第二章 平面向量（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的考点梳理卷，主要考查平面向量的概念、向量的加减法、向量的数乘运算、向量应用等常见考点。 第一章 充要条件 目录 考点一 向量的基本概念及其与数量的区别 1 考点二 几种特殊向量 2 考点三 向量的加减法运算 3 考点四 向量的数乘运算及其几何意义 3 考点五 向量的坐标表示 4 考点六 向量的坐标运算 5 考点七 向量的内积（数量积）的定义与性质 5 考点八 向量内积的坐标运算 6 考点九 中点公式和定比分点公式 7 考点十 向量在平面几何中的应用 8 考点一 向量的基本概念及其与数量的区别 1．下列选项中，属于向量的是（ ）​ A. 线段的长度 B. 物体的质量 C. 物体运动的速度 D. 温度​ 【答案】C 【分析】本题考查向量与数量的本质区别，向量是既有大小又有方向的量，数量是只有大小没有方向的量． 【详解】选项 A “线段的长度” 只有大小，无方向，属于数量；选项 B “物体的质量” 仅体现大小，无方向，是数量；选项 C “物体运动的速度” 既有大小，又有方向，符合向量定义；选项 D “温度” 只有正负大小，无方向，属于数量。故选C 2. 关于向量和数量的说法，正确的是（ ）​ A. 向量可以比较大小 B. 数量和向量都可以用数轴上的点表示​ C. 向量的模是数量 D. 数量有方向，向量无方向​ ​ 【答案】C 【分析】本题综合考查向量与数量的概念及性质，需明确两者在大小比较、表示方法、模的属性等方面的差异. 【详解】选项 A 错误，向量因有方向，不能直接比较大小，只能比较模的大小；选项 B 错误，数量可在数轴上用点表示，但向量需用有向线段表示，不能仅用数轴上的点；选项 C 正确，向量的模是向量的大小，只有大小无方向，属于数量；选项 D 错误，数量无方向，向量有方向，该选项表述颠倒．故选C 考点二 几种特殊向量 3．下列关于零向量的说法，错误的是（ ）​ A. 零向量的长度为0 B. 零向量的方向是任意的​ C. 零向量与任意向量平行 D. 零向量与任意向量垂直 【答案】D 【分析】本题考查零向量的定义和性质，需准确记忆零向量在长度、方向及与其他向量位置关系上的特殊属性 【详解】根据零向量的定义，零向量长度为0，方向任意，且与任意向量平行，这是零向量的核心性质，故选项 A、B、C 正确；选项 D 错误，零向量与任意向量的垂直关系无定义，不能说零向量与任意向量垂直. 故选：D. 4. 若向量​与向量​是相等向量，则下列说法一定成立的是（ ）​ A. ​与的起点相同 B.与​的终点相同​ C. 与的模相等且方向相同 D. ​与​在同一条直线上 【答案】C 【分析】本题考查相等向量的定义，相等向量的关键属性是 “模相等且方向相同”，与起点、终点位置无关. 【详解】相等向量的定义为 “长度（模）相等且方向相同的向量”，与向量的起点和终点位置无关，故选项 A、B 错误；选项 C 符合相等向量的定义，正确；选项 D 错误，相等向量不一定在同一直线上，只要方向相同、模相等即可，如平行四边形中对边对应的向量是相等向量，但不一定共线. 故选：C. 考点三 向量的加减法运算 5. 在平行四边形​ABCD中，+=（ ）​ A. ​ B. C. ​ D. ​ 【答案】A 【分析】本题考查向量加法的平行四边形法则，需结合平行四边形的性质，明确向量加法中 “首尾相接”或 “共起点”的运算规则. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则：在平行四边形中，以从同一顶点出发的两条边对应的向量为邻边，作平行四边形，则从该顶点出发的对角线对应的向量就是这两个邻边向量的和。在平行四边形​ABCD中，与​从顶点​A出发，是邻边向量，对角线​从​A出发，故+=.故选A. 6. 已知向量，​，则−等于（ ）​ A.+(−) B. ​− C. ​+ D. ​−(+) 【答案】A 【分析】本题考查向量减法的定义，向量减法是向量加法的逆运算，核心是 “减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”. 【详解】根据向量减法的定义，对于任意向量​和​，​−的本质是​加上的相反向量，即​−=+(−)，故选项A正确；选项 B 中−=−(−)，与​−互为相反向量，错误；选项 C、D 均不符合向量减法定义，错误. 故选A. 考点四 向量的数乘运算及其几何意义 7. 已知向量，实数​λ=−2，则下列关于​λ的说法，正确的是（ ）​ A. ​λ与​方向相同，长度是的 2 倍​ B. ​λ与​方向相反，长度是​的 2 倍​ C. ​λ与​方向相同，长度是​的​​倍​ D. ​λ与​方向相反，长度是​的​倍 【答案】B 【分析】本题考查向量数乘运算的几何意义，需明确数乘向量中 “实数​λ的符号决定方向，绝对值决定长度” 的规则. 【详解】根据向量数乘的几何意义：对于向量​和实数​λ，​λ的长度为​∣λ∣⋅∣∣，方向由​λ的符号决定 :当​λ>0时，​λ与​方向相同；当​λ<0时，​λ与​方向相反。本题中​λ=−2，​∣λ∣=2，故​λ与​方向相反，长度是​的 2 倍. 故选B. 8. 若向量​=3（​0），则​与​的位置关系是（ ）​ A. 垂直 B. 相交 C. 共线 D. 无法确定 【答案】C 【分析】本题考查向量数乘与向量共线的关系，核心定理为 “若存在实数​λ，使得​=λ（0），则​与​共线” 【详解】已知​=3，其中​=0，​3是实数，符合向量共线定理的条件，即存在实数​λ=3，使得​=λ，故​与​共线。选项A“垂直”需满足内积为0，本题无此条件；选项 B “相交” 是针对直线的概念，向量无 “相交”属性；选项 D 错误. 故选C. 考点五 向量的坐标表示 9. 在平面直角坐标系中，若向量​的起点在原点，终点坐标为​(2,−3)，则向量的坐标是（ ）​A. ​(2,3) B. ​(2,−3) C. ​(−2,3) D. ​(−2,−3) 【答案】B. 【分析】本题考查平面向量的坐标定义，若向量起点在原点，终点坐标即为向量的坐标，这是向量坐标表示的基础规则. 【详解】根据平面向量坐标的定义：在平面直角坐标系中，以原点​O为起点，点​P(x,y) 为终点的向量，其坐标就为​(x,y)。本题中向量​起点在原点，终点为​(2,−3)，故​的坐标为​(2,−3). 故选B. 10. 已知向量​=(x,4)，且​∣∣=5，则​x的值为（ ）​ A. ​3 B. ​−3 C. ​±3 D. ​±5 【答案】C 【分析】本题考查向量模的坐标计算公式，对于向量​=(x,y)，其模​∣∣=，需结合模的已知条件求解坐标中的参数 【详解】已知向量​=(x,4)，根据向量模的坐标公式，​∣∣=​。又因​∣∣=5，故可列方程：​=5，解得​x=±3.故选C. 考点六 向量的坐标运算 11. 已知向量​=(1,2)，​=(3,−4)，则​+的坐标是（ ）​ A. ​(4,−2) B. ​(2,−6) C. ​(−2,6) D. ​(−4,2) 【答案】A 【分析】本题考查向量加法的坐标运算规则，若​=(x1​,y1​)，=(x2​,y2​)，则​+=(x1​+x2​,y1​+y2​)，核心是 “对应坐标相加”. 【详解】根据向量加法的坐标运算规则，对于​=(1,2)，​=(3,−4)，横坐标相加为​1+3=4，纵坐标相加为​2+(−4)=−2，故​+=(4,−2).故选A 12. 已知向量​=(2,3)，​λ=−2，则​λ的坐标是（ ）​ A. ​(4,6) B. ​(−4,−6) C. ​(4,−6) D. ​(−4,6) 【答案】B 【分析】本题考查向量数乘的坐标运算规则，若=(x,y)，实数为​λ，则​λ=(λx,λy)，核心是 “实数与向量的横、纵坐标分别相乘”. 【详解】根据向量数乘的坐标运算规则，对于​=(2,3)，​λ=−2，横坐标相乘为​−2×2=−4，纵坐标相乘为​−2×3=−6，故​λ=(−4,−6).故选B. 考点七 向量的内积（数量积）的定义与性质 13. 已知向量​与​的夹角为​60，​∣∣=2，​∣∣=3，则​⋅=（ ）​ A. ​3 B. ​6 C. ​3 ​D. ​6​ 【答案】A 【分析】本题考查向量内积的定义式，若与​的夹角为​θ，则​ ⋅=∣∣∣∣cosθ，需准确代入夹角和模的值计算. 【详解】根据向量内积的定义，⋅=∣∣∣∣cosθ，其中​θ=60，​∣∣=2，​∣∣=3。已知​cos60=0.5，代入得：⋅=2×3×0.5=3. 故选A. 14. 若向量​与垂直，则下列等式一定成立的是（ ）​ A. ​⋅=1 B.⋅=0 C. ​∣∣=∣∣ D. ​= 【答案】B 【分析】本题考查向量垂直的充要条件，向量垂直的核心性质是 “两向量内积为0”，这是向量内积的重要应用. 【详解】根据向量垂直的充要条件：若两个非零向量​与垂直，则它们的内积为0，即​⋅=0；反之，若⋅=0（且​0，​0），则​与​垂直。选项A错误，垂直向量内积为0而非 1；选项 C、D 错误，垂直与向量的模是否相等、向量是否相等无关. 故选B. 考点八 向量内积的坐标运算 15. 已知向量=(1,2)，​=(3,4)，则​⋅=（ ）​ A. ​11 B. ​−11 C. ​5 D. ​−5 【答案】A 【分析】本题考查向量内积的坐标运算公式，核心是 “若​=(x1​,y1​)，​=(x2​,y2​)， 则​⋅=x1​x2​+y1​y2​”，需准确代入坐标进行计算. 【详解】根据向量内积的坐标运算公式，将​=(1,2)，​=(3,4)代入得：​⋅=1×3+2×4=3+8=11.故选A. 16. 已知向量=(2,−1)，​=(m,4)，且​⊥，则​m的值为（ ）​ A. ​2 B. ​−2 C. ​8 D. ​−8 【答案】A 【分析】本题综合考查向量垂直的充要条件与内积的坐标运算，需结合“两向量垂直则内积为 0”的性质，建立方程求解参数. 【详解】因​⊥，根据向量垂直的充要条件可知⋅=0。由内积的坐标运算公式，​⋅=2×m+(−1)×4=2m−4。令​2m−4=0，解得​m=2. 故选A. 考点九 中点公式和定比分点公式 17. 已知点​A(1,2)，点​B(3,4)，则线段​AB的中点​M的坐标是（ ）​ A. ​(2,3) B. ​(4,6) C. ​(−1,−1) D. ​(1,1) 【答案】A 【分析】本题考查中点坐标公式，核心是 “若两点​P1​(x1​,y1​)，​P2​(x2​,y2​)，则中点​P 的坐标为​(​​,)”，需准确代入两点坐标计算. 【详解】已知​A(1,2)，​B(3,4)，根据中点坐标公式，中点​M的横坐标为​=2，纵坐标为​=3，故​M的坐标为​(2,3). 故选A. 18. 已知点​P分线段​P1​P2​的比为​λ=2（即​P1​P​=2PP2​​），其中​P1​(1,0)，​P2​(4,3)，则点​P的坐标是（ ）​ A. ​(2,1) B. ​(3,2) C. ​(4,3) D. ​(5,4) 【答案】B 【分析】本题考查定比分点坐标公式,. 【详解】已知​λ=2，​P1​(1,0)，​P2​(4,3)，根据定比分点坐标公式，横坐标为​​==3，纵坐标为​=​=2，故点​P的坐标为​(3,2). 故选B. 考点十 向量在平面几何中的应用 19. 在​△ABC中，若​⋅=0，则​△ABC的形状是（ ）​ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查向量内积在判断三角形形状中的应用, 核心是利用“向量内积为 0 则两向量垂直”的性质，转化为三角形边的垂直关系. 【详解】与​是从点​A出发的两条边对应的向量，若⋅=0，则​⊥，即​ ∠BAC=90。有一个角为直角的三角形是直角三角形，故​△ABC为直角三角形.故选B. 20. 已知平行四边形​ABCD，若​=(1,2)，​=(2,1)，则平行四边形​ABCD的对角线 的长度为（ ）​ A. ​​ B. ​3​ C. ​5 D. ​3 【答案】B 【分析】本题考查向量加法与向量模在平面几何中的综合应用，需先利用平行四边形性质求出对角线对应的向量，再计算其模. 【详解】在平行四边形中，对角线​=+（向量加法平行四边形法则）。已知​=(1,2)，​=(2,1)，则​=(1+2,2+1)=(3,3)。由向量模的坐标公式：​∣∣==​=​=​，即对角线​的长度为​3.故选B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的考点梳理卷，主要考查平面向量的概念、向量的加减法、向量的数乘运算、向量等常见考点。 第一章 充要条件 目录 考点一 向量的基本概念及其与数量的区别 1 考点二 几种特殊向量 2 考点三 向量的加减法运算 3 考点四 向量的数乘运算及其几何意义 3 考点五 向量的坐标表示 4 考点六 向量的坐标运算 5 考点七 向量的内积（数量积）的定义与性质 5 考点八 向量内积的坐标运算 6 考点九 中点公式和定比分点公式 7 考点十 向量在平面几何中的应用 8 考点一 向量的基本概念及其与数量的区别 1．下列选项中，属于向量的是（ ）​ A. 线段的长度 B. 物体的质量 C. 物体运动的速度 D. 温度​ 2. 关于向量和数量的说法，正确的是（ ）​ A. 向量可以比较大小 B. 数量和向量都可以用数轴上的点表示​ C. 向量的模是数量 D. 数量有方向，向量无方向​ ​ 考点二 几种特殊向量 3．下列关于零向量的说法，错误的是（ ）​ A. 零向量的长度为0 B. 零向量的方向是任意的​ C. 零向量与任意向量平行 D. 零向量与任意向量垂直 4. 若向量​与向量​是相等向量，则下列说法一定成立的是（ ）​ A. ​与的起点相同 B.与​的终点相同​ C. 与的模相等且方向相同 D. ​与​在同一条直线上 考点三 向量的加减法运算 5. 在平行四边形​ABCD中，+=（ ）​ A. ​ B. C. ​ D. ​ 6. 已知向量，​，则−等于（ ）​ A.+(−) B. ​− C. ​+ D. ​−(+) 考点四 向量的数乘运算及其几何意义 7. 已知向量，实数​λ=−2，则下列关于​λ的说法，正确的是（ ）​ A. ​λ与​方向相同，长度是的 2 倍​ B. ​λ与​方向相反，长度是​的 2 倍​ C. ​λ与​方向相同，长度是​的​​倍​ D. ​λ与​方向相反，长度是​的​倍 8. 若向量​=3（​0），则​与​的位置关系是（ ）​ A. 垂直 B. 相交 C. 共线 D. 无法确定 考点五 向量的坐标表示 9. 在平面直角坐标系中，若向量​的起点在原点，终点坐标为​(2,−3)，则向量的坐标是（ ）​A. ​(2,3) B. ​(2,−3) C. ​(−2,3) D. ​(−2,−3) 10. 已知向量​=(x,4)，且​∣∣=5，则​x的值为（ ）​ A. ​3 B. ​−3 C. ​±3 D. ​±5 考点六 向量的坐标运算 11. 已知向量​=(1,2)，​=(3,−4)，则​+的坐标是（ ）​ A. ​(4,−2) B. ​(2,−6) C. ​(−2,6) D. ​(−4,2) 12. 已知向量​=(2,3)，​λ=−2，则​λ的坐标是（ ）​ A. ​(4,6) B. ​(−4,−6) C. ​(4,−6) D. ​(−4,6) 考点七 向量的内积（数量积）的定义与性质 13. 已知向量​与​的夹角为​60，​∣∣=2，​∣∣=3，则​⋅=（ ）​ A. ​3 B. ​6 C. ​3 ​D. ​6​ 14. 若向量​与垂直，则下列等式一定成立的是（ ）​ A. ​⋅=1 B.⋅=0 C. ​∣∣=∣∣ D. ​= 考点八 向量内积的坐标运算 15. 已知向量=(1,2)，​=(3,4)，则​⋅=（ ）​ A. ​11 B. ​−11 C. ​5 D. ​−5 16. 已知向量=(2,−1)，​=(m,4)，且​⊥，则​m的值为（ ）​ A. ​2 B. ​−2 C. ​8 D. ​−8 考点九 中点公式和定比分点公式 17. 已知点​A(1,2)，点​B(3,4)，则线段​AB的中点​M的坐标是（ ）​ A. ​(2,3) B. ​(4,6) C. ​(−1,−1) D. ​(1,1) 18. 已知点​P分线段​P1​P2​的比为​λ=2（即​P1​P​=2PP2​​），其中​P1​(1,0)，​P2​(4,3)，则点​P的坐标是（ ）​ A. ​(2,1) B. ​(3,2) C. ​(4,3) D. ​(5,4) 考点十 向量在平面几何中的应用 19. 在​△ABC中，若​⋅=0，则​△ABC的形状是（ ）​ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 20. 已知平行四边形​ABCD，若​=(1,2)，​=(2,1)，则平行四边形​ABCD的对角线 的长度为（ ）​ A. ​ B. ​3​ C. ​5 D. ​3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$