九下 3.9 弧长及扇形的面积-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦“弧长及扇形的面积”，衔接圆的半径、圆心角等前置知识，通过“练基础”“练提升”“练素养”分层设计学习支架，帮助学生从基本公式应用逐步过渡到综合问题解决。 其亮点在于融入跨学科融合（如定滑轮旋转问题）、新定义概念（莱洛三角形）等创新题型，以数学眼光观察现实情境，用数学思维分析几何关系。例如通过坐标系中圆弧长度计算培养几何直观，助力学生提升应用能力与创新意识，也为教师提供贴合中考的分层教学资源。

第三章 圆 9　弧长及扇形的面积 1 目 录 2 1. （辽宁丹东中考）如图，AB是O的直径，C是O上一点，连接AC，OC，若AB=6，∠A=30°，则的长为 （ ） A. 6π　　　　　B. 2π　　　　　C. π　　　　　D. π 础 基 练 知识点1 弧长的计算 D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 3 2. 【新趋势 跨学科融合】（湖南衡阳中考）如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______cm.（结果保留π） 4π 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 4 3. （教材P102第1题改编）已知扇形的弧长是π，圆心角120°，则这个扇形的半径是________. 2 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 5 4. 【原创题 传统文化】抖空竹，是典型的基础性节律性运动项目，是国家级非物质文化遗产之一. 如图，是抖空竹时绳与空竹轴接触的侧面示意图，AC，BD分别与O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P，若∠P=120°，O的半径为1 cm，则图中的长为______cm.（结果保留π） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 6 5. 【新趋势 多模块综合】已知正方形OABC在如图的平面直角坐标系，点B的坐标为（2，2），D，E，F是圆弧上三点且坐标分别为（0，1），（1，2-），（2，1），则的长为________. π 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 6.（湖北仙桃中考）一个扇形的弧长是10π cm，其圆心角是150°，此扇形的面积为 （ ） A. 30π cm2 B. 60π cm2 C. 120π cm2 D. 180π cm2 知识点2 扇形面积的计算 B 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 8 7.（辽宁鞍山中考）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为 （ ） A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D. C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 9 8. （广东河源紫金二模）如图，已知平行四边形ABCD，以点B为圆心，AB为半径作交BC于点E，然后以点C为圆心，CE为半径作交CD于点F，若AD=5，FD=3，∠B=60°，则阴影部分的面积为 （ ） A. 　　　　　B. 3　　　　　C. π　　　　　D. π B 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 9.（辽宁锦州二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=，作∠ABC的平分线BD交AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点E，则阴影部分的面积为 （ ） A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D. A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 升 提 练 10.（江苏无锡期末）如图，AB是O的直径，CD是O的弦，且CD⫽AB，AB=12，CD=6，则图中阴影部分的面积为 （ ） A. 18π　　　　　B. 12π　　　　　C. 6π　　　　 　 D. 3π C 【解析】如图，连接OC，OD. ∵AB是O的直径，AB=12，∴OA=OB=6，∴OC=OD=6. ∵CD=6，∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD=60°. ∵AB⫽CD，∴S△OCD=S△ACD，∴S阴影=S扇形OCD= =6π. 故选C. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 12 11.（河南郑州巩义模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积 （ ） A. 96-π　　　　B. 96-25π　　　　C. 48-π　　　　D. 48-π D D 【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∵AB=AC=10，BC=12，∴BD=CD=6， ∴AD==8， ∴S阴影= ×12×8- =48- . 故选D. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 13 12. （广西北部湾经济区中考）如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠BAC=α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是 （ ） A. π　　　　B. π　　　　C. π　　　　D. π B 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 14 【解析】∵CA=CB，CD⊥AB， ∴AD=DB= AB= AB′， ∴sin∠AB′D= = ， ∴∠AB′D=30°， ∴∠B′AD=90°-30°=60°，∴α=30°. ∵AC=4，∴AD=AC·cos 30°=4×=2， ∴AB=2AD=4， ∴的长= = π. 故选B. 【变式】 如图，将Rt△CAB绕点B按逆时针方向旋转90°后，得到Rt△A′BC′，已知∠BAC=90°，∠ABC=60°，BC=2，则图中阴影部分面积为 （ ） A. π　　　　B. π　　　　C. π-　　　　D. π C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 【解析】如图，设交BC于点D. 根据题意可得，∠CBC′=90°， ∴S扇形CBC′= =π. ∵BC=2，∠ABC=60°， ∴AC=BC·sin 60°=，AB=BC·cos 60°=1， ∴S△ABC=S△A′BC′= AC·AB= . ∵∠CBA′=90°-∠ABC=90°-60°=30°， ∴S扇形DBA′= = ，∴S阴影=S扇形CBC′-S△A′BC′-S扇形DBA′=π- - = - . 故选C. D 13.（辽宁鞍山二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点）A，B，D，点C为上一点. 若∠CAD=30°，则阴影部分的面积为 （ ） A. π+　　　 　B. π+　　　　 C. π+　　　　D. π+ D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 18 【解析】如图，取AD中点O，连接AB，BD，OC，CD. ∵AB=BD=，AD=2，∴AB2+BD2=AD2，∴∠ABD=90°， ∴AD是O的直径，O为圆心. ∴OA=OD=OC=， 又∵∠ACD=∠ABD=90°，∠DAC=30°，∴∠DOC=60°， ∴CD= AD=，AC= =， ∴S阴影=S△AOC+S扇形DOC = ×××+ = + . 故选D. 14.【新定义 新概念问题】（广东揭阳一模）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形叫做莱洛三角形，若AB=5，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为__________． 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=5，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°. ∵AD⊥BC， ∴BD=CD= ，AD=BD·tan 60°= ， ∴S△ABC= BC·AD= ，S扇形BAC= = π， ∴莱洛三角形的面积S=3×π-2× = ． D 15.【新定义 新概念问题】如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线 FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…. 当AB=1时，l2 023等于_______. 养 素 练 【解析】根据正六边形的性质可知，其外角都是60°，即∠FAK1=∠K1BK2=∠K2CK3=∠K3DK4=…=60°， 弧长l1，l2，l3，l4，l5，l6，…所对应的半径分别为1，2，3，4，5，6，…，所以l2 023= = . 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 变式 22 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $$