3.1用树状图或表格求概率同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

3.1用树状图或表格求概率 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖入口进出口的概率是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在内部的概率是（    ） A． B． C． D． 3．在一个不透明的袋子里装有两个红色小球和一个绿色小球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，那么摸到一个红球和一个绿球的概率是（   ） A． B． C． D． 4．如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 5．宋代陆游所作的哲理诗《冬夜读书示子聿》有如下四句： ①纸上得来终觉浅； ②少壮工夫老始成； ③绝知此事要躬行； ④古人学问无遗力． 这四句诗歌的顺序被打乱了，兰兰想把这几句诗歌调整为正确的顺序，则她第一次就调整正确的可能性大小是（      ） A． B． C． D． 6．围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的3个围棋棋子，其中黑子2个，白子1个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（   ） A． B． C． D． 7．假如小猫在如图所示的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，它最终停留在黑色方砖上的概率是（    ）． A． B． C． D．1 8．同时抛掷两枚面值相同的硬币，则至少有一枚硬币正面朝上的概率是（　　） A． B． C． D． 9．在2025年全球气候行动峰会上，设有“碳中和”“可再生能源”“绿色交通”“生态保护”四个议题，供与会代表讨论．甲、乙两个国家代表需从这四个议题中随机选择一个议题进行投票．每个议题被选择的可能性相同，且两国代表的选择相互独立．甲、乙两国代表选择同一议题的概率是（   ） A． B． C． D． 10．一个不透明的盒子中装有4个形状、大小、质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字、0、2和3，现搅均后从中随机一次摸出两个球，则这个小球所标数字乘积是正数的概率为（    ） A． B． C． D． 11．袋中有形状、大小都相同的8个球，上面依次写着2、3、4、5、6、7、8、9八个数字，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是（   ） A．任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜 B．任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜 C．任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜 D．任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜， 12．《宋人扑枣图轴》是创作于宋朝的古画，该作品描绘了古人扑枣的场景．院角枣树果实累累，小孩群来攀扯，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，一片兴高采烈之情跃然于绢帛之上．在某晚会上，某剧团准备根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中甲乙两人分别模仿图中小孩扑枣的攀、牵、捧、拾中的一个动作（甲乙模仿的动作不同），他俩模仿的动作恰好是“攀”和“牵”的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．有大小与材质完全相同的四张卡片，其正面分别书写化学元素符号“ ，，，”，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，则上面书写的符号一个是金属元素一个是非金属元素的概率是 ． 14．如图，有四张扑克牌，分别是红桃，黑桃，方块，梅花，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任意摸出一张，记下牌面数字后放回，再将它们背面朝上洗匀，从中再任意摸出一张，记下牌面数字，则两次牌面数字都是的倍数的概率是 ． 15．毕业生小星、小华和小红准备拍照，他们三人随意站成一排，小华恰好站在中间的概率是 ． 16．不透明袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机地摸出2个球，则这两个球都是红球的概率是 ． 17．小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后三位由5，3，2这三个数字组成，但具体顺序忘记了，则她第一次就拨对电话的概率是 ． 三、解答题 18．如图，把一个圆形转盘的面积按照的比例分为A，B，C三个扇形区域，自由转动转盘，求停止后指针落在B区域的概率． 19．4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． 如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为正数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？请你用列表或画树状图的方式，说明理由． 20．南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． (1)甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______； (2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 21．为了弘扬优秀传统文化，某中学举办了文化知识大赛，其规则是：每位参赛选手回答道选择题，答对一题得1分，不答或错答不扣分，赛后对全体参赛选手的答题情况进行了相关统计，整理并绘制成如下图表：   组别 分数段 频数（人） 频率 1 2 3 4 5 请根据以图表信息，解答下列问题： (1)表中m=______，n=______； (2)补全频数分布直方图； (3)在得分前5名的同学中，有3位男同学（A，B，C）和2位女同学（D，E），现准备从中选取两名同学参加区级的比赛，用树状图或列表法求选出的两名同学恰好是一男一女的概率． 22．2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票． (1)求小明摸到球面数字为5的概率； (2)你认为这种方法公平吗？请说明理由． 23．如图是两个可以自由转动、质地均匀的转盘（两个转盘均被等分），同时转动甲、乙两个转盘，根据指针所指的位置，请用列表法求下列事件的概率．    (1)两个转盘所转到的两个数字都是1； (2)两个转盘所转到的两个数字的乘积是奇数． 24．将正面分别写着数字，0，2，3的四张卡片（注：这四张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这四张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上． (1)若任意抽取一张卡片，卡片上的数字为正数的概率是____________； (2)若从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，然后把剩下的三张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这三张卡片中随机抽取一张卡片．记该卡片上的数字为y．用列表法或画树状图的方法，求取出的两张卡片上数字之和为偶数的概率． 《3.1用树状图或表格求概率》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B C D A C B B 题号 11 12 答案 A C 1．B 【分析】根据题意，画出树状图，即可． 【详解】如图可知，，为入口；，，为出口， ∴ ∴小颖入口进出口的概率为：． 故选：B． 【点睛】本题考查列举法求概率，解题的关键是理解题意，画出树状图，得到所有的结果． 2．C 【分析】本题考查的是概率的求法，解题的关键是用面积之比来代表事件发生的概率．先分别求出正方形和三角形的面积，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：正方形的面积， 三角形的面积 ∴落在内部的概率，故C正确． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及摸到一个红球和一个绿球的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红 红 绿 红 （红，红） （红，绿） 红 （红，红） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，红） 共有6种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个绿球的结果有4种， ∴摸到一个红球和一个绿球的概率为． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机闭合开关中的两个的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机闭合开关中的两个共有6种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有4种， 则灯泡发光的概率为， 故选：B． 5．C 【分析】首先根据题意得出可能的结果有：①②③④，①②④③，①③②④，①③④②，①④②③，①④③②，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】如果把①作为这四句诗歌的第一句，则有①②③④，①②④③，①③②④，①③④②，①④②③，①④③②，共 种排列情况， 所以四句诗歌总的排列情况共有 种，只有 种是正确的， 所以兰兰第一次就调整正确的可能性大小为 故选：C 【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 6．D 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及摸出1个黑子和1个白子的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： 黑子 黑子 白子 黑子 （黑子，黑子） （黑子，白子） 黑子 （黑子，黑子） （黑子，白子） 白子 （白子，黑子） （白子，黑子） 共有6种等可能的结果，其中摸出1个黑子和1个白子的结果有4种， 摸出1个黑子和1个白子的概率为． 故选：D． 7．A 【分析】本题考查几何概率，用阴影小正方形的面积除以总面积，即可得出结果． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则小猫最终停留在黑色方砖上的概率是； 故选A． 8．C 【分析】本题主要考查了概率公式，掌握运用列举法求概率成为解题的关键． 先列举出所有的情况，然后运用概率求得至少有一枚硬币正面朝上的概率即可． 【详解】解：同时抛掷两枚硬币得结果有：正正、正反、反正、反反四种情况， 则至少有一枚硬币正面朝上的概率为． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：“碳中和”“可再生能源”“绿色交通”“生态保护”四个议题分别用表示，运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下， 共有16种等可能结果，其中甲、乙两国代表选择同一议题的有4种， ∴甲、乙两国代表选择同一议题的概率是， 故选：B ． 10．B 【分析】本题考查列举法求概率，根据题意，列举出所有等可能的结果，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：一次摸出两个球，共有，共6种等可能的结果，其中这个小球所标数字乘积是正数的只有这一种情况， ∴； 故选B． 11．A 【分析】本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取胜的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平． 看游戏规则是否公平，主要看双方是否具有均等的机会，如果机会是均等的，那就公平，否则，则不公平；据此逐项分析后再选择． 【详解】解：A、质数有：2、3、5、7共4个，合数有：4、6、8、9共4个，双方的机会是均等的，所以说这个游戏规则对双方都公平； B、2的倍数有：2、4、6、8共4个，3的倍数有：3、6、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平； C、小于5的数有：2、3、4共3个，大于5的数有：6、7、8、9共4个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小刚不公平； D、小于6的数有：2、3、4、5共4个，大于6的数有：7、8、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平． 故选：A． 12．C 【分析】先根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数，再求出恰好是“攀”和“牵”的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：由于甲乙模仿的动作不同，故根据题意画出树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好是“攀”和“牵”的结果共有2种， 所以他俩模仿的动作恰好是“攀”和“牵”的概率是； 故选：C． 【点睛】本题考查了利用树状图求两次事件的概率，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解；能理解放回与不放回的区别是解题的关键． 【详解】解：树状图如下 其中共12种等可能情况，书写的符号一个是金属元素一个是非金属元素有8种， ， 故答案：． 14．/ 【分析】先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案． 【详解】解：列表如下 2 4 6 8 2 4 6 8 由表可知共有16种等可能结果，其中两次牌面数字都是4的倍数的有4种结果， ∴两次牌面数字都是4的倍数的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 15． 【分析】列举出所有情况，让小红恰好排在中间的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】设小星、小华和小红为A、B、C，排列方式有：A、B、C；A、C、B；B、A、C；B、C、A；C、A、B；C、B、A． ∵共有6种等可能的结果，小华恰好站在中间的情况有2种， ∴小华恰好站在中间的概率为， 故答案为： 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，正确列出所有等可能情况数及所求情况数并熟练掌握概率公式是解题关键． 16． 【分析】记袋子中的3个红球为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，由树状图得，共有种等可能出现的结果，其中，两个球都是红球的结果有6种，即可得． 【详解】解：记袋子中的3个红球为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，    由树状图得，共有种等可能出现的结果，其中，两个球都是红球的结果有6种， ∴从袋子中随机地摸出2个球，则这两个球都是红球的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解题意，正确画出树状图． 17． 【分析】列举法求出所有的情况，再利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：拨打电话共有，6种等可能的结果，第一次就拨对电话的结果有1种， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查列举法求概率．正确的求出所有的可能性，是解题的关键． 18． 【分析】此题考查了几何概率，根据题意得到可将圆的面积均匀地分为（份），其中B区域占2份，根据概率公式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，可将圆的面积均匀地分为（份）， 其中B区域占2份，故P（指针落在B区域）． 19．公平，理由见详解 【分析】本题考查的是概率计算，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．利用树状图法列举出所有可能和差为正数和非正数的结果数，进而求出概率；较甲、乙获胜的概率即可得出是否公平． 【详解】解：此游戏规则公平，根据题意列表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的结果，其中这两个数的差为正数的情况占6种，非正数的情况占6种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 则此游戏规则公平． 20．(1) (2) 【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口， ∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果， ∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为． 21．(1) (2)补全的频数分布直方图见解析 (3) 【分析】（1）根据表格数，由频数除以频率，求得总人数，进而求得的值； （2）根据（1）的结论，补全频数分布直方图； （3）根据画树状图法求得概率即可求解． 【详解】（1）由表格可得，   全体参赛的选手人数有：， 则． 故答案为： （2）补全的频数分布直方图如图所示，   （3）如图，所有结果如下：   ∵共有20种等可能的结果，两名主持人恰为一男一女的有12种情况， ∴恰好选到一男一女的概率 ． 【点睛】本题考查了频数分布表，频数直方图，画树状图法求概率，综合运用以上知识是解题的关键． 22．(1) (2)这种方法不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）分别计算出两人获得电影票的概率，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有8个小球，其中球面数字为5的小球有2个，且每个小球被摸到的概率相同， ∴小明摸到球面数字为5的概率为； （2）解：这种方法不公平，理由如下： 由题意得，小颖得到电影票的概率为， 小明得到电影票的概率为， ∵， ∴这种方法不公平． 23．(1)两个转盘所转到的两个数字都是1的概率为 (2)两个转盘所转到的两个数字的乘积是奇数概率为 【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； （2）从表格中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： 数字 1 2 3 1 2 3 4 由表知，共有12种等可能结果，其中两个转盘所转到的两个数字都是1只有1种结果，所以两个转盘所转到的两个数字都是1的概率为； （2）解：由表知，共有12种等可能结果，其中两个转盘所转到的两个数字的乘积是奇数的有4种结果， 所以两个转盘所转到的两个数字的乘积是奇数概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 24．(1)； (2)． 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）画出树状图，可求得抽取的两张卡片结果中数字之和为偶数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：一共有4张卡片，卡片上的数字为正数的有2和3两张， 所以任意抽取一张卡片，卡片上的数字为正数的概率是， 故答案为：； （2）解：树状图如下： 一共有12种情况，数字之和为偶数的情况有4种， ∴取出的两张卡片上数字之和为偶数的概率为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 学科网（北京）股份有限公司 $$