精品解析：上海市民办至德实验学校2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

上海市民办至德实验学校2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 已知三角形的两条边长分别为和，则第三条边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：设三角形的第三条边长为， 则，即， 第三条边长可以是， 故选C． 【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键． 2. 如果，那么下列不等式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原不等式错误，不符合题意； B、由可得，原不等式错误，不符合题意； C、由可得，原不等式错误，不符合题意； D、由可得，则，原不等式正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列说法中错误的个数是（ ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行公理，平行线的定义，对顶角与邻补角，是基础题，熟练掌握定义与性质是解题的关键．根据平行公理，平行线的定义，对顶角与邻补角，逐一分析作出判断． 【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故说法错误； （2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．故说法错误； （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故说法正确； （4）相等的角不一定是对顶角，故说法错误． 故选：C． 4. 用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A. 6 B. 5 C. 6π D. 5π 【答案】A 【解析】 【分析】设这个圆锥的底面半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r， 根据题意得， 解得， 即这个圆锥的底面半径是6． 故选：A． 5. 如图，在中，点D在边上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 6. 如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A. 104° B. 106° C. 96° D. 132° 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由，根据三角形的内角和定理可得，由周角的定义得到答案．此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（每题2分，共24分） 7. “与2的差小于的3倍”用不等式表示为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式．理解题意并正确的列一元一次不等式是解题的关键． 依题意得，． 【详解】解：由题意知，“与2的差小于的3倍”用不等式表示为， 故答案为：． 8. 等腰三角形的两边长分别为5和10，则它的周长为______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键；分两种情况：当等腰三角形的腰长为5，底边长为10时；当等腰三角形的腰长为10，底边长为5时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：当腰长为5时，三边长分别为5，5，10，因为，所以不满足三角形三边关系； 当腰长为10时，三边长分别为10，10，5，因为，所以可以构成三角形，三角形的周长为：； 综上可知，等腰三角形的两边长分别为5和10，它的周长为25； 故答案为：25． 9. 一个圆柱和一个圆锥，体积之比是，底面半径之比是，那么这个圆柱和圆锥的高之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积，分别表示出圆柱和圆锥的体积，再进行相比得到答案． 【详解】解：设圆柱的底面圆半径为，高为，圆锥底面圆半径为，高为， ∵圆柱和圆锥的体积之比是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 【答案】66 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在一个长方形纸片的一边上，那么______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，结合，解答即可． 本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故答案为：． 12. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【详解】解：个边长相等的正方形的组合图形，如图， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 13. 在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，线段垂直平分线的性质是解题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角得到，根据内角和定理求得，最后根据角度的和差关系即可得到答案． 【详解】解：由作图可知：为线段的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成．如图所示，运动员推出的铅球着地后会留下痕迹．裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩：①将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；②将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；③将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．确定铅球比赛成绩的数学公理是_______________________________． 【答案】圆上的点到圆心的距离相等 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念，根据圆上的点到圆心的距离相等即可解答． 【详解】解：根据题意确定铅球比赛成绩的数学公理是：圆上的点到圆心的距离相等． 故答案为：圆上的点到圆心的距离相等． 15. 关于的不等式组有个整数解，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得出关于的不等式，据此进行计算即可．本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，能根据题意得出关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 因为此不等式组有个整数解， 所以， 解得． 故答案为：． 16. 如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，则∠BOQ＝___度． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件证明，得到，再根据三角形的外角性质计算即可； 【详解】∵时等边三角形， ∴，， 又∵AP＝CQ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形外角性质，准确计算是解题的关键． 17. 如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则________°． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和等知识，先由等边三角形的性质可知，利用，求出，从而利用三角形的内角和求出，也就是的角度，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解： ∵是等边三角形， ， 由折叠的性质可知：，， 又， ∴， ∴， 故答案为： 18. 如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，垂线段最短，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，则，当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，由面积公式可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（19-21每题6分；22-26每题8分，共58分） 19. 解不等式： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 通过去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：去括号得：， 整理得：， 解得：． 20. 解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，不等式组的非负整数解为，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的非负整数解，分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，继而可得其非负整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为，． 21. 如图，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，且∠1＝∠2，试说明ABDC的理由． 【答案】 ABDC．理由如下： ∵DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC， ∴，， ∵∠ADC＝∠ABC， ∴∠CDE＝∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠CDE＝∠2， ∴ABDC． 【解析】 【分析】根据角平分线性质结合∠ADC＝∠ABC推出∠CDE＝∠1，进而根据∠1＝∠2等量代换推出∠CDE＝∠2，根据平行线的判定推出即可． 【详解】 略 【点睛】本题考查平行线的判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，结合题意根据内错角相等两直线平行是解决问题的关键． 22. 如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 解：∵D是延长线上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据边角边证明，则； （2）由，，得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 23. 如图，已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴； （2） 证明：由（1）得：，平分， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是判定，掌握等腰三角形“三线合一”的性质． （1）证明，得到，再由等腰三角形的性质解答即可； （2）根据等腰三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 一个圆柱形木块切成四块（如图①），表面积增加；切成三块（如图②），表面积增加；削成一个最大的圆锥（如图③），体积减少了多少立方厘米？（取3.14）    【答案】体积减少了 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱体表面积等知识，根据增加的面积求出底面圆的半径以及圆柱的高，是解答本题的关键．根据图②增加的表面积可以求出圆柱底面圆的面积，进而求出底面圆的半径，再根据图①增加的表面积可以求出圆柱的高，问题随之得解． 【详解】解：该圆柱形木块一个底面面积（）， ， ∴底面半径为，直径为， 该圆柱形木块高（） （） 答：体积减少了．. 25. 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． （1）直线有何位置关系？直接写出结论 ． （2）在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． （3）如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键 ． （1）由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，推出； （2）过M作，得到，由平行线的性质推得到，同理，由角平分线定义得到，即可求出； （3）由角平分线定义得到，而，得到． 【小问1详解】 解：（1）如图1，直线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图2，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（2）的证明可得：， ∴． 故答案为：． 26. 在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时， ； （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市民办至德实验学校2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 已知三角形的两条边长分别为和，则第三条边长可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法中错误的个数是（ ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A. 6 B. 5 C. 6π D. 5π 5. 如图，在中，点D在边上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A. 104° B. 106° C. 96° D. 132° 二、填空题（每题2分，共24分） 7. “与2的差小于的3倍”用不等式表示为 ________． 8. 等腰三角形的两边长分别为5和10，则它的周长为______． 9. 一个圆柱和一个圆锥，体积之比是，底面半径之比是，那么这个圆柱和圆锥的高之比是______． 10. 如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 11. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在一个长方形纸片的一边上，那么______度． 12. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 13. 在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为________． 14. 学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成．如图所示，运动员推出的铅球着地后会留下痕迹．裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩：①将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；②将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；③将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．确定铅球比赛成绩的数学公理是_______________________________． 15. 关于的不等式组有个整数解，那么的取值范围是______． 16. 如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，则∠BOQ＝___度． 17. 如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则________°． 18. 如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为______． 三、解答题（19-21每题6分；22-26每题8分，共58分） 19. 解不等式： 20. 解不等式组，并写出它的非负整数解． 21. 如图，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，且∠1＝∠2，试说明ABDC的理由． 22. 如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 23. 如图，已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，．求证： （1）； （2）． 24. 一个圆柱形木块切成四块（如图①），表面积增加；切成三块（如图②），表面积增加；削成一个最大的圆锥（如图③），体积减少了多少立方厘米？（取3.14）    25. 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． （1）直线有何位置关系？直接写出结论 ． （2）在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． （3）如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 26. 在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时， ； （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $