1.1二次函数课件 2025—2026学年浙教版九年级数学上册

1.1二次函数 2025.6.27 浙教版数学 九年级上 函数（function） 凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数. ——《代数学》 在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数(function)，x叫做自变量(independent variable). 李善兰（1811—1882） 表达式 图象 性质 应用 研究路径 概念 【回顾】我们学过哪些函数呢？ 函 数 一次函数 反比例函数 y=kx+b (k≠0) (正比例函数) y=kx (k≠0) y=kx+b O A B x y (1)圆的面积 y (cm2)与圆的半径 x (cm) (2)王师傅存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为 x , 两年后王先生共得本息 y 元. (3)一个温室连同外围通道的矩形平面图如图 1-1，这个矩形的周长为 120m，设一条边长为 x（m），种植用地面积为 y（m2）. y =πx2 y = 2(1+x)2=2x2+4x+2 y = (60 -x -4)(x -2)= -x2 +58x -112 【思考】这些函数解析式具有哪些共同的特征? 【探究】根据题意列出y关于x的函数表达式 (1)右边都是关于x的整式. (2)自变量x的最高次数是2. (3)均可化简为 y=ax2+bx+c. y = ax2 +bx + c 二次函数的一般式 二次项系数 一次项系数 常数项 (1)右边都是关于x的整式. (2)自变量x的最高次数是2. (3)二次项系数不能为0. 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数. 【概念】二次函数 当 b＝0时， 当 c＝0时， y＝ax2＋c（a ≠ 0） y＝ax2＋bx（a ≠ 0） 当 b＝0，c＝0时， y＝ax2（a ≠ 0） 【做一做】下列函数中，哪些是二次函数？ 是 不是 是 是 不是 【小结】二次函数的判断要点： 1.必须要先化简； 2.还要看二次项的系数是否不为0. 【做一做】分别指出下列函数的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）y = x2 +1 （2）y = -3x2 +7x -12 （3）y = 2x (1-x) 【小结】读出系数的注意要点： 1.必须要先展开成一般式； 2.注意系数的符号； 3.缺少的项系数为0. 【完成作业题1、2】 【例1】如图，一张正方形纸板的边长为 2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）.设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），四边形EFGH的面积为 y（cm2） . （1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围. （2）当x分别为 0.25， 0.5， 1， 1.5，1.75时， 求对应的四边形EFGH的面积，并列表表示. 解：由题意，0＜x＜2， y=22－4××x(2－x)=2x2－4x+4. 即所求函数表达式为y=2x2－4x+4. x的取值范围为0＜x＜2. 【小结】取值范围的确定要点： 1.式子的意义； 2.还考虑实际情况. 【例1】如图，一张正方形纸板的边长为 2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）.设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），四边形EFGH的面积为 y（cm2） . （1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围. （2）当x分别为 0.25， 0.5， 1， 1.5，1.75时， 求对应的四边形EFGH的面积，并列表表示. 解：当x=0.25cm时， y=2×0.252－4×0.25+4=3.125 (cm2). 当x=0.5cm时，y=2.5 (cm2)；当x=1cm时，y=2(cm2)； 当x=1.5cm时，y=2.5 (cm2)；当x=1.75cm时，y=3.125(cm2). 列表如下： x (cm) 0.25 0.5 1 1.5 1.75 y(cm2) 3.125 2.5 2 2.5 3.125 【例2】已知二次函数y=x²+bx+c,当x=1时,函数值为4；当x=2时,函数值为-5, 求这个二次函数的解析式. 解：把 x=1，y=4； x=2，y=-5分别代入函数式y=x2+bx+c，得方程组 解这个方程组，得 所以所求二次函数的表达式是y= x2-12x+15. 【小结】待定系数法 【完成作业题】 二次函数 特 征 y=ax2+bx+c(a ≠0，a，b，c是常数） 一般形式 等号两边都是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数a ≠0． 其他形式 y=ax2（a ≠0）； y=ax2+bx(a ≠0，a，b是常数) ； y=ax2+c(a ≠0，a，c是常数)． 【做一做】求y关于x的函数表达式，并求出x的取值范围 2.某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元的价格出售，一天可售出100件．经过市场调查，发现这种商品每降价1元，其日销量可增加10件．设后来该商品每件降价x元，一天可获利润y元． 1.某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x,求该工厂第一季度的产值y关于x的函数表达式． 解：依题意得y关于x的函数表达式为 y＝(100－80－x)(100＋10x)＝－10x2＋100x＋2 000. 1. y＝200（1+x）2 （1）如果函数 是二次函数，则k = ______. （2）如果函数 是二次函数，则k = ______. 0或3 0 【小结】 （1）二次函数必须含有二次项且最高次数为2次； （2）二次项系数不能为0； 【练一练】填空 【试一试】已知y＝(m－4)xm²－m＋2x2－3x－1.当m为何值时，它是y关于x的二次函数？ THANK YOU 20XX 汇报人：WPS 解：∵y＝(m－4)xm ²－m＋2x2－3x－1是关于x的二次函数，∴①m－4＝0，解得m＝4； ②m2－m＝1，解得m＝； ③解得m＝－1； ④m2－m＝0，解得m＝0或m＝1. 综上所述，当m的值为4或或－1或0或1时，它是y关于x的二次函数． $$