2.3用公式法求解一元二次方程 第2课时教学设计2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.3用公式法求解一元二次方程 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是九年级上册第二章一元二次方程第三节，核心内容包括：推导一元二次方程的求根公式 （二）教学内容解析 节课是配方法的“一般化”与“工具化”，是一元二次方程解法的核心总结，在代数学习中具有里程碑意义： • 方法本质：求根公式并非独立方法，而是对“一般形式一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）”用配方法推导的固定结果，本质是将“重复的配方步骤”转化为“直接代入的公式工具”，降低解题复杂度。 • 知识枢纽：上承配方法（推导基础），下启根与系数的关系（韦达定理），同时判别式的引入为后续二次函数与x轴交点问题、不等式求解提供核心依据，是代数领域“数”与“形”衔接的关键节点。 • 思维价值：通过“具体方程配方→一般形式推导→公式抽象→应用验证”的过程，培养学生从“特殊到一般”的归纳推理能力，以及用“数学工具”解决标准化问题的严谨思维。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】能够熟练应用求根公式解一元二次方程 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1、能够在教师的指导下正确的导出一元二次方程的求根公式； 2、能够熟练应用求根公式解一元二次方程； 3、能够根据方程的系数，不解方程直接判断方程根的情况。 （二）教学目标解析 1、推导过程是核心——需明确“为什么要对一般形式配方”（为得到适用于所有方程的通用解），以及“开方时限定b2-4ac≥0”的原因（平方数非负，保证根号内有意义），避免死记硬背公式。 2、公式应用目标：关键是“先化一般式”——学生易直接从非一般式（如2x2=5x-1）中错取a,b,c（误将c=0），需强化“移项化为ax2+bx+c=0后再确定系数”的步骤，同时熟练计算根号内数值（ 3. 判别式认知目标：需将判别式与配方结果关联，其正负直接决定右边式子是否有意义，从而建立判断解的个数→决定是否代入公式”的解题逻辑。 三、学生学情分析 1、已熟练掌握配方法（包括二次项系数不为1的情况），能独立对ax2+bx+c=0型方程配方； 2、理解等式基本性质和平方数非负性，知道根号下的数需非负（否则无实数意义）； 3、能将任意一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），准确识别二次项、一次项、常数项系数。 基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】理解一元二次方程求根公式的推导过程． 四、教学策略分析 推导引领：以“上节课对ax2+bx+c=0的配方结果”为起点，引导学生继续推导——重点追问“开方时根号下的数有什么要求？”“如何将两个分式合并为一个？”，让学生自主完成从“平方形式”到“求根公式”的最后两步，感受公式的“生成过程”而非“强加结论”。 五、教学过程分析 （一）复习引入 1.用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0 问题2：你能说一说，用配方法解一元二次方程的步骤吗？ ①化：二次项系数化为 1 ； ②移：将常数项移到等号右边； ③配：配方，使等号左边成为完全平方式； ④开：等号两边开平方； ⑤解：求出方程的解. 思考：你能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)吗？ 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 探究一： 解一元二次方程：. 学生在演算纸上自主推导，并针对自己的推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨.最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式. 解：两边都除以一次项系数a，得 . 配方，得 ， 即 ，. 追问1：现在可以两边开平方吗？ 学生：不可以，因为不能保证. 追问2：什么情况下？ 学生讨论后回答： ∵，∴ . 要使，只要即可. ∴当时，两边开平方取“±” 得 ，， ，. 追问3：如果时，会出现什么问题？ 学生：方程无解. 追问4：如果呢？ 学生：方程有两个相等的实数根. 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)，当b2 - 4ac≥0 时，它的根是： 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， （1）当b2-4ac>0时，方程有_____________________的实数根 当b2-4ac=0时，方程有_____________________的实数根 当b2-4ac<0时，方程_____________________实数根 当b2-4ac≥0时，方程_____________________实数根 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由______________来判定。我们把_____________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“⊿”来表示 例1：解方程：. 解：先将方程化成一般形式，得 . 确定a，b，c的值分别为，，. ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根. 根据公式法求出方程的根为 ， 即，. 问：与配方法相比较，哪种解法更简捷？ (2) 4x2 +1=4x 解：将原方程化为一般形式，得 4x2-4x + 1 = 0. 这里 a = 4，b = -4，c = 1. ∵ b2 - 4ac = (-4)2 -4×4×1 = 0， ∴ （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1、用公式法解下列方程： (1) 2x2 - 9x + 8 = 0； (2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ； (3) 16x2 + 8x = 3； (4) x(x-3) + 5 = 0 . 2、m取什么值时，x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解？ 3、《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈. 问户高、广各几何.”大意是说: 已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？(1尺=10寸，1丈=10尺) 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$