第二章 平面向量（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的单元测试卷，主要梳理和考查平面向量的概念、向量的线性运算、向量内积、向量的应用等常见考点。 第二章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列选项中，属于向量的是（ ）​ A. 线段的长度 B. 物体的质量 C. 物体的位移 D. 圆的周长 2. 下列关于零向量的说法正确的是（ ）​ A. 零向量没有大小 B. 零向量没有方向 C. 零向量与任意向量共线 D. 零向量的模为 1 3. 已知向量​=(1,2)，​=(3,4)，则​等于（ ）​ A. (2,2) B. (-2,-2) C. (4,6) D. (-4,-6) 4. 若向量​=(2,3)，则​2的几何意义是（ ）​ A. 与​同向，模为​的2倍 B. 与​反向，模为​的2倍​ C. 与同向，模为的​21​ D. 与​反向，模为​的21件 5. 已知向量​=(1,−1)，=(2,3)，则​+的坐标为（ ）​ A. (3,2) B. (3,-2) C. (-1,2) D. (-1,-2)​ 6. 已知向量​与​的模分别为​∣∣=2，​∣∣=3，且夹角为​60，则​⋅等于（ ）​ A. 3 B. 6 C. ​3 D. ​6 7. 已知点​A(2,3)，​B(4,5)，则线段​AB的中点坐标为（ ）​ A. (3,4) B. (1,1) C. (6,8) D. (-2,-2)​ 8. 若向量=(m,2)与=(4,−2)共线，则​m的值为（ ）​ A. -4 B. 4 C. -1 D. 1 9. 向量​=(3,4)的单位向量​为（ ）​ A. ​(,​) B. ​(​,−​) C. ​(−,​) D. ​(− ​,− ​) 10. 在平行四边形​ABCD中，​+等于（ ）​ A. ​ B. ​ C. ​ D. 11. 已知向量​=(−1,2)，则​−3的坐标为（ ）​ A. (3,-6) B. (-3,6) C. (3,6) D. (-3,-6) 12. 若向量​=(2,k)与​=(4,−1)垂直，则​k的值为（ ）​ A. 8 B. -8 C. 2 D. -2 13. 已知点​A(1,2)，​B(5,6)，点​P分的比为​λ=2（即​=2），则​P的坐标为（ ）​ A. (3,4) B. (4,5) C. (​​,​) D. (​​,​) 14. 向量=(−2,3)的模​∣∣等于（ ）​ A. ​ ​B. ​C. 5 D. 13​ 15. 已知在​△ABC中，⋅=0，则​△ABC是（ ）​ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形​ 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若向量​与​是相等向量，则它们的模______，方向______． 17. 已知向量​=(1,3)，​=(2,−1)，则​−的坐标为______ 18. 已知向量​=(3,4)，​=(2,−1)，则​⋅的值为______ 19. 已知点​M是线段​PQ的中点，​P(2,−3)，​M(4,1)，则点​Q的坐标为______ 20. 在平行四边形​ABCD中，=(2,1)，=(1,3)，则的模为______ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知向量​=(2,3)，​=(−1,2)，求：​（1）​2+；（2）​⋅；（3）​∣−∣​ 22．已知点​A(1,2)，​B(3,4)，​C(5,0)，求证：​△ABC是直角三角形. 23．已知向量=(1,2)，=(x,1)，且​与​的夹角为锐角，求实数​x的取值范围 24．已知在平面直角坐标系中，点​A(2,1)，​B(5,3)，点​P在直线​AB上，且​=3，求点​P的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的单元测试卷，主要梳理和考查平面向量的概念、向量的线性运算、向量内积、向量的应用等常见考点。 第二章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列选项中，属于向量的是（ ）​ A. 线段的长度 B. 物体的质量 C. 物体的位移 D. 圆的周长 【答案】C 【分析】考查向量与数量的区别． 【详解】A 选项 “线段的长度”、B 选项 “物体的质量”、D 选项 “圆的周长” 均只有大小，无方向，属于数量；C 选项 “物体的位移” 既包含移动的距离（大小），也包含移动的方向，符合向量定义. 故选：C 2. 下列关于零向量的说法正确的是（ ）​ A. 零向量没有大小 B. 零向量没有方向 C. 零向量与任意向量共线 D. 零向量的模为 1 【答案】C 【分析】考查特殊向量（零向量）的性质. 【详解】零向量的定义为 “模为 0 的向量”，故 A（无大小）、D（模为 1）错误；零向量的方向是任意的，并非没有方向，故 B 错误；根据共线向量定义，零向量与任意向量都共线. 故选：C 3. 已知向量​=(1,2)，​=(3,4)，则​等于（ ）​ A. (2,2) B. (-2,-2) C. (4,6) D. (-4,-6) 【答案】A 【分析】考查向量减法的坐标运算 【详解】已知​=(1,2)，​=(3,4)，根据向量减法坐标规则 “对应坐标相减”， 得​=(3−1,4−2)=(2,2) 故选：A 4. 若向量​=(2,3)，则​2的几何意义是（ ）​ A. 与​同向，模为​的2倍 B. 与​反向，模为​的2倍​ C. 与同向，模为的​21​ D. 与​反向，模为​的21件 【答案】A 【分析】考查向量数乘的几何意义 【详解】此处​k=2>0，故​2与​同向；​∣2∣=2∣∣，即模为​的 2 倍. 故选：A 5. 已知向量​=(1,−1)，=(2,3)，则​+的坐标为（ ）​ A. (3,2) B. (3,-2) C. (-1,2) D. (-1,-2)​ 【答案】A 【分析】考查向量加法的坐标运算 【详解】根据向量加法坐标公式，​+=(1+2,−1+3)=(3,2). 故选：A 6. 已知向量​与​的模分别为​∣∣=2，​∣∣=3，且夹角为​60，则​⋅等于（ ）​ A. 3 B. 6 C. ​3 D. ​6 【答案】A 【分析】考查向量内积（数量积）的定义式​⋅b=∣∣∣∣cosθ（​θ为两向量夹角） 【详解】代入已知条件，⋅=2×3×cos60，因​cos60=​，故结果为​6×​=3. 故选：A 7. 已知点​A(2,3)，​B(4,5)，则线段​AB的中点坐标为（ ）​ A. (3,4) B. (1,1) C. (6,8) D. (-2,-2)​ 【答案】A 【分析】考查中点公式 【详解】代入​A(2,3)、​B(4,5)，得中点坐标为​(​,)=(3,4). 故选：A 8. 若向量=(m,2)与=(4,−2)共线，则​m的值为（ ）​ A. -4 B. 4 C. -1 D. 1 【答案】A 【分析】考查共线向量的坐标条 【详解】根据共线条件，​m×(−2)−4×2=0，即​−2m−8=0，解得​m=−4. 故选：A 9. 向量​=(3,4)的单位向量​为（ ）​ A. ​(,​) B. ​(​,−​) C. ​(−,​) D. ​(− ​,− ​) 【答案】A 【分析】考查单位向量的定义 【详解】先求​∣∣==5，则单位向量=(​,​),单位向量方向与原向量一致. 故选：A 10. 在平行四边形​ABCD中，​+等于（ ）​ A. ​ B. ​ C. ​ D. 【答案】A 【分析】考查向量加法的平行四边形法则 【详解】在平行四边形​ABCD中，​与​是邻边，公共起点为​A，对角线​从​A出发，故​+=. 故选：A 11. 已知向量​=(−1,2)，则​−3的坐标为（ ）​ A. (3,-6) B. (-3,6) C. (3,6) D. (-3,-6) 【答案】A 【分析】考查向量数乘的坐标运算. 【详解】根据数乘坐标公式，​−3=(−3×(−1),−3×2)=(3,−6). 故选：A 12. 若向量​=(2,k)与​=(4,−1)垂直，则​k的值为（ ）​ A. 8 B. -8 C. 2 D. -2 【答案】A 【分析】考查向量垂直的性质. 【详解】因​⊥，故​⋅=2×4+k×(−1)=0，即​8−k=0，解得​k=8. 故选：A 13. 已知点​A(1,2)，​B(5,6)，点​P分的比为​λ=2（即​=2），则​P的坐标为（ ）​ A. (3,4) B. (4,5) C. (​​,​) D. (​​,​) 【答案】C 【分析】考查定比分点公式. 【详解】代入​A(1,2)、​B(5,6)、​λ=2，得​x==，​y=​=，故​P(​,​). 故选：C 14. 向量=(−2,3)的模​∣∣等于（ ）​ A. ​ ​B. ​C. 5 D. 13​ 【答案】B 【分析】考查向量模的坐标计算公式. 【详解】代入=(−2,3)，得​∣∣==​=. 故选：B 15. 已知在​△ABC中，⋅=0，则​△ABC是（ ）​ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形​ 【答案】B 【分析】考查向量内积在平面几何中的应用. 【详解】​与​是​△ABC的两条邻边，其內积为 0，故​⊥，即​∠BAC=90，所以​△ABC是直角三角形. 故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若向量​与​是相等向量，则它们的模______，方向______． 【答案】相等；相同 【分析】考查相等向量的定义 【详解】根据相等向量的核心属性，模必须相等，方向必须相同，故依次填 “相等”“相同” 17. 已知向量​=(1,3)，​=(2,−1)，则​−的坐标为______ 【答案】(-1,4) 【分析】考查向量减法的坐标运算，规则为 “对应坐标相减” 【详解】根据减法公式，−=(1−2,3−(−1))=(1−2,3+1)=(−1,4)，故填 (-1,4) 18. 已知向量​=(3,4)，​=(2,−1)，则​⋅的值为______ 【答案】2 【分析】考查向量内积的坐标运算 【详解】代入坐标得⋅=3×2+4×(−1)=6−4=2，故填 2 19. 已知点​M是线段​PQ的中点，​P(2,−3)，​M(4,1)，则点​Q的坐标为______ 【答案】(6,5)​ 【分析】考查中点公式的逆用 【详解】根据中点公式，=4，=1； 解得​x=4×2−2=6，​y=1×2+3=5，故​Q(6,5)，填 (6,5) 20. 在平行四边形​ABCD中，=(2,1)，=(1,3)，则的模为______ 【答案】 【分析】考查平行四边形中向量的关系 【详解】在平行四边形中，对边向量相等，故​==(1,3)；其模为=​=​，故填​ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知向量​=(2,3)，​=(−1,2)，求：​（1）​2+；（2）​⋅；（3）​∣−∣​ 【答案】（1）(3,8)；（2）4；（3）​​。 【分析】本题综合考查向量数乘、加减的坐标运算，内积计算及向量模的计算，需分步应用对应公式 【详解】（1）计算​2+：​根据数乘坐标规则，​2=2×(2,3)=(4,6)；​再根据加法坐标规则，​2+=(4+(−1),6+2)=(3,8)。（3 分）​ （2）计算​⋅：​根据内积坐标公式​⋅=x1​x2​+y1​y2​，代入得：​⋅=2×(−1)+3×2=−2+6=4。（3 分） （3）计算​∣−∣：​第一步，求​−的坐标：​−=(2−(−1),3−2)=(3,1)；​第二步，根据模的公式计算：​∣−∣===。（4 分） 22．已知点​A(1,2)，​B(3,4)，​C(5,0)，求证：​△ABC是直角三角形. 【答案】见详解（​∠BAC=90∘，故​△ABC是直角三角形） 【分析】利用向量内积证明直角三角形 【详解】​第一步，求三角形三边对应的向量：​=(3−1,4−2)=(2,2)，​ =(5−1,0−2)=(4,−2)，​=(5−3,0−4)=(2,−4)。（4 分）​ ​第二步，计算内积：​⋅=2×4+2×(−4)=8−8=0。（3 分）​ 第三步，得出结论：因​⋅=0，故​⊥，即​∠BAC=90，所以​△ABC是直角三角形。（3 分）. 23．已知向量=(1,2)，=(x,1)，且​与​的夹角为锐角，求实数​x的取值范围 【答案】​x>−​且​x​ 【分析】考查向量夹角为锐角的条件 【详解】第一步，根据夹角为锐角得内积大于 0：​⋅=1×x+2×1=x+2>0，解得​x> − 。（4 分） 第二步，排除两向量共线的情况（共线时夹角为 0°，不是锐角）：​ 若​与共线，则​1×1−2×x=0（共线条件​x1​y2​−x2​y1​=0），解得​x=。（4 分）​ 第三步，综合得取值范围：​x>−​且​x​。（2 分）. 24．已知在平面直角坐标系中，点​A(2,1)，​B(5,3)，点​P在直线​AB上，且​=3，求点​P的坐标. 【答案】(​,​) 【分析】考查定比分点公式的应用，先确定分比​λ，再代入公式计算坐标 【详解】​第一步，确定分比​λ：​因​=3，说明​P在​之间，分比​λ=3（即​:=3:1）。（3 分）​ 第二步，应用定比分点公式：​设​P(x,y)， 定比分点公式为​x，​；​ 代入​A(2,1)、​B(5,3)、​λ=3，得：​x=​​=​，​y==​=​。（6 分）​ 第三步，得出点​P的坐标：​P(​,​)。（1 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$