专题10 立体几何（讲义）-2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第10个专题，内容为立体几何。 2026版河北省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题10 立体几何 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1. 了解平面的概念和平面的表示方法；理解平面的基本性质 2. 理解两条直线的位置关系，了解两条异面直线及其所成的角的概念；理解平行于同一条直线的两条不重合的直线互相平行；对于异面直线间的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离 3. 理解直线与平面的位置关系，了解直线与平面平行的判定和性质，了解直线与平面垂直的判定和性质，了解直线与平面所成的角的含义；理解三垂线定理；能运用这些概念、定理论证和解决相关简单的问题 4. 了解两平面的位置关系，了解两平面平行的判定和性质，了解二面角及其平面角，理解两平面相互垂直的判定和性质；能运用这些概念、定理论证和解决相关简单的问题． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025样卷 选择题 11 三视图 3 （1）题型：集中在选择题，填空题，2024年前是1选择题2填空题，2025年样卷是2选择题1填空题。 （2）分值：2024年前分值在7分，2025年样卷为9分。 选择题 14 圆锥 3 填空题 25 线面的平行与垂直 3 2024 选择题 11 线面平行和线面垂直 3 填空题 27 二面角、点到线的距离 2 填空题 29 正方体、二面角 2 2023 选择题 14 线面平行和线面垂直 3 填空题 28 线面垂直、二面角 2 填空题 29 二面角、线面所成角 2 2022 选择题 13 线面垂直、两平面平行、异面直线 3 填空题 28 直线与平面所成角 2 填空题 29 线面垂直、二面角 2 2021 选择题 14 二面角 3 填空题 23 面面垂直 2 填空题 29 二面角 2 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河北省对口招生考试可能有3道题目考查立体几何，题型均为单项选择题或填空题，分值各3分，共9分。 具体考点可能涉及如下内容： · 线面平行和线面垂直、面面平行和面面垂直 · 异面直线所成角、线面所成角、二面角 · 几何体的表面积、体积 · 三视图 四、知识梳理 （一）简单几何体 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 侧面展 开图 侧面积公式 S圆柱侧＝ 2πrl　 S圆锥侧＝ πrl　 2.柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积 　　　名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝ S底h　 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝ S底·h　 球 S＝ 4πR2　 V＝πR3 3.三视图 主视图、俯视图、左视图统称为三视图． 画三视图时应遵守： （1）位置规定：主视图画在左上方位置，左视图画在主视图的右侧，俯视图画在主视图的下方；同一物体放置位置不同，画出的三视图不同． （2）投影规律：主视图中的长与俯视图中的长相同（长对正），主视图中的高与左视图中的高相同（高平齐）；俯视图中的宽与左视图中的宽相同（宽相等）． （3）画线规则：绘制三视图时，可见的轮廓线画成实线，不可见的轮廓线画成虚线． （二）空间平面、直线的位置关系 1. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2.空间点、直线之间的位置关系 直线与直线 平行 关系 图形语言 符号语言 a∥b 相交 关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A 独有 关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 3．空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． (2)平行直线——同一平面内，没有公共点． (3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 4.异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：. (2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. （三）直线、平面平行的判定与性质 1.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α， _a∥b__ _a∥α__ a∥α，a⊂β， _α∩β＝b__ 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ _a∥b__ 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 _α∩β＝∅__ _a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α__ _α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b__ α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α （四）直线、平面垂直的判定与性质 1. 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直 ①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. ③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为. ②线面角θ的范围：θ∈. 2.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直 ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.　 五、10分钟小测验 一、单选题 1．如图，这是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．如果是空间中两条直线，下列说法正确的是 A．要么相交，要么平行 B．要么相交，要么异面 C．要么平行，要么垂直 D．不相交时，要么平行，要么异面 4．在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）． A． B． C． D． 5．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则（   ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 6．下列命题中正确的是（　　） A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 二、填空题 7．如图，在正方体中，与平面所成的角等于 . 8．已知圆柱的底面半径是1，若圆柱的体积是，则该圆柱的高是 . 9．已知圆锥的底面周长为，高为5，则该圆锥的体积为 . 10．若一个球的半径为3，则其体积为 . 答案 1．A 【分析】利用俯视图的定义和空间想象进行判断即可. 【详解】根据图形显示可知，俯视图是从上往下看所得到的投影形成的平面图形， 从上往下投影，是T字形的图形，第一排有三个正方形，第二排位于中间有一个正方形， 所以选项A符合. 故选：A. 2．B 【分析】利用圆柱的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，故圆柱的侧面积为：. 故选：B. 3．D 【分析】根据空间中直线的位置关系的类型可得正确的选项. 【详解】空间直线间的位置关系有相交，平行或异面， 故D正确； 故选：D. 4．A 【分析】利用正方体的性质，通过平移即可得就是直线与所成的角或其补角，通过计算即可求解. 【详解】 由正方体的性质可知：， 所以就是直线与所成的角或其补角， 由正方体的性质可知：平面，平面， 所以， 假设正方体的棱长为，则， 所以有， 因为为锐角，所以， 故选：A. 5．D 【分析】根据面面平行、面面垂直的判定和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，可能平行，也可能异面，所以A错误； 对于选项B： 若，则可能平行，也可能相交，所以B错误； 对于选项C： 若，则可能平行，可能垂直，可能异面，所以C错误； 对于选项D： 若，那么经过的平面与垂直，所以，所以D正确. 故选：D. 6．C 【分析】根据线面垂直的判定及面面垂直的判定方法结合选项可得答案. 【详解】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A不正确; 一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直， 由平面与平面垂直的判定定理知B，D均不正确，C正确. 故选：C. 7．/ 【分析】由线面角的定义结合正方体性质即可求解. 【详解】由正方体性质可知，平面， 从而与平面所成的角为， 因为为等腰直角三角形，所以. 故答案为：. 8．2 【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式列式求解. 【详解】设圆柱的高为，依题意，，所以. 故答案为：2 9． 【分析】根据圆锥底面周长求出底面半径，再结合圆锥体积公式求出圆锥体积. 【详解】已知圆锥底面周长，（其中为底面半径），解得， 已知圆锥的高，由圆锥体积公式可得：. 故答案为： 10． 【分析】根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为球的半径为， 所以球的体积为. 故答案为： 六、经典例题解析 【考试题型1】三视图 【例1】（2025河北对口升学样）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 A.①② B. .①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】D 【详解】由三视图可知，正方体三视图都相同，正三棱台三视图各不相同，只有圆锥和正四棱锥满足正视图和左视图相同，故选D， 【考试题型2】几何体 【例2】（2025河北对口升学样卷）已知圆锥的侧面展开图是一个面积为18π的半圆面，则该圆锥的高为（ ） A． 3 B． C． D．6 【答案】C 【详解】如图所示，由圆锥的侧面展开图是一个面积为18π的半圆面可得，R为圆锥的侧面展开图的半径，即圆锥的母线长；，r为圆锥的底面半径，则圆锥的高， 故选：C . 【考试题型3】直线与平面 【例3】（2025河北对口升学样卷）已知m,n是两条不同的直线，是一个平面，给出下列四个结论： （1）若；（2）若； （3）若； （4）若. 其中，所有正确结论的序号是 (1) (4) . 【答案】(1) (4) 【详解】两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于为个平面，故（1）正确； 两条直线都平行于同一个平面，则两条直线可能平行，相交，异面，故（2）错误； 平行于同一条直线的一条直线和一个平面，可能平行，也可能线在面内，故（3）错误； 垂直于同一个平面的两条直线平行，故（4）正确. 故答案为：(1) (4) 【例4】（2024河北对口升学）已知m是直线，，是两个不同平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【详解】，故A错误； 垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确； ；故C错误； ，故D错误。 故选：B 【例5】（2023年河北对口）已知直线，直线，且，以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行、垂直的知识判断. 【详解】选项A中，要证明，需要一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，错误； 选项B中，要证明，一个平面上的一条直线垂直于另一个平面上的两条相交直线，条件不足，错误； 选项C中，若，仅能证明，或，条件不足，错误； 选项D中，直线，直线，且，，则，证明成立，正确. 故选：D 【例6】（2022年河北对口）下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 若直线a垂直于平面α，则a垂直于α内任何一条直线 C. 若平面α内有三个点到平面β的距离相等，则α∥β D. 若两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据点、线、面特殊关系的性质定理解答. 【详解】A、不共线的三点确定一个平面，故A错误； B、根据线面垂直的性质定理：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线，则B说法正确； C、若一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等，则两平面平行，故C说法错误； D、若两条直线a，b没有公共点，两直线可能是异面直线，也可能是平行线，故D说法错误. 故选:B. 【考试题型4】角 【例7】（2024河北对口升学）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，现将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角（如图），则点C到BD的距离为________． 【答案】## 【详解】连接BC， 故答案为：. 【例8】（2024河北对口升学）在正方体中，二面角余弦值为________． 【答案】 【详解】O为BD的中点， 故答案为：. 【例9】（2023年河北对口）已知矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角，，G为DC的中点，则CE与AG所成角为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先由平行直线找到异面直线所成的角，再由边的关系求解即可. 【详解】取AB中点记H，连接CH，DH，EH， 因为G，H分别为CD，AB中点， 因为为矩形，所以，， 所以为平行四边形，所以， 所以直线CE与AG所成角， 因为ABCD是矩形，为正方形，， 所以，， 因为矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角， 所以可知面ABCD，面ABCD， 所以， 所以为直角，即， 因为在三角形EHC中有，， 所以三角形EHC为直角三角形， 所以在直角三角形EHC中有，， 所以， 所以直线CE与AG所成角为. 故答案为：. 【例10】（2022年河北对口）（28）已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面所成角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】 作于点,连接如图所示. 线段即为点到平面的距离,是在平面的射影. 所以为直线与平面所成的角. 所以. 又因为. 所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为:. 【例11】（2021年河北对口）（29）已知正方形的边长为1，对角线与的交点为，以为棱折成的二面角，则点到的距离为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据二面角的定义找出二面角的平面角，再结合点到直线的距离和正弦的定义即可求解. 【详解】如图， 因为平面平面，且平面平面， 由四边形是正方形可知， 所以为二面角的平面角，即， 设点到的距离为，则. 故答案为： 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 空间几何体的结构、三视图与表面积体积 几何体 表面积公式 体积公式 三视图特点 棱柱 S表​=S侧​+2S底​ V=S底​⋅h 各视图通常为平行四边形或矩形 棱锥 S表​=S侧​+S底​ V=S底​⋅h 俯视图有多边形，正/侧视图有共顶点的三角形 圆柱 S表​=2πr(r+h) V=πr2h 正视图和侧视图相同，为矩形；俯视图为圆 圆锥 S表​=πr(r+l) V=πr2h 正视图和侧视图相同，为等腰三角形；俯视图为圆（带圆心） 球 S表​=4πR2 V=πR3 三个视图都是圆 表面积计算口诀：“看清几何体，公式记心里；多面体加和，旋转体展开” 2. 空间中的位置关系（八大判定定理与性质定理） 关系判定口诀：“证明线面平行，就在面内找条线；证明线面垂直，面内两条交线要垂直” （二）、解题策略与技巧 1. 证明题“路径法” ​核心思想：分析结论，逆向寻找条件，形成一条清晰的证明路径（即“执果索因”）。 · 证明平行：线线平行 → 线面平行 → 面面平行。 · 证明垂直：线线垂直 → 线面垂直 → 面面垂直。 2. 空间角与距离的求解“三步法” 几何体 表面积公式 体积公式 三视图特点 线线角 平移至一个三角形内 说明所找角即为所求角 解三角形（余弦定理） 线面角 找斜足，作垂线，连接垂足与斜足 证明所作角为线面角 解直角三角形（sinθ= h/斜线段长） 二面角 找棱，作垂直于棱的平面角 证明所作角为二面角的平面角 解三角形（常用余弦定理） 点面距 作点在面上的垂线 证明所作线垂直 解直角三角形 （三）、易错点总结 一、平面向量 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 三视图还原直观图时线实虚不分 忽视虚线表示的不可见轮廓线 空间想象能力不足，还原图形错误 “长对正、高平齐、宽相等”，尤其注意虚线与实线的区别 证明条件不充分 证明线面垂直时，只证明一条线垂直面内一条线 缺少“面内两条相交直线”的条件 严格按判定定理书写，缺一不可 公式记忆错误 球体积公式误用：V=πR3 系数错误 强化公式记忆 （四）、复习建议 一、平面向量 1、学生能力培养重点： 模型化思维：将复杂几何体放入长方体、正方体等常见模型中思考。 双重解法能力：一道题既用综合几何法证明，又用空间向量法验证，培养空间想象和计算能力。 规范表述训练：严格按“作、证、求”三步书写，避免跳步失分。 2. 真题演练方向： 题型1：三视图还原与表面积体积计算。 题型2：平行与垂直的证明（尤其关注棱柱、棱锥中的中点、中位线）。 题型3：空间角（尤其是线面角和二面角）的求解。 题型4：距离（点面距、线面距）的求解。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$