2.1认识一元二次方程第2课时教学设计2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.1认识一元二次方程 第2课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是九年级上册第二章一元二次方程第一节第2课时，核心内容包括：通过“估算-验证”探索一元二次方程的解的大致范围，借助函数图像理解方程解与函数零点的关系，掌握用“夹逼法”求一元二次方程的近似解。 （二）教学内容解析 本节课是在学生理解一元二次方程概念后，从“求根”角度的首次探索，是连接“方程概念”与“公式法、因式分解法”等精确解法的桥梁。其核心价值在于： • 思想层面：首次引入“通过函数研究方程”的数形结合思想，为后续学习二次函数与一元二次方程的关系奠定基础。 • 方法层面：“夹逼法”是重要的数值逼近方法，体现了从“无限接近”到“近似确定”的数学思维，培养学生的估算能力和逻辑推理能力。 • 知识衔接：近似解的探索过程，能让学生在后续学习精确解法时，更深刻理解“为何需要求根公式”“解的存在性”等问题，是方程解法学习的必要铺垫。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】探索一元二次方程的解或近似解. 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1、能通过“估算-计算-缩小范围”的过程，用夹逼法求出一元二次方程的近似解（精确到0.1或0.01）。 2、 结合具体函数图像，初步理解“一元二次方程的解就是对应二次函数图像与x轴交点的横坐标”，体会数形结合思想。 3、在探索近似解的过程中，提升数据分析能力和逻辑推理能力，感受数学方法的严谨性。 （二）教学目标解析 1、“夹逼法”是核心技能，需明确其操作步骤（先确定解的大致区间，再逐步缩小范围），能针对具体方程（如x2 - 2x - 1 = 0）完成至少两次范围缩小，最终得到符合精度要求的近似解。这是后续学习精确解法的基础工具。 2、“数形结合”是核心思想，无需深入讲解二次函数性质，只需通过具体例子（如画出y = x2 - 2x - 1的草图，观察其与x轴交点），让学生直观感知“方程的解”与“函数交点”的对应关系，建立“用函数看方程”的初步意识。 3、通过“猜-算-验”的反复尝试，让学生体验“从不确定到确定”的探索过程，感受数学方法的实用性（如实际问题中无需绝对精确的解），增强解决方程问题的信心。 三、学生学情分析 已掌握一元二次方程的概念及一般形式，能判断方程类型；会计算具体数值代入方程后的结果（如将x=2代入x2 - 3x + 1 = 0，求出左边等于-1）；对一次函数与一元一次方程的关系有初步认知（如y=kx+b与x轴交点横坐标是kx+b=0的解），可迁移至此课的数形结合理解。 逻辑推理短板：对“为何当x=a时方程左边为正，x=b时为负，解就在a和b之间”的“零点存在性”直觉不足，需通过具体计算结果验证，无法理解抽象原理。 操作规范短板：使用夹逼法时，易出现“范围缩小无规律”（如第一次取x=1，第二次直接取x=3，未逐步缩小）或“计算错误导致范围判断失误”，需教师示范步骤。 数形结合短板：无法主动将方程与函数关联，需教师引导画出函数草图，通过“看交点”辅助确定解的范围。 基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】培养学生的估算意识和能力. 四、教学策略分析 教法：问题链驱动+示范讲解+小组合作 1、问题链驱动：以“如何确定方程x2 - 2x - 1 = 0的解？”为主问题，拆解为： ◦ 第一步：“这个解大概在哪个整数之间？”（引导估算初步范围）； ◦ 第二步：“这个范围能再小一点吗？比如精确到0.1？”（引导夹逼法第一步缩小）； ◦ 第三步：“如何判断这个近似解是否符合要求？”（明确精度标准）。 2、示范讲解：针对夹逼法的关键步骤（确定初始范围、取中间值计算、判断新范围），教师以一道例题完整示范，强调“计算后根据正负号缩范围”的核心逻辑，避免学生盲目试值。 五、教学过程分析 （一）复习引入 问题1：一元二次方程有哪些特点？① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③整式方程. 问题2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 + bx+c = 0(a，b，c为常数，a≠0) 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 探究一： 问题1：下面哪些数是方程 x2 – 2x – 8 = 0 的解? -4，-3，-2，-1，0，1，2，3 ，4 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  x2 – 2x – 8 像数-2，4使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(又叫做根). 问题2：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8 -2x)(5-2x)= 18，你能求出这个宽度吗？8 m 5 m (1) x可能小于0吗?说说你的理由． x 不可能小于 0 ，因为宽度不能为负. 追问：x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由. x 不可能大于 4 ，(8-2x)表示地毯的长，所以有 8-2x > 0. x 不可能大于 2.5 ，(5-2x) 表示地毯的宽，所以有 5-2x > 0. (2) 你能确定 x 的大致范围吗？ (3) 你知道地毯花边的宽 x(m) 是多少吗？ 你还有其他求解方法吗？ 问题3：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程72＋(x＋6)2 ＝ 102 ，也就是x2 +12 x - 15 = 0. (1) 小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？ (2) 底端滑动的距离可能是 2 m 吗？可能是 3 m 吗？为什么？ (3)你能猜出滑动距离 x(m) 的大致范围吗？ (4)由(3)可知x的整数部分是1，那它的十分位是几？ 上述求解是利用了“两边夹”的思想 用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤： ①在未知数x的取值范围内排除一部分取值; ②再次进行排除，取值范围确定在两个连续整数之间; ③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选; ④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据. 例 请估算出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根(精确到0.1). 分析：①先列表确定整数部分，当2＜x＜3时，-1＜ x2 -2x -1＜2，则正数根在2到3之间； ②再列表确定十分位部分，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜ x2 -2x -1＜0.25，则正数根在2.4到2.5之间； ③最后确定百分位部分，当x=2.45时， x2 -2x -1的值是否大于0，若大于0，则正数根在2.4到2.45之间；若小于0，则正数根在2.45到2.50之间.再根据精确到0.1，四舍五入取值即可. 随堂练习： 1.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方.您能求出这五个整数分别是多少吗？ 2.根据题意，列出方程，并估算方程的解：一个面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m. 苗圃的长和宽各是多少？ 3.有一条长为 16 m 的绳子，你能否用它围出一个面积为 15 m2 的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？ （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是(　　) A．x2－2x＋3＝0　 B．x2－3x＋2＝0 C．x2－2x－3＝0　 D．x2＋3x－2＝0 2．已知x＝2是一元二次方程x2－bx＋6＝0的解，则b的值为(　　) A．－5　 B．5　　 C．4　 D．－4 3．根据下面的表格，确定方程x2－8x＋7.5＝0的一个解的取值范围是_ _. x 1.0 1.1 1.2 1.3 x2－8x＋7.5 0.5 －0.09 －0.66 －1.21 4．通过填表求出方程x2－2x－3＝0的根： x －2 －1 0 1 2 3 x2－2x－3 5 0 －3 －4 －3 0 所以，方程x2－2x－3＝0的根是__ _. 5.请求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正数根(精确到0.1)． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$