九上 2.6 第1课时 一元二次方程在实际问题中的应用(1)-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦一元二次方程在实际问题中的应用，涵盖面积、数字、动态几何等知识点。通过矩形铁皮剪拼、月历表数字等实际情境导入，衔接方程解法，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于融合中考真题、原创情境（如国防教育日月历问题）及新趋势题（动点、规律探究），培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理运算、用数学语言建立方程模型的能力。例如面积问题中列方程解决矩形剪拼，动态几何题中分析动点运动规律。采用问题驱动与分层练习，学生能提升应用能力，教师可获得多样化教学素材。

第二章 一元二次方程 6 　应用一元二次方程 第1课时 　一元二次方程在实际问题中的应用（1） 1 目 录 2 础 基 练 知识点1 面积问题 1.（山西中考）如图是一张长12 cm、宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒. 则剪去的正方形的边长为________cm. 2 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 3 2.（江苏泰州中考）如图，在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪. 要使草坪的面积为1 260 m2，道路的宽应为多少？ 解：设路的宽应为x m. 根据等量关系列方程， 得(50-2x)(38-2x)=1 260. 解得x1=4，x2=40（不合题意，舍去）. 所以，道路的宽应为4 m. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 4 3. 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的新的两位数乘原来的两位数的积为1 855，原来的两位数中较大的数字是______. 5 知识点2 数字问题 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 5 4.【原创题 生产生活】每年9月的第三个星期六是全民国防教育日，设立全民国防教育日的目的是弘扬爱国主义精神，普及国防教育，使全民增强国防观念. 在某年9月的月历表上，可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数. （请用方程知识解答） 解：设这个最小数为x，则最大数为(x+8)， 依题意得x(x+8)=65， 整理得x2+8x-65=0， 解得x1=5，x2=-13（不合题意，舍去）. 所以，这个最小数为5. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 6 知识点3 动态几何问题 5.【新趋势 动点探究题】如图，在矩形ABCD中，BC=20 cm，点P，Q，M，N分别从点A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止 . 已知在相同时间内，若 BQ=x cm（x≠0），则 AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2 cm. （1）当x为何值时，点P，N重合； 解：（1）∵点 P，N 重合， ∴2x+x2=20， 解得 x1= -1，x2= --1（舍去）， ∴当x=-1时，点P，N重合. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 7 （2）当 x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形. 解：∵当点N到达点A时，x=2，此时点M和点Q还未相遇， ∴点Q只能在点M的左侧. ①当点P在点N的左侧时，由题意得20-(x+3x)=20-(2x+x2)， 整理得x2-2x=0，解得x1=0（舍去），x2=2， ∴当x=2时四边形PQMN是平行四边形； ②当点P在点N的右侧时，由题意得20-(x+3x)=(2x+x2)-20， 整理得x2+6x-40=0，解得x1=-10（舍去），x2=4， ∴当x=4时四边形NQMP是平行四边形. 综上所述，当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 8 6. 如图，某小区计划在一个长16 m、宽9 m的矩形场地ABCD上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草 . 已知草坪部分的总面积为 112 m2，设小路宽x m，若x满足方程x2-17x+16=0，则修建的示意图是 （ ） C 升 提 练 【解析】x2-17x+16=0，即(x-1)(x-16)=0，解得x1=1，x2=16. 又∵矩形场地ABCD的长为16 m，宽为9 m，∴x=1. A. 草坪部分的总面积=(16-1)×(9-1×2)=105 (m2)，此选项不符合题意；B. 草坪部分的总面积=(16-1×3)×(9-1)=104 (m2)，此选项不符合题意；C. 草坪部分的总面积=(16-1×2)×(9-1)=112 (m2)，此选项符合题意；D. 草坪部分的总面积=(16-1×2)×(9-1×2)=98 (m2），此选项不符合题意. 故选C. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 9 7. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用总长为25 m 的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽1 m 的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为72 m2. 解：设矩形猪舍平行于墙的一边长为x m. 根据题意，得x·（25-x+1）=72， 整理得x2-26x+144=0， 解得x1=18（不合题意，舍去），x2=8. ∴垂直于墙的一边长为（25-x+1）=9. 所以，矩形猪舍的长为9 m，宽为8 m时，猪舍面积为72 m2. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 8.【新趋势 动点探究题】如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5 cm，BC=7 cm. 点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动. （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后， △PBQ的面积等于4 cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后， PQ的长度等于5 cm？ （3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于 7 cm2？ 说明理由. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 11 解：设运动时间为t s. 则AP=t cm，BP=(5-t) cm，BQ=2t cm. （1）S△PBQ=，即4= ， 整理得t2-5t+4=0，解得t1=1，t2=4（不合题意，舍去）. 所以，1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2. （2）∵PQ=5，∴PQ2=25=BP2+BQ2，即25=(5-t)2+(2t)2， 整理得t2-2t=0，解得t3=0（不合题意，舍去），t4=2. 所以，2 s后，PQ的长度为5 cm. （3）不能. 理由：令S△PQB=7，即=7， ∴=7，整理得t2-5t+7=0. ∵Δ=b2-4ac=25-28=-3<0，∴方程没有实数根. 所以，在（1）中，△PQB的面积不能等于7 cm2. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 12 9.【新趋势 规律探究题】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和. （1）请用一元二次方程解答：三角点阵中前多少行的点数和是276？ 养 素 练 解：（1）设三角点阵中前x行的点数和是276. 依题意得1+2+3+…+x=276， 即 =276， 整理得x2+x-552=0， 解得x1=23，x2=-24（不合题意，舍去）. 所以，三角点阵中前23行的点数和是276. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 13 （2）这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由. 解：（2）不能，理由如下： 依题意得1+2+3+…+n=600，即=600， 整理得n2+n-1 200=0， 解得n1=，n2=. 又∵n 为正整数， ∴n1=，n2=均不符合题意， 所以，这个三角点阵中前n行的点数和不能是600. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 14 绿卡图书—走向成功的通行证 15 $$