九上 1.3 第2课时 正方形的判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦正方形的判定与中点四边形核心知识点，通过平行四边形、矩形、菱形判定的递进问题链导入，结合变式训练、中考题改编及探究性问题搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融入过程性学习、开放性与探究性问题，如条件添加判断正方形、图形变式探究等，培养学生抽象能力、推理意识与空间观念。规范证明过程强化数学语言表达，分层练习助力学生提升逻辑思维，为教师提供丰富教学资源，提升课堂效率。

第一章 特殊平行四边形 3 　正方形的性质与判定 第2课时 　正方形的判定 1 目 录 2 1. 【新趋势 过程性学习】一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a. 两组对边分别相等；b. 一组对边平行且相等；c. 一组邻边相等；d. 一个角是直角. 顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c. 正确的是 （ ） A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③ C 础 基 练 知识点1 正方形的判定 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 3 【变式】【新趋势 开放性问题】如图，在矩形ABCD 中，对角线 AC，BD相交于点 O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________________，使矩形ABCD是正方形. AB=AD （答案不唯一） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 4 2.（湖南邵阳中考）如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在对角线 BD上，且BE=DF，OE=OA. 求证：四边形AECF是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD. ∵BE=DF，∴OE=OF， ∴四边形AECF是菱形. ∵OE=OA， ∴OE=OF=OA=OC，即EF=AC， ∴菱形AECF是正方形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 5 3.（教材P25第3题改编）如图，已知点E，F，G，H 分别在正方形 ABCD 的四条边上，且 AE=BF=CG=DH，连接EF，FG，GH，HE. （1）求证：四边形EFGH是正方形； 解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CG=DH，∴AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH， ∴BE=CF=DG=AH. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH=EF=FG=GH，∠AHE=∠BEF，∴四边形EFGH是菱形. ∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠AEH+∠BEF=90°， ∴∠FEH=180°-（∠AEH+∠BEF）=180°-90°=90°， ∴菱形EFGH是正方形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 6 （2）若AB=7，AE=3，求四边形EFGH的周长. 解：（2）∵AB=7，AE=3， ∴BE=AH=AB-AE=7-3=4. 在Rt△AEH中， EH== =5. ∵四边形EFGH是正方形， ∴正方形EFGH的周长=5×4=20. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 7 4.【新趋势 探究性问题】（1）如图矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，过点 D 作 DP⫽OC，且 DP=OC，连接 CP，判断四边形 CODP 的形状并说明理由. 解：（1）四边形CODP是菱形. 理由如下： ∵DP⫽OC，DP=OC， ∴四边形CODP是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD， ∴OC=OD，∴▱CODP是菱形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 8 （2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由. 解：（2）四边形CODP是矩形. 理由如下： ∵DP⫽OC，DP=OC， ∴四边形CODP是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°. ∴▱CODP是矩形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 9 （3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由. 解：（3）四边形CODP是正方形. 理由如下： ∵DP⫽OC，DP=OC， ∴四边形CODP是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD= BD， ∴∠DOC=90°，OD=OC. ∴▱CODP是正方形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 10 5.（山东枣庄峄城阶段练习）顺次连接一个四边形的各边中点，得到一个矩形，则下列四边形满足条件的是________（. 填序号） ①平行四边形；②菱形；③对角线相等的四边形；④对角线互相垂直的四边形. 知识点2 中点四边形 ②④ 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 11 6.（重庆铜梁期中）如图，菱形ABCD中，点O为对角线的交点，E，F，G，H是菱形 ABCD 的各边中点，若AC=6，BD=8，则四边形EFGH的面积为________. 12 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 12 7. 如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥BC 于 H，AH=CH=5，则四边形ABCD的面积是 （ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 无法确定 C 升 提 练 【解析】如图，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于E. ∵∠BCD=90°，AH⊥BC，AH=CH， ∴四边形AHCE为正方形，∴AH=AE. 在Rt△ABH与Rt△ADE中， ∴Rt△ABH≌Rt△ADE（HL）. ∴S 四边形ABCD=S 正方形AHCE=5×5=25. 故选C. E 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 13 8. 如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD 的中点 . 若 AB=CD，AB⊥CD，则四边形EMFN是 （ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 D 【解析】∵点 N 为 BD 的中点，点 F 为 BC 的中点，∴NF为△BCD的中位线，∴NF= CD，NF⫽CD，同理可得EM=CD，EM⫽CD，∴NF=EM= CD，NF⫽EM，∴四边形EMFN为平行四边形 . 同理可得 FM=AB，FM⫽AB，NE=AB，∴NE=FM=AB. ∵AB=CD，∴FN=FM，∴四边形 EMFN为菱形. ∵FM⫽AB，FN⫽CD，∴∠CFM= ∠ABC，∠BFN=∠DCB.∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠DCB=90°∴∠CFM+∠BFN=90°，∴∠MFN=180°-（∠CFM+∠BFN）=90°，∴菱形EMFN是正方形. 故选D. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 14 9.（广西桂林期末）如图，在矩形 ABCD 中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O. （1）求证：四边形ABEF是正方形； 解：（1）证明：在矩形ABCD中，∠BAF=∠ABE=90°. ∵EF⊥AD，∴四边形ABEF是矩形. ∵AE平分∠BAD，∴EF=EB， ∴矩形ABEF是正方形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 15 （2）若AD=AE，求证：AB=AG； 解：（2）证明：∵AE 平分∠BAD， ∴∠GAD=∠BAE， ∵∠AGD=∠ABE，AD=AE， ∴△AGD≌△ABE（AAS）， ∴AB=AG. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 16 （3）在（2）的条件下，已知AB=1，求OD的长. 解：（3）由（1）知四边形ABEF是正方形，∴AB=BE=AF=1. ∵△AGD≌△ABE， ∴DG=AB=BE=AG=1， ∴AD=，∠DAG=∠ADG=45°，∴DF=-1. ∵EF⊥AD，∴∠FDO=∠FOD=45°，∴DF=FO=-1， ∴OD= =DF=2-. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 17 10.（湖南湘潭期末）如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转 90°，得到 EG，过点 G 作 GF⊥CB，垂足为 F，GH⊥AB，垂足为 H，连接 DG，交AB于I. （1）求证：△GEF≌△EDC； 证明：（1）在正方形ABCD中，∠C=90°. ∵GF⊥CB，∴∠F=90°， ∴∠F=∠C，∠FGE+∠GEF=90°. ∵DE绕点E逆时针旋转90°得到EG，∴DE=EG，∠DEG=90°. ∵∠DEG+∠GEF+∠CED=180°，∴∠GEF+∠CED=90°， ∴∠FGE=∠CED. ∴△GEF≌△EDC（AAS）. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 18 （2）求证：四边形BFGH是正方形； 证明：（2）∵∠ABF=90°，GF⊥CB，GH⊥AB，∴四边形BFGH是矩形 . 在正方形ABCD中 ，BC=DC. ∵△GEF≌△EDC ， ∴FG=CE，EF=DC， ∴EF=BC. ∴EF-BE=BC-BE，即BF=CE， ∴BF=FG. ∴矩形BFGH是正方形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 19 （3）求证：ED平分∠CEI. 证明：（3）如图，延长BC到J，使得CJ=AI. 又∵DA=DC，∠A=∠DCJ=90°， ∴△DAI≌△DCJ（SAS）. ∴DI=DJ，∠ADI=∠CDJ， ∴∠ADI+∠IDC=∠CDJ+∠IDC， 即∠ADC=∠IDJ=90°. ∵ DE=EG，∠DEG=90°， ∴ ∠IDE=45°，∴ ∠JDE= ∠IDJ -∠IDE=45°. ∵DI=DJ，∠IDE=∠JDE，DE=DE， ∴△IDE≌△JDE（SAS）， ∴∠IED=∠JED，∴ED平分∠CEI. J 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 20 11.【新趋势 探究性问题】如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN⫽BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角∠ACG的平分线于点F. （1）探究OE与OF的数量关系并加以证明； 养 素 练 解：（1）OE=OF. 证明如下： ∵MN⫽BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF. 又∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACG， ∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF， ∴∠OCE=∠OEC ，∠OCF=∠OFC ， ∴OE=OC ，OF=OC ，∴OE=OF. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 21 （2）连接BE，BF，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE可能为菱形吗？若可能，请证明；若不可能，请说明理由； 解：（2）不可能. 理由如下： ∵∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠GCF=180°，∴∠OCE+∠OCF=90°，∴∠ECF=90°. 若四边形BCFE为菱形，则BF⊥CE， ∴BF⫽CF. 与已知矛盾， ∴四边形BCFE不可能为菱形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 22 （3）连接AE，AF，当点O在AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由； 解：（3）当点O运动到AC的中点时， 四边形AECF是矩形. 理由如下： ∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO， 又∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， 由（2）知∠ECF=90°， ∴四边形AECF是矩形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 23 （4）在（3）的条件下，△ABC 满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由. 解：（4）在（3）的条件下，△ABC是∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形. 理由如下： 由（3）知，当点O运动到AC的中点时， 四边形AECF是矩形， ∴当 AC⊥EF 时，四边形 AECF 是正方形 . ∴∠AOE=90°. ∵MN⫽BC，∴∠ACB=90°. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 24 绿卡图书—走向成功的通行证 25 $$