精品解析：陕西省西安市临潼区华清中学2025-2026学年高三上学期开学收心考试数学试题

华清中学高三年级上学期收心考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由， 则. 故选：A 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算化简即可. 【详解】． 故选：A. 3. 在中，若，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得，再由余弦定理即可得解. 【详解】由及正弦定理得， 设，，则，．由余弦定理得， 又，所以． 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题. 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 越接近1，相关性越强 D. 越接近0，相关性越弱 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 5. 已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性结合二次函数性质列式求解即可. 【详解】若函数在定义域上是减函数， 则,解得, 故选：B 6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且点到的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求出的值，即可得出抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的准线方程为，焦点为， 由抛物线的定义可知，点到的距离为，可得，故. 故选：B. 7. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. － D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答． 【详解】因为，而， 因此，则， 所以， 故选：A. 8. 一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件E为“客户发生信用卡欺诈”，由全概率公式得，再由条件概率公式即可求解. 【详解】记事件A为“客户是VIP客户”，事件B为“客户是普通客户”，事件E为“客户发生信用卡欺诈”，则，，，， 由全概率计算公式得， 由条件概率公式得， 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的性质及特殊值逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，显然不成立，错误； 对于B，由，可知，所以，正确； 对于C，取，此时，错误； 对于D，取，此时，错误； 故选：ACD 10. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可. 【详解】设公比为，则，解得，故， 则，. 对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，为常数，故C正确； 对D，，，故为等比数列，故D正确； 故选：ACD 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性求解析判断A；解方程求零点判断B；解不等式可判断C；利用导数求出函数的极值，可得函数值域，即可判断D. 【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，当时，， 则当时，，故，A错误； 对于B，函数是定义在R上的奇函数，故； 当时，令，解得； 当时，令，解得； 故函数有3个零点，B正确； 对于C，当时，令，解得； 当时，令，解得，则， 故的解集为，C正确； 对于D，当时，，所以时，，单调递减， 时，，单调递增，所以时，取最小值为， 且时，，所以，即， 当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，取极大值为，且时，，时，， 所以，所以， 综合以上，的值域为， 所以，都有，故D正确； 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量线性运算、垂直的坐标表示列方程求得，再应用坐标公式求. 【详解】由题设，又与垂直， 所以，可得. 所以. 故答案为： 13. 二项式的展开式中第5项的系数为__________. 【答案】210 【解析】 【分析】根据二项式的展开式的通项公式可求得第5项，从而得到第5项的系数. 【详解】二项式的展开式的第5项是：. 因此，二项式的展开式中第5项的系数是210. 故答案为：210. 14. 正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用内切球的性质，从截面形状分析数量关系，进而求出棱台表面积. 【详解】 如图，上底面边上的中线为，下底面边上的中线为. 根据内切球的性质可知，球与三个平面的切点分别在、、上. 考察截面 . 根据勾股定理易知，，. 圆与相切于,其中 分别为棱台上下底面的中心，为斜高， 因，， 由切线长定理，易得，，则, 上底面面积为，下底面面积为， 因此三棱台的表面积为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面的问题中.已知等差数列的前n项和为，且公差，若___________. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）记，求数列的前n项和. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）若选条件①，根据条件建立关于公差的方程，求通项公式，若选条件②，利用等差数列前项和公式，求公差和首项，表示通项公式，若选条件③，利用与的关系，求通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得数列的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】（Ⅰ）若选①：由， 得 即 所以. 若选②：设等差数列的首项为，由， 得： 解得， 所以. 若选③：当时； 当时， 显然时也满足， ； （Ⅱ）由（I）知 ， 则. 16. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）证明：成等差数列； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） 由及正弦定理， 得， 即， 也即， 所以， 由于在中，，故， 即，所以， 又，， 所以，则. 所以， 即成等差数列. （2）6 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可得，进而根据三角形的内角和，以及等差中项的性质即可求解， （2）根据三角形面积公式以及余弦定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得. 由余弦定理得， 则， 所以，则， 即的周长为6. 17. 如图1，和都是直角三角形，，，，如图2，把沿边折起，使所在平面与所在平面垂直，连接. （1）求与平面所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，根据线面角的几何法可得为所求角，即可利用三角形的边角关系求解， （2）根据面面垂直的性质以及线面垂直，面面垂直的判定，可得的长即为点到平面的距离，即可利用等面积法求解. 【小问1详解】 取的中点，连接， ，， 平面平面， 平面平面平面， 平面， 即为与平面所成的角. 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 与平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 ，平面平面， 平面平面平面， 平面， 平面， 平面， 平面. 平面， 平面平面， 过点作于点， 又平面平面平面， 则平面， 的长即为点到平面的距离. 由（1）可知， 又， ， 所以，点到平面的距离为 18. 已知椭圆的右焦点为，且过点. （1）求C的方程； （2）若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合，代入点的坐标，列式计算得解. （2）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，借助韦达定理结合均值不等式计算作答. 【小问1详解】 椭圆的右焦点为， 则椭圆的半焦距为， 由于，则椭圆的方程变为：， 将点的坐标代入，，解得：或（舍去）， 得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为， ，， 由消去x并整理得：， ，， 的面积， ， 设，， ， 因为，当且仅当，时取得“=”， 于是得，， 所以面积的最大值为1. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）①当时，在上单调递增；②当时，的单调增区间为；单调减区间为；③当时，的单调增区间为；单调减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数几何意义求得切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可； （2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可； （3）解法一：根据函数的单调性分类讨论研究的最小值，即可解答； 解法二：分类讨论，先求时a的取值范围，然后参变分离，把恒成立问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求解函数最值即可求解. 【小问1详解】 当时，，得， ，则， 所以切线方程为：，即； 【小问2详解】 由题，可得， 当时，，，单调递减， ，，单调递增， 当时，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； 【小问3详解】 解法一：， ①当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增，成立， ②当时，， 所以在上单调递增，所以成立. ③当时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合. 综上所述，的取值范围是. 解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”. 即在上恒成立. 当时，，所以. 当时，，所以恒成立. 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华清中学高三年级上学期收心考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 越接近1，相关性越强 D. 越接近0，相关性越弱 5. 已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且点到的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. － D. －1 8. 一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则____________. 13. 二项式的展开式中第5项的系数为__________. 14. 正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面的问题中.已知等差数列的前n项和为，且公差，若___________. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）记，求数列的前n项和. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）证明：成等差数列； （2）若，的面积为，求的周长. 17. 如图1，和都是直角三角形，，，，如图2，把沿边折起，使所在平面与所在平面垂直，连接. （1）求与平面所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的右焦点为，且过点. （1）求C的方程； （2）若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $