第一章 充要条件（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第一章充要条件的考点梳理卷，主要梳理和考查命题的真假判断、充分条件的理解与判断、必要条件的理解与判断、充要条件的理解与判断等常见考点。 第一章 充要条件 目录 考点一 命题的真假判断 1 考点二 条件关系中的“条件”与“结论” 2 考点三 充分条件的理解与判断 3 考点四 必要条件的理解与判断 3 考点五 充要条件的理解与判断 4 考点六 四种条件关系的辨析 4 考点七 利用集合关系理解充要条件 5 考点八 命题真假的逆用判断条件关系 6 考点九 充要条件在数学定理中的应用 7 考点十 综合应用 8 考点一 命题的真假判断 1．下列命题为真命题的是（ ） A. 如果1>2，那么3>4 B. 如果x2=1，那么 x=1 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 若一个数是6的倍数，则它一定是3的倍数 【答案】D 【分析】本题考查对命题真假的判断． 【详解】A：条件“1>2”为假。但无论结论“3>4”真假如何，条件假时，命题“若p则q”总为真。然而，这是一种逻辑规定，在数学中我们更关注条件为真时结论是否必然为真。通常我们只研究条件可能为真的命题，此类命题被视为真命题有一定争议。更严谨地说，这是一个真命题，但不符合数学常识判断。B：条件“x²=1”成立时，结论“x=1”不一定成立（x还可能为-1）。故这是一个假命题。C：对角线相等的四边形也可以是等腰梯形等，不一定是矩形。假命题。D：因为6是3的倍数，所以6的倍数一定是3的倍数。这是一个真命题。故选D 2. 命题“若 a2>b2，则 a>b”的真假是（ ） A. 真命题 B. 假命题 C. 不是命题 D. 无法判断 ​ 【答案】B 【分析】考查举反例判断命题真假的能力. 【详解】取反例，令 a=−3, b=2。则 a2=9>b2=4，但a=−3<b=2。因此，条件成立时，结论不一定成立，该命题是假命题．故选B 考点二 条件关系中的“条件”与“结论” 3．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”中，条件p是（ ） A. 四边形是菱形 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 四边形的对角线互相垂直 【答案】D 【分析】考查识别命题的条件和结论 【详解】原命题可改写为“如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形”。因此，条件是“四边形的对角线互相垂直”. 故选：D. 4. 将命题“对顶角相等”写成“若 p，则 q”的形式，其中结论 q 是（ ） A. 两个角 B. 两个角是对顶角 C. 相等 D. 两个角相等 【答案】D 【分析】考查将数学命题转化为标准逻辑形式的能力. 【详解】命题“对顶角相等”的含义是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。因此，结论q是“两个角相等”. 故选：D. 考点三 充分条件的理解与判断 5. “x>2” 是 “x>1” 的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】考查充分条件的定义. 【详解】如果x>2，那么必然有x>1。即“若p，则q”为真。因此，“x>2”是“x>1”的充分条件，故选A. 6. 设 a,b∈R，则“a>b”是“a∣a∣>b∣b∣”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】考查对较复杂不等式关系的充分性判断. 【详解】当 a,b≥0 时，不等式化为 a2>b2，由 a>b≥0 可得成立；当 a≥0,b<0 时，左边 a∣a∣=a2≥0，右边 b∣b∣=b(−b)=−b2<0，显然成立；当 a<0,b<0 时，不等式化为−a2>−b2，即 a2<b2。由 a>b 且均为负，得 ∣a∣<∣b∣，故 a2<b2 成立。反之，由 a∣a∣>b∣b∣ 也能推出a>b（证明略）。因此，它也是必要条件. 故选C. 考点四 必要条件的理解与判断 7. “四边形是平行四边形”是“四边形是矩形”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】考查必要条件的定义. 【详解】如果一个四边形是矩形，那么它一定是平行四边形。即“若q，则p”为真。因此，“四边形是平行四边形”是“四边形是矩形”的必要条件。但它不是充分的（因为平行四边形不一定是矩形）. 故选B. 8. “sinθ=​” 是 “θ=30” 的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】考查三角函数值与角度的对应关系 【详解】如果θ=30，那么必然有sinθ=​。即“若q，则p”为真，故p是q的必要条件。但是，sinθ=时,θ还可以是150°或其他终边相同的角，所以不是充分条件. 故选B. 考点五 充要条件的理解与判断 9. 在△ABC 中，“ A=B”是“sinA=sinB”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C. 【分析】考查三角形中角度与正弦值的关系. 【详解】充分性：若A=B，则显然 sinA=sinB；必要性：在三角形中，若 sinA=sinB，则 A=B 或 A=180−B。但由于 A+B<180，所以 A=180−B 不成立。因此必有 A=B。故是充要条件. 故选C. 10. “a=0” 是 “复数 a+bi 为纯虚数” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】考查纯虚数的定义 【详解】充分性：若a=0，但若b=0，则复数为0，不是纯虚数。故不是充分条件。 必要性：若复数a+bi是纯虚数，则必有实部a=0。故是必要条件.故选B. 考点六 四种条件关系的辨析 11. 设 x∈R，则“∣x−1∣<2”是“x<3”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】考查解绝对值不等式及条件关系的判断. 【详解】∣x−1∣<2 得 −2<x−1<2，即−1<x<3。如果−1<x<3，则一定有x<3。故是充分条件。如果 x<3，不一定有−1<x<3（例如x=-2也满足x<3，但不满足原式）。故不是必要条件。因此是充分不必要条件.故选A 12. “m=1” 是 “直线 x−my+1=0 与直线 x+y−1=0 互相垂直” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】考查两直线垂直的充要条件. 【详解】两直线垂直的充要条件是：11+(−m)1=0，即 1−m=0，解得 m=1。 当 m=1 时，两直线垂直。故是充分条件。要使两直线垂直，必须有 m=1。故也是必要条件.故选C. 考点七 利用集合关系理解充要条件 13. 设p:x2−5x+6<0， q:∣x−2∣<1，则 p 是 q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】考查将条件转化为集合，通过集合包含关系判断条件关系. 【详解】解不等式：p:x2−5x+6<0即(x−2)(x−3)<0，解得2<x<3。集合P=(2,3)。 q:∣x−2∣<1，解得1<x<3。集合Q=(1,3)。因为 P=(2,3) ⫋ Q=(1,3)，所以： 若x∈P，则必有x∈Q，即p⇒q。小范围推大范围，是充分的。若x∈Q，不一定有x∈P（例如x =1.5），即qp。故p不是q的必要条件。 因此，p是q的充分不必要条件. 故选A. 14. 已知 p:−1<x<2， q:0<x<3，则p 是 q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】直接通过数轴观察集合的包含关系. 【详解】集合 P=(−1,2)，集合Q=(0,3)。易见 P⫋Q。小范围 P 可以推出大范围 Q (p⇒q)，故是充分条件。大范围 Q 不能推出小范围 P (q⇏p)，故不是必要条件。 因此是充分不必要条件. 故选A. 考点八 命题真假的逆用判断条件关系 15. 若“x>k”是“x>1”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ） A. k<1 B.  k≤1 C.  k>1 D.  k≥1 【答案】C 【分析】逆用充分不必要条件的定义. 【详解】“x>k”是“x>1”的充分不必要条件，意味着{x∣x>k}是{x∣x>1}的真子集。即k>1。这样，所有大于k的数必然大于1，但大于1的数不一定大于k（例如1.5不大于k如果k>1.5）.故选C. 16. 若“−1<x<m”是“x2−2x−3<0”的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ） A.  m>−1 B.  m≥3 C.  m>3 D.  m≤−1 【答案】C 【分析】逆用必要不充分条件的定义. 【详解】先解不等式 x2−2x−3<0，即  (x−3)(x+1)<0，解得 −1<x<3。设其解集为A。 “ −1<x<m”是A的必要不充分条件，意味着 A⫋（−1，m）。即集合（−1，m） 必须完全包含 A=(−1,3)，且比A大。所以 m 必须满足 m>3。但为了确保包含整个A区间，m 至少需要等于3，如果m=3，则集合是(-1,3)，与A相等，此时是充要条件，不符合“不充分”的要求。因此必须 m>3. 故选C. 考点九 充要条件在数学定理中的应用 17. 在平面几何中，“四边形的两组对边分别平行”是“该四边形是平行四边形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】考查平行四边形判定定理与定义的关系. 【详解】这是平行四边形的定义，因此是充要条件. 故选C. 18. 在数列{an​}中，“ an+1​−an​=d（常数）”是“数列{an​}是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】考查等差数列的定义. 【详解】充分性：根据定义，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列。故是充分条件。必要性：如果一个数列是等差数列，那么 an+1​−an​=d 对任意 n∈成立。故也是必要条件. 故选C. 考点十 综合应用 19. 设a,b∈R，则“a>1 且 b>1”是“ab>1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】考查多个条件的综合充分必要性. 【详解】充分性：若 a>1 且b>1，则显然 ab>1。成立。必要性：若 ab>1，不一定有 a>1 且 b>1。例如 a=−2,b=−1，满足ab=2>1，但不满足a>1,b>1.故选A. 20. 设计一个电路图，要求开关A,B都闭合时灯泡才亮。设p:开关A闭合，q:开关B闭合， r:灯泡亮。则r是p,q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】考查逻辑关系在实际生活中的应用. 【详解】根据要求，“灯泡亮”当且仅当“开关A闭合”且“开关B闭合”。 因此，r 是 p 和 q 同时成立的充要条件。或者说，r是(p且q)的充要条件.故选C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 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是 “θ=30” 的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点五 充要条件的理解与判断 9. 在△ABC 中，“ A=B”是“sinA=sinB”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. “a=0” 是 “复数 a+bi 为纯虚数” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点六 四种条件关系的辨析 11. 设 x∈R，则“∣x−1∣<2”是“x<3”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. “m=1” 是 “直线 x−my+1=0 与直线 x+y−1=0 互相垂直” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点七 利用集合关系理解充要条件 13. 设p:x2−5x+6<0， q:∣x−2∣<1，则 p 是 q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知 p:−1<x<2， q:0<x<3，则p 是 q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点八 命题真假的逆用判断条件关系 15. 若“x>k”是“x>1”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ） A. k<1 B.  k≤1 C.  k>1 D.  k≥1 16. 若“−1<x<m”是“x2−2x−3<0”的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ） A.  m>−1 B.  m≥3 C.  m>3 D.  m≤−1 考点九 充要条件在数学定理中的应用 17. 在平面几何中，“四边形的两组对边分别平行”是“该四边形是平行四边形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 18. 在数列{an​}中，“ an+1​−an​=d（常数）”是“数列{an​}是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点十 综合应用 19. 设a,b∈R，则“a>1 且 b>1”是“ab>1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 20. 设计一个电路图，要求开关A,B都闭合时灯泡才亮。设p:开关A闭合，q:开关B闭合， r:灯泡亮。则r是p,q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$