测研究，发现其中某种生物的总数y（单位：亿）与经过的时间x（单位：年）的函数关系与函数模型基本拟合.经过1年，y为3亿，经过3年，y为5亿，预计经过15年时，此种生物总数y为 亿. 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 16. 如图，y＝f(x)反映了某公司产品的销售收入y万元与销售量x吨的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问： (1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)? (2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)? 17. 某型号汽车在行驶x km以后蓄电池的存电比例可用下面的关系式表示：求该型号汽车行驶km和km时的存电比例． 18. 直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件. (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ (2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 19. 某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$