九上 1.1 第2课时 菱形判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第一章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形及其性质的判定 1 目 录 2 1.（湖北襄阳中考）如图，▱ABCD 的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是 （ ） A. 若OB=OD，则▱ABCD是菱形 B. 若AC=BD，则▱ABCD是菱形 C. 若OA=OD，则▱ABCD是菱形 D. 若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 D 知识点1 由对角线的关系判定菱形 础 基 练 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 3 2.【新趋势 方案决策题】在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于 O，要在对角线 BD 上找两点M，N，使得四边形AMCN是菱形，现有甲、乙两种方案，则正确的方案是 （ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 甲乙都不是 C 方案甲：取BM= DN 方案乙：分别作∠BAC和∠DAC的平分线 AM，AN 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 4 3.（易错题）【新趋势 过程性学习】小明自编一道题，并给出了证明过程.小颖看完后说：“这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明 . ”你同意小颖的说法吗？如果同意，请你补充一个条件，并证明；如果不同意，请说明理由. 解：我同意小颖的说法. 补充条件：OA=OC. 证明：∵OA=OC，OB=OD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形. 如图，在四边形ABCD中，对角线 AC，BD 交于点 O，AC⊥BD，OB=OD. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵AC⊥BD，OB=OD， ∴AC垂直平分BD. ∴AB=AD，CB=CD， ∴四边形ABCD是菱形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 5 4.【新情景 生产生活】张师傅应客户要求加工4个菱形零件. 在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检测. 根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是 （ ） C 知识点2 由边的关系判定菱形 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 6 5.（四川巴中中考）如图，四边形ABCD中，AD⫽BC，AB=AD=CD= BC. 分别以 B，D 为圆心，大于 BD 长为半径画弧，两弧交于点 M. 画射线AM交BC于E，连接DE. （1）求证：四边形ABED为菱形； 解：（1）证明：如图，连接BD， 根据题意得出AM为∠BAD的平分线， ∴∠BAE=∠DAE. ∵AD⫽BC，∴∠DAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA. ∴AB=BE. ∵AB=AD，∴△ABD为等腰三角形，AE垂直平分BD， ∴BE=DE，∴AB=BE=DE=AD，∴四边形ABED为菱形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 7 （2）连接BD，当CE=5时，求BD的长. 解：（2）∵AB=AD=CD= BC，BE=AD， ∴E为BC中点，∴BE=CE，∴AD=CE=5. 又∵AD⫽BC，∴四边形 AECD 为平行四边形， 又∵AD=CD，∴▱AECD为菱形， ∴DC⫽AE，CD=CE=5. ∵四边形ABED为菱形， ∴AE⊥BD，∴DC⊥BD，∴∠BDC=90°. 在Rt△BDC中，BD= = =5. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 8 6.【原创题 传统文化】“竹马踉蹡冲淖去，纸鸢跋扈挟风鸣 . ”风筝，又名纸鸢，由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期. 小明想用尺规作图的方式将平行四边形纸裁成菱形制作风筝，下面可能无法裁出菱形的是 （ ） C 升 提 练 【解析】A. 由题图可知 AD=AB=DC，又因为 AB⫽DC，所以四边形ABCD是菱形；B. BD是AC的垂直平分线，再根据平行四边形的性质证得三角形全等，得到AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，再由对角线相互垂直，可得出▱ABCD 是菱形；C. AB，CD 是角平分线，得到∠BAD=∠DCB，不能证明四边形 ABCD 是菱形；D. 由题可知，∠CDB=∠ADB，∠ABD=∠CBD. ∵AB⫽CD，∴∠CDB=∠ABD，∴∠ADB=∠CDB=∠ABD，∴AD⫽BC，AD=AB. 根据菱形的定义，可得到四边形ABCD是菱形. 故选C. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 9 7.（河北邯郸大名三模）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，点G，H在AC上，且 AH=CG，若添加一个条件使四边形 EGFH是菱形，则下列可以添加的条件是 （ ） A. AB=AD B. AB⊥AD C. AB=AC D. AB⊥AC D O 【解析】如图，连接EF交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD⫽BC. ∵E，F分别为边AD，BC的中点， ∴AE= AD，BF=CF=BC，∴AE=BF=CF， ∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB⫽EF. ∵AD⫽BC，∴∠EAG=∠FCH. ∵AH=CG，∴AH-HG=CG-HG，即AG=CH. ∴△AEG≌△CFH（SAS）. ∴EG=FH，∠AGE=∠CHF， ∴∠EGH=∠FHG，∴EG⫽FH，∴四边形EGFH是平行四边形. ∵AB⫽EF，∴当 AB⊥AC 时可得 EF⊥AC，∴▱EGFH 是菱形. 故选D. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 10 8.【新趋势 开放性问题】（湖南岳阳中考）如图，点 E，F 分别在▱ABCD 的边 AB，BC 上，AE=CF，连接DE，DF. 请从以下三个条件：①∠1=∠2；②DE=DF；③∠3=∠4 中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形. （1）你添加的条件是___________（填序号）； （2）添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形. 证明：添加①： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C. 又∵∠1=∠2，AE=CF， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AD=CD，∴▱ABCD为菱形. ①（或③） 添加③： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C. 又∵∠3=∠4，AE=CF， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AD=CD，∴▱ABCD为菱形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 9.（山东临沂郯城期末）如图，在▱ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O，M 是 BD 上任意一点，连接AM并延长至点N，使AM=MN，交BC于H，连接CN，BN. （1）求证：OM⫽CN； 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC. ∵AM=MN， ∴OM是△ACN的中位线， ∴OM⫽CN. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 12 （2）连接 CM，若 AD⊥AN，且 AC=AB，求证：四边形BNCM是菱形. 证明：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD⫽BC. ∵AD⊥AN，∴BC⊥AN. ∵AB=AC，∴BH=CH. 由（1）可知，OM⫽CN，∴∠MBH=∠NCH. 又∵BH=CH，∠BHM=∠CHN， ∴△MBH≌△NCH（ASA）， ∴MH=NH，∴四边形BNCM是平行四边形. 又∵BC⊥MN，∴▱BNCM是菱形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 13 10.【新趋势 探究性问题】两块完全相同的三角尺Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）如图1放置在同一平面上（∠C=∠C1=90°，∠ABC=∠A1B1C1=60°），斜边重合. 三角尺Ⅱ不动，三角尺Ⅰ向右滑动，如图2是滑动过程中的一个位置. （1）在图2中，连接BC1，B1C，求证：△A1BC1≌△AB1C； 解：（1）证明：在图2中， ∵三角尺Ⅰ和Ⅱ是两块完全相同的三角尺， ∴AC=A1C1，AB=A1B1，∠A=∠A1， ∴A1B=AB1， ∴△A1BC1≌△AB1C（SAS）. 养 素 练 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 14 （2）点B滑动到A1B1边的什么位置时，四边形BCB1C1是菱形？请说明理由. 解：（2）点B滑动到A1B1边的中点时，四边形BCB1C1是菱形. 理由：如题图2，∵∠A1=30°， ∴在直角三角形A1B1C1中，B1C1= A1B1. ∵点 B 落在 A1B1边的中点， ∴BB1=A1B1=B1C1=BC. ∵∠ABC=∠A1B1C1=60°， ∴△BCB1和△BC1B1为等边三角形， ∴BC=CB1=B1C1=C1B， ∴四边形 BCB1C1是菱形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 15 绿卡图书—走向成功的通行证 16 $$