第一章 充要条件（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第一章充要条件的单元测试卷，主要考主要梳理和考查命题的真假判断、充分条件的理解与判断、必要条件的理解与判断、充要条件的理解与判断等常见考点。 第1章 充要条件 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列语句中是命题的是（ ） A. 你好吗？ B. 请坐下！ C. 对顶角相等。 D. 今天天气真好啊！ 【答案】C 【分析】考查命题的定义． 【详解】命题是能判断真假的陈述句。A、B、D选项分别表示疑问、祈使和感叹，均无法判断真假。只有C选项是陈述句且可以判断真假. 故选：C 2. 命题“若一个数是偶数，则它能被2整除”的逆命题是（ ） A. 若一个数能被2整除，则它是偶数 B. 若一个数不是偶数，则它不能被2整除 C. 若一个数不能被2整除，则它不是偶数 D. 偶数都能被2整除 【答案】A 【分析】考查逆命题的构造. 【详解】原命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”。这里p：一个数是偶数，q：它能被2整除。故逆命题为“若一个数能被2整除，则它是偶数”. 故选：A 3. “x>2”是 “x>1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】考查充分条件和必要条件的判断 【详解】若x > 2，则必然有x > 1（充分性成立）。但若x > 1（例如x=1.5），不能推出x > 2（必要性不成立）。故是充分不必要条件 故选：C 4. “两个三角形面积相等” 是 “两个三角形全等” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】考查充分条件和必要条件的判断 【详解】两个三角形全等则面积必然相等（必要性成立）。但面积相等不一定全等（例如同底等高的三角形，充分性不成立）。故是必要不充分条件. 故选：B 5. 设a,b∈R，则“a>b”是“a³>b³”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】考查函数单调性与充要条件的关系 【详解】函数f(x) = x³在R上单调递增。故a > b 与 a³ > b³ 等价。故是充要条件. 故选：C 6. 在△ABC中，“∠A >∠B”是“BC >AC”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】考查三角形边角关系与充要条件 【详解】在三角形中，大边对大角。∠A >∠B 等价于 边BC > 边AC（因为BC是∠A的对边，AC是∠B的对边）。故是充要条件. 故选：C 7. “x²= 4”是“x = 2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】考查充分条件和必要条件的判断 【详解】x² = 4的解是x = 2或x = -2。故由x=2可以推出x²=4（必要性成立），但由x²=4不能推出x=2（还可能x=-2，充分性不成立）。故是必要不充分条件. 故选：B 8. 设集合A ={x |-1<x<2}, B = {x |0<x<3}，则“x ∈ A”是“x ∈ B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】考查集合与充分必要条件的关系 【详解】集合A是B的真子集（A ⫋ B）。故若x∈A，则必有x∈B（充分性成立）。但若x∈B（例如x=2.5），不一定有x∈A（必要性不成立）。故是充分不必要条件. 故选：A 9. “一元二次方程ax²+bx+c=0有实数根”是“b²-4ac≥0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】考查一元二次方程根的判别法与充要条件 【详解】一元二次方程有实数根的充要条件就是判别式非负（b²-4ac ≥ 0）。故两者等价. 故选：C 10. “sinθ = ”是“θ = 30°”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】考查三角函数值与角的关系 【详解】当θ=30°时，sinθ=（必要性成立）。但sinθ=2时，θ不一定等于30°（例如θ=150°也满足，充分性不成立）。故是必要不充分条件. 故选：B 11. “直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】考查立体几何中直线与平面垂直的判定定理. 【详解】由线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内任意直线都垂直，当然包括无数条（必要性成立）。但反之，若l只与α内无数条（但非任意）直线垂直，不能推出l⊥α（这无数条直线可能互相平行，充分性不成立）。故是必要不充分条件. 故选：B 12. “函数f(x)在点x₀处可导”是“函数f(x)在点x₀处连续”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】考查导数的相关知识. 【详解】可导一定连续（充分性成立）。连续不一定可导（例如f(x)=|x|在x=0处连续但不可导，必要性不成立）。故是充分不必要条件. 故选：A 13. “a>0且b>0”是“ab>0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】考查不等式性质与充要条件. 【详解】a>0且b>0能推出ab>0（充分性成立）。但ab>0也有可能a<0且b<0（必要性不成立）。故是充分不必要条件. 故选：A 14. “x≠2”是“(x-2)(x-3)≠0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】考查逻辑联结词与充要条件. 【详解】(x-2)(x-3) ≠ 0等价于x≠2且x≠3。故由(x-2)(x-3) ≠ 0可以推出x≠2（必要性成立）。但由x≠2不能推出(x-2)(x-3) ≠ 0（例如x=3时，x≠2成立但(x-2)(x-3)=0，充分性不成立）。故是必要不充分条件. 故选：B 15. “m > 4”是“方程x² - mx + 1 = 0无实根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】考查一元二次方程根的判别法及充要条件. 【详解】方程无实根的条件是判别式Δ = m² - 4 < 0，即 -2 < m < 2。故“方程无实根”可推出m < 2（当然包括m>4？不，是m∈(-2,2)），但不能推出m>4。反之，m>4（例如m=5）时，Δ=25-4=21>0，方程有实根，不属于“无实根”的情况。分析结论：“方程无实根”要求m∈(-2,2)，而“m>4”是m∈(4, +∞)。两者无包含关系。故是既不充分也不必要条件. 故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．命题“若x²>1，则x>1”的否命题是_______________________． 【答案】若x²≤1，则x≤1 【分析】考查否命题的构造 【详解】原命题“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”。这里p：x²>1，q：x>1。故否命题为“若x²≤1，则x≤1” 17. “x = 1”是“x² = 1”的________条件。（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】考查充分必要条件的判断 【详解】x=1 ⇒ x²=1（充分性成立）。x²=1 ⇒ x=1 或 x=-1（必要性不成立）。故是充分不必要条件 18. 设p: x > 0, q: x² > 0，则p是q的________条件 【答案】充分不必要 【分析】考查充分必要条件的判断 【详解】x>0 ⇒ x²>0（充分性成立）。x²>0 ⇒ x≠0，不能推出x>0（还可能x<0，必要性不成立）。故是充分不必要条件 19. 写出一个“四边形是平行四边形”的充分不必要条件：________________ 【答案】四边形的两组对边分别平行（或其它正确答案，如一组对边平行且相等） 【分析】考查充分条件的理解和开放思维 【详解】这是开放题，答案不唯一。根据平行四边形判定定理，例如“两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的充要条件，但题目要求“充分不必要”，所以需要找一个能推出是平行四边形，但不是必须的条件。例如“四边形是菱形”（菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是菱形）。严格来说，“两组对边分别平行”是充要条件，不适合。应找充分但非必要的条件，如“四边形的两条对角线互相平分且相等” 20. 若“x > a”是“x > 2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________ 【答案】a > 2 【分析】考查利用充分必要条件的意义求参数范围 【详解】因为“x > a”是“x > 2”的必要不充分条件，所以“x > 2”能推出“x > a”，但“x > a”不能推出“x > 2”。这意味着集合{x|x>2}是{x|x>a}的真子集。故a需满足 a > 2。例如a=3时，x>2不一定x >3（如x=2.5），但x>3一定x >2 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．判断下列命题的真假，并说明理由： (1) “x = 2”是“x² - 5x + 6 = 0”的充分不必要条件； (2) “a = b”是“|a| = |b|”的必要不充分条件。 【答案】(1) 假命题；(2) 假命题。 【分析】考查命题真假的判断及充分必要条件的辨析 【详解】(1) 方程x²-5x+6=0的根是x=2或x=3。故“x=2”可以推出“x²-5x+6=0”（充分性成立）。但“x²-5x+6=0”不能推出“x=2”（还可能x=3，必要性不成立）。所以“x=2”是“x²-5x+6=0”的充分不必要条件。原命题说这是假命题是错误的。注意：原题要求判断命题的真假，命题是““x=2”是“x²-5x+6=0”的充分不必要条件”，这个说法本身是真的。故(1)应为真命题。 (2) 由|a|=|b|不能推出a=b（可能a=-b），故“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件。原命题说它是必要不充分条件是错误的，故是假命题. 22．已知p: -2 ≤ x ≤ 3, q: k - 1 ≤ x ≤ k + 2。若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围. 【答案】无解 或 k∈∅ 【分析】考查根据集合的包含关系求参数范围 【详解】p是q的充分不必要条件，意味着p ⇒ q，但q ≠> p。 即x满足[-2,3]时，必须也满足[k-1, k+2]。 所以需要：k - 1 ≤ -2 且 k + 2 ≥ 3 即q的下界要小于等于p的下界，q的上界要大于等于p的上界. 得k ≤ -1 且 k ≥ 1.所以k无解. 23．已知关于x的方程x² + (2k-1)x + k² = 0有两个实数根。 (1) 求实数k的取值范围。 (2) 求证：“k < 0”是“方程有两个实数根”的充分不必要条件 【答案】(1) k ≤ ；(2) 证明见详解 【分析】考查一元二次方程根的判别式及充分条件的证明 【详解】(1) 方程有两个实数根，则判别式Δ ≥ 0。 Δ = (2k-1)² - 41k² = 4k² - 4k + 1 - 4k² = -4k + 1 ≥ 0 解得 k ≤。 (2) 要证“k < 0”是“方程有两个实数根”的充分不必要条件。 充分性：当k < 0时，显然k < 0 < ，即k ≤成立，故方程有两个实根。 不必要性：当方程有两个实根时，只需要k ≤，不一定有k < 0（例如k=0满足k≤，但k<0不成立）。 故“k < 0”是“方程有两个实数根”的充分不必要条件. 24．已知p: |x-1| ≤ 2, q: x² - 2x + 1 - m² ≤ 0 (m > 0)。若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围 【答案】m ∈ (0, 2] 【分析】考查绝对值不等式、二次不等式的解法，以及原命题与逆否命题的关系 【详解】首先解p和q： p: |x-1| ≤ 2 ⇒ -2 ≤ x-1 ≤ 2 ⇒ -1 ≤ x ≤ 3。 q: x² - 2x + 1 - m² ≤ 0 ⇒ (x-1)² ≤ m² ⇒ |x-1| ≤ m ⇒ 1-m ≤ x ≤ 1+m (因为m>0). 即p: [-1, 3]；q: [1-m, 1+m] q是p的充分不必要条件，则q ⫋ p。 故需：1-m ≥ -1 且 1+m ≤ 3，且等号不同时成立。 解1-m ≥ -1 ⇒ m ≤ 2；1+m ≤ 3 ⇒ m ≤ 2 又m>0，故0 < m ≤ 2。 当m=2时，q: [-1,3]=p，此时是充要条件，不是充分不必要。 故实数m的取值范围是 0 < m < 2。 即m ∈ (0, 2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第一章充要条件的单元测试卷，主要考主要梳理和考查命题的真假判断、充分条件的理解与判断、必要条件的理解与判断、充要条件的理解与判断等常见考点。 第1章 充要条件 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列语句中是命题的是（ ） A. 你好吗？ B. 请坐下！ C. 对顶角相等。 D. 今天天气真好啊！ 2. 命题“若一个数是偶数，则它能被2整除”的逆命题是（ ） A. 若一个数能被2整除，则它是偶数 B. 若一个数不是偶数，则它不能被2整除 C. 若一个数不能被2整除，则它不是偶数 D. 偶数都能被2整除 3. “x>2”是 “x>1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. “两个三角形面积相等” 是 “两个三角形全等” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设a,b∈R，则“a>b”是“a³>b³”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在△ABC中，“∠A >∠B”是“BC >AC”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. “x²= 4”是“x = 2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设集合A ={x |-1<x<2}, B = {x |0<x<3}，则“x ∈ A”是“x ∈ B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. “一元二次方程ax²+bx+c=0有实数根”是“b²-4ac≥0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. “sinθ = ”是“θ = 30°”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. “直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. “函数f(x)在点x₀处可导”是“函数f(x)在点x₀处连续”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. “a>0且b>0”是“ab>0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. “x≠2”是“(x-2)(x-3)≠0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. “m > 4”是“方程x² - mx + 1 = 0无实根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．命题“若x²>1，则x>1”的否命题是_______________________． 17. “x = 1”是“x² = 1”的________条件。（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 18. 设p: x > 0, q: x² > 0，则p是q的________条件 19. 写出一个“四边形是平行四边形”的充分不必要条件：________________ 20. 若“x > a”是“x > 2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．判断下列命题的真假，并说明理由： (1) “x = 2”是“x² - 5x + 6 = 0”的充分不必要条件； (2) “a = b”是“|a| = |b|”的必要不充分条件。 22．已知p: -2 ≤ x ≤ 3, q: k - 1 ≤ x ≤ k + 2。若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围. 23．已知关于x的方程x² + (2k-1)x + k² = 0有两个实数根。 (1) 求实数k的取值范围。 (2) 求证：“k < 0”是“方程有两个实数根”的充分不必要条件 24．已知p: |x-1| ≤ 2, q: x² - 2x + 1 - m² ≤ 0 (m > 0)。若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$