九下 1.4 解直角三角形-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第一章　直角三角形的边角关系 4　解直角三角形 1 目 录 2 础 基 练 知识点1 解直角三角形 1. 【思想方法 数形结合】 在Rt△ABC中，BC=3，AC= ，∠C=90°，则∠A 的度数是 （　　） A. 30° B. 40° C. 45° D. 60° D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 3 【变式】如图，在△ABC 中，∠C=90°，cos A= ，AC=4，则AB 长为 （　　） A. 4 B. 8 C. 8 D. 12 B 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 4 2.（广西北部湾经济区中考）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB 的长为12米，AB 与AC 的夹角为α，则高BC 是 （　　） A. 12sin α 米 B. 12cos α 米 C. D. A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 5 3. （教材P17第1题改编）在Rt△ABC 中，∠C=90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边. （1）已知c=2，b=，求∠A； （2）已知c=12，sin A= ，求b. 解：（1）∵cos A= = = ，∴∠A=45°. （2）∵sin A= = = ，∴a=6，∴b= =6. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 6 4. 【原创题 传统文化】“木楔”是指木材制作的楔形物，它能够使榫卯配合的牢固程度最大化，如图1，是木工制作中一种叫做楔钉榫的补强方式，其所用木楔的截面图如图2所示，若已测得∠C=90°，∠B=25°，AC=10 cm，则AB，BC 的长度是多少？（结果精确到0.1 cm） （参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 7 解：在Rt△ABC 中，∵∠C=90°，sin 25°= ，tan 25°= ， ∴AB= ≈ ≈23.8（cm），BC= ≈ ≈21.3（cm）， ∴AB 长23.8 cm，BC 长21.3 cm. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 知识点2 解非直角三角形 5. （广西百色一模）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为D，若BC=14，AD=12，BD= AD，则sin C=________. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 9 【变式】 如图，在△ABC 中，∠B=60°，∠C=45°，BC=6+6，则AB=________. 12 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 10 6. （甘肃金昌金川校级阶段练习）如图，已知Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 为∠BAC 的平分线，且AD=2，AC= ，解这个直角三角形. 解：在Rt△ACD 中，∠C=90°，AD=2，AC= ， ∴cos∠2= = ，∴∠2=30°. ∵AD 为∠BAC 的平分线，∴∠BAC=2∠2=60°， ∴∠B=90°-∠BAC=30°， ∴AB=2AC=2，BC=AC·tan 60°= ×=3， ∴∠B=30°，∠BAC=60°，AB=2，BC=3. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 11 C 升 提 练 7. 数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF，尺寸如图. 如果两个三角形的面积分别记作S△ABC，S△DEF，那么它们的大小关系是 （　　） A. S△ABC>S△DEF B. S△ABC<S△DEF C. S△ABC=S△DEF D. 不能确定 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 12 【解析】如图，过点A，D 分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G，H. 在Rt△ABG 中，AG=AB·sin B=5sin 50°， 在Rt△DHE 中，∠DEH=180°−130°=50°， DH=DE·sin∠DEH=5sin 50°，∴AG=DH. ∵BC=4，EF=4，且等底等高的两个三角形面积相等， ∴S△ABC=S△DEF. 故选C. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 13 8. 【新趋势 动点探究题】 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E 为垂足，若cos B= ，EC=2，P 是AB边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值是________. 4.8 【解析】 设菱形ABCD 的边长为x，则AB=BC=x，∵EC=2，∴BE=x-2. ∵AE⊥BC 于点E，∴在Rt△ABE 中，cos B= . 又∵cos B= ，∴ = ，解得x=10，经检验，x=10是方程的解，∴AB=BC=10. ∴BE=BC-EC=8，AE= =6. 当EP⊥AB 时，PE 取得最小值. 此时AB·PE= BE·AE，即 10PE=8×6，解得PE=4.8. ∴PE 的最小值为4.8. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 14 9. （易错题）在等腰△ABC 中，∠A=30°，AB=8，则AB 边上的高CD 的长是_____________. 4 或4或 【解析】 ①如图1，当AB=AC 时. ∵∠A=30°，∴CD= AC= AB= ×8=4； 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 15 反思本题易错点是_______________________________________________. 易丢解 ②如图2，当AB=BC 时. ∵AB=BC，∴∠ACB=∠A=30°，∴∠CBD=60°， ∴CD=BC·sin∠CBD=8× =4； ③如图3，当AC=BC 时. ∵AC=BC，CD⊥AB，AB=8，∴AD=4， ∴CD=AD·tan A=4× = . 综上所述，AB 边上的高CD 的长是4或4或. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 16 10. （黑龙江齐齐哈尔中考）在△ABC 中，AB=3，AC=6，∠B=45°，则BC=________________. 3+3 或3-3 【解析】 ①如图，当△ABC 为锐角三角形时，过点A 作AD⊥BC 于点D. 在Rt△ABD 中，AB=3，∠B=45°， ∴AD=BD=AB·sin 45°=3. 在Rt△ACD 中，CD= =3， ∴BC=BD+CD=3+3； 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 17 ②如图，当△ABC 为钝角三角形时，过点A 作AD⊥BC 交BC 延长线于点D. ∵AB=3，∠B=45°， ∴AD=BD=AB·sin 45°=3， ∴CD= =3， ∴BC=BD-CD=3-3. 综上，BC 的长为3+3或3-3. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 18 11. 在△ABC 中，∠B=120°，AB=4，BC=2，求AC的长. D 解：如图，过C 点作CD⊥AB，交AB 的延长线于点D. ∵∠ABC=120°，∴∠CBD=180°-120°=60°. 在Rt△BCD 中，BC=2， sin∠CBD= ，cos∠CBD= ， ∴CD=BC·sin 60°=2× = ，BD=BC·cos 60°=2×=1. ∵AB=4，∴AD=AB+BD=4+1=5， ∴AC= = =2. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 19 12. （安徽合肥包河期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=6，BC=4，tan A= ，求AD 的长. E 解：如图，延长AD，BC 交于点E. 在Rt△ABE 中，tan A= = ，AB=6， ∴BE=8， ∴AE= =10，EC=BE-BC=8-4=4. ∴sin A= = . 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 20 在△ABE 与△CDE 中，∠B=∠CDE=90°，∠E=∠E， ∴∠DCE=∠A，∴DE=EC·sin∠DCE=EC·sin A=4× = . ∴AD=AE-DE=10- = . 即AD 的长为 . 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 21 13. （山东东营模拟）如图，在△ABC中，已知AB=AC=13，cos C= ，中线BE 和AD 交于点F. 求△ABC 的面积以及sin∠EBC 的值. 解：∵△ABC 中，AB=AC，且AD 是中线， ∴BD=CD，AD⊥BC，∠ABC=∠C. ∵Rt△ACD 中，AC=13，cos C= ， ∴CD=AC·cos C=5. ∴AD= = =12， ∴S△ABC= BC·AD= ×2CD·AD=60. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 22 如图，过点A 作AG⫽BC，交BE 延长线于点G. ∵AG⫽BC，∴∠G=∠ GBC. ∵BE 是中线，∴AE=CE， 又∵∠AEG=∠CEB. ∴△AGE≌△CBE（AAS）， ∴AG=BC，∴AG=2BD. 又∵∠AFG=∠DFB，∴△AFG∽△DFB，∴ = = ， 即AF=2DF，又∵AF+DF=AD，∴DF= AD=4. 则在Rt△BDF 中，BF= = = . ∴sin∠EBC= = . G 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 23 3 养 素 练 14. 【新趋势 开放性问题】 已知△ABC为钝角三角形，其中∠A>90°，有下列条件： ①AB=10；②AC=6；③tan B= ；④tan C= . （1）你认为从中至少选择________个条件，可以求出BC 边的长； （2）你选择的条件是_____________________（直接填写序号），并写出求BC 的解答过程. ①②④（答案不唯一） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 24 解：（2）如图，过点A 作AD⊥BC 于点D. 设AD=x. ∵tan C= ，∴CD=2x. ∵AC=6， 根据勾股定理，得x2+（2x）2 =（6）2 . 解得x=6或x=-6（不合题意，舍去）， ∴AD=6，CD=2x=12， 根据勾股定理，得BD= = =8， ∴BC=CD+BD=12+8=20. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 11 12 13 14 25 绿卡图书—走向成功的通行证 26 $$