九上 1.2 第2课时 矩形的判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第一章 特殊平行四边形 2 　矩形的性质与判定 第2课时 　矩形的判定 1 目 录 2 1.（易错题）（山东聊城中考）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是 （ ） A. 测量两条对角线是否相等 B. 度量两个角是否是90° C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 C 础 基 练 知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形 反思本题易错点________________________________________________ ______________________________________________________________. 根据“对角线相等”判定矩形的前提是这个四边形是平行四边形 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 3 2.（教材P16第2题改编）如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM 和∠ABN 的平分线于点 C，D，连接 AC，AD. 添加一个适当的条件，当_______________时，四边形ACBD为矩形. O是AB的中点 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 4 【变式】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是 （ ） A. AB=BE B. CE⊥DE C. ∠ADB=90° D. BE⊥AB D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 5 3.（四川巴中中考）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长 EC 至点 G，使 CG=CE，连接 DG，DE，FG. （1）求证：△ABE≌△FCE； 证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB⫽CD，∴∠EAB=∠EFC. 又∵E为BC的中点，∴EB=EC. 又∵∠BEA=∠CEF， ∴△ABE≌△FCE（AAS）. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 6 （2）若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形. 证明：（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=CF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，∴DC=CF. 又∵CE=CG，∴四边形DEFG是平行四边形 . ∵E 为 BC 的中点，CE=CG，∴BC=EG. 又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，∴DF=EG，∴▱DEFG是矩形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 7 4.【原创题 传统文化】“漆之为用也，始于书竹简，而舜作食器……”漆艺是华夏文明中一种非常古老的艺术媒介，蕴藏着东方美学的精髓. 如图，陈师傅要对4幅长40 cm、宽30 cm的矩形漆画进行装裱. 根据画框的测量结果（单位：cm），可能无法使用的是 （ ） C 知识点2 由直角的个数判定矩形 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 8 5.【新情境 生产生活】一个木匠要制作矩形的踏板 . 他在一个对边平行的长木板上分别沿与长 边 垂 直 的 方 向 锯 两次，就能得到矩形踏板. 理由是 _____________________________________________________________. 有一个角为直角的平行四边形是矩形（答案不唯一） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 9 6.（福建厦门期中）如图所示，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F. 求证：四边形CDOF是矩形. 证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF. ∵∠AOC+∠BOC=180°， ∴2∠COD+2∠COF=180°， ∴∠COD+∠COF=90°，即∠DOF=90°. ∵OA=OC，OD平分∠AOC， ∴OD⊥AC，∴∠CDO=90°. ∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°，∴四边形CDOF是矩形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 10 7.【新趋势 过程性学习】如图，AD 是△ABC 的中线，四边形ADCE是平行四边形. 嘉嘉说：“若AB=AC，则▱ADCE是矩形.” 琪琪说：“若∠BAC=90°，则▱ADCE是菱形.” 下列说法中正确的是 （ ） A. 嘉嘉和琪琪都不对 B. 嘉嘉和琪琪都对 C. 琪琪对，嘉嘉不对 D. 嘉嘉对，琪琪不对 B 升 提 练 【解析】∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°， ∴▱ADCE是矩形，故嘉嘉说法正确；∵∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，∴AD=BC=CD，∴▱ADCE是菱形，故琪琪说法正确. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 11 8.（辽宁营口鲅鱼圈期末）如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题： （1）四边形ADEF是什么四边形？并说明理由； 解：（1）四边形ADEF是平行四边形. 理由如下： ∵△ABD，△BCE是等边三角形， ∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60° ， ∴ ∠ABD - ∠ABE= ∠EBC - ∠ABE，即 ∠DBE=∠ABC. ∴△DBE≌△ABC（SAS），∴DE=AC. 又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF，∴DE=AF. 同理可得AD=EF，∴四边形ADEF是平行四边形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 12 （2）当∠BAC 满足什么条件时，四边形 ADEF是矩形？并说明理由. 解：（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形. 理由如下： 由（1）可知，四边形ADEF是平行四边形， ∵△ABD，△ACF是等边三角形， ∴∠BAD=∠CAF=60°， 又∵当∠BAC=150°时， ∠DAF=360°-∠BAD-∠CAF-∠BAC=90°， ∴▱ADEF是矩形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 13 9. 如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AG⊥BD，CH⊥BD，垂足分别为G，H，连接EG，EH，FG，FH. （1）求证：四边形GEHF是平行四边形； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC. ∵AG⊥BD，CH⊥BD，∴∠AGD=∠CHB=90°. ∵E，F分别为AD，BC的中点， ∴EG=DE= AD，FH=BF= BC， ∴EG=FH，∠EDG=∠EGD，∠FBH=∠BHF. ∵AD⫽BC，∴∠EDG=∠FBH，∴∠EGD=∠BHF，∴EG⫽FH， ∴四边形GEHF是平行四边形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 14 （2）若 AB=2，BC=3，当 BD=____________时，▱GEHF是矩形. 请说明理由. 解：（2）如图，连接EF. ∵AE= AD，BF= BC，∴AE=BF， 又∵AE⫽BF，∴四边形ABFE为平行四边形，∴EF=AB=2. 若四边形GEHF是矩形，则GH=EF=2. ∵∠AGD=∠CHB，∠ADG=∠CBH，AD=CB， ∴△AGD≌△CHB（AAS）， ∴DG=BH，∴DG-GH=BH-GH，即DH=BG. 设BG=DH=x，在Rt△ABG中，AG2=AB2-BG2=4-x2， 在Rt△AGD中，AG2=AD2-DG2=9-DG2=9-（2+x）2， ∴4-x2=9-（2+x）2，解得x= . ∴BD=BG+GH+HD= +2+ =. O 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 15 【解析】如图，当AB为矩形对角线时，观察图象可知点D坐标为（5，3）. 当AB为矩形的边时，观察图象可知点D2坐标为（-3，2）. 由待定系数法可得，直线AD2的表达式为y=x + ， ∴点C1坐标为（0，） . ∵AC1=BD1且AC1⫽BD1， ∴BD1可以看成AC1平移得到的，∴D1（3，） . 综上所述，满足条件的点D的坐标为（5，3）或（-3，2）或（3，）. 10.【新趋势 多模块综合】如图，在直角坐标系内，A，B两点的坐标分别是（1，5）,（4，1）,点C在y轴上，点D在直角坐标系内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为__________________________. 养 素 练 （5，3）或（-3，2）或（3，） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 16 11. 【新趋势 探究性问题】将平行四边形纸片ABCD 按图 1 所示的方式折叠，使顶点 A，B同时落在线段HF上的M点处，顶点C，D同时落在线段 HF 上的 N 点处，其中 AD 长为6，AE长为x. （1）求证：四边形EFGH为矩形； （2）探究：线段HF的长度会随着AE长度的变化而变化吗？如果会，请用含x的代数式表示HF的长度；如果不会，请直接写出HF的长度； （3）若 AE=2，连接 AF，当 AF⊥BC 时（如图2），求 的值. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 17 解：（1）证明：由折叠可得∠AEH=∠HEM，∠MEF=∠FEB， ∵∠AEH+∠HEM+∠MEF+∠FEB=180°， ∴∠HEM+∠MEF=90°=∠FEH. 同理可得∠EHG=∠HGF=∠GFE=90°， ∴四边形EFGH为矩形. （2）线段HF的长度不会随着AE长度的变化而变化，HF=6. 理由：如图，连接EG. 由折叠可知，AE=EM，BE=EM， ∴AE=BE=EM. 同理可得DG=NG=CG. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB⫽CD， ∴AE=DG，∴四边形 AEGD 是平行四边形，∴AD=EG=6. 由（1）知，四边形EFGH为矩形，∴HF=EG=6. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 18 解：（3）如图，连接CH，由题意得AE=EM=BE=2， ∴AB=2AE=4. ∵AF⊥BC，∴EF=AB=2，∴HG=EF=2. ∵CG=DG=CD=AB=2， ∴CH⊥AD，∴CH⊥BC，CH=AF. 设BF=a，则CF=6-a， ∴AF2=AB2-BF2=16-a2，CH2=FH2-FC2=36-（6-a）2, ∴16-a2=36-（6-a）2， ∴a=，6-a=，∴= . 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 变式 19 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$