第15讲 万有引力定律及其应用（复习讲义）（江苏专用）-2026年高考物理一轮复习讲练测

第15讲 万有引力定律及其应用 目录 01考情解码·命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 考点一 开普勒定律 3 知识点1 开普勒定律 3 知识点2 开普勒定律的理解与应用 3 考向1 开普勒三大定律 3 考点二 万有引力定律及应用 4 知识点1 万有引力定律 5 知识点2 万有引力定律的应用 5 知识点3 天体质量和密度的计算 6 考向1 万有引力的计算 6 考向2 万有引力与重力 7 考向3 利用万有引力求天体质量和密度 9 04真题溯源·考向感知 10 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 开普勒定律 选择题 非选择题 万有引力 选择题 非选择题 考情分析： 1．万有引力与航天在江苏物理高考中的考察频率属于中等考察频率。 2．从命题思路上看，试题情景为 万有引力与航天部分的命题常以我国航空航天技术的发展成果为背景，如嫦娥六号探测、“鹊桥二号” 中继星等，体现了物理知识与实际科技应用的紧密结合。 复习目标： 目标一：精准理解万有引力定律的内涵（公式、适用条件、引力常量意义）、开普勒三大定律的物理本质（轨道规律、面积规律、周期规律），明确天体运动中的关键模型（匀速圆周运动模型、表面重力等于万有引力模型），确保无知识盲区。 目标二：能够从万有引力提供向心力的角度，推导并理解卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系，构建天体质量、密度测量的方法框架。 考点一 开普勒定律 知识点1 开普勒定律 1.定律内容 （1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是　椭圆　，太阳处在椭圆的一个　焦点　上。 （2）开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的　面积　相等。 （3）开普勒第三定律：所有行星轨道的　半长轴　的三次方跟它的　公转周期　的二次方的　比都相等　，即　＝k　。 2.适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。 知识点2 开普勒定律的理解与应用 1.微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。 2.行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。 3.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 4.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的两星体之间。 考向1 开普勒三大定律 例1 （2025·江苏·模拟预测）地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，设地球公转周期为T。下列说法正确的是（　　） A．地球做匀变速曲线运动 B．冬至地球公转的角速度比夏至大 C．夏至地球的加速度最大 D．从夏至开始经历地球正好位于秋分 【变式训练1】（2025·江苏南通·二模）如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中在赤道平面内的一颗卫星，其对地张角θ=60°，其绕行周期为T1，Ⅱ为地球赤道上方的近地卫星（轨道半径近似等于地球半径）。求卫星Ⅱ的绕行周期T2。 【变式训练2】（2024·江苏扬州·二模）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨道如图所示，哈雷彗星最近出现在地球附近是1986年，预计下次将在2061年飞近地球．则哈雷彗星轨道的半长轴约为地球公转半径的（　　） A．8倍 B．18倍 C．28倍 D．38倍 考点二 万有引力定律及应用 知识点1 万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与　物体的质量m1和m2的乘积　成正比、与　它们之间距离r的二次方　成反比。 2.公式：F＝　G　，其中G叫作引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。 3.公式的适用条件：计算两个　质点　间的万有引力。 4.万有引力理论的主要成就 （1）发现未知天体。 （2）计算天体质量。 知识点2 万有引力定律的应用 1.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 （1）在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 （2）在两极上：G＝mg0。 （3）在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2.星体表面及上空的重力加速度（以地球为例） （1）地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝G，得g＝。 （2）地球上空的重力加速度g' 地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度g'：mg'＝，得g'＝。 知识点3 天体质量和密度的计算 一、利用天体表面重力加速度g和天体半径R计算 1.由G＝mg，得天体质量M＝。 2.天体密度ρ＝＝＝。 二、利用运行天体的轨道半径r和周期T计算 1.由G＝mr，得M＝。 2.若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 3.若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 考向1 万有引力的计算 例1 （2025·江苏常州·模拟预测）一颗小行星和地球绕太阳在同一平面内同向运行，地球公转圆轨道半径与该小行星椭圆轨道的半长轴大小相等，如图所示。图示时刻，太阳、地球和小行星恰好在同一直线上，且小行星位居地球外侧。则（　　） A．小行星绕太阳的公转周期小于1年 B．在轨道的交点处，小行星的加速度大于地球的加速度 C．图示时刻，太阳对小行星的万有引力等于对地球的万有引力 D．图示时刻，小行星运动的速度小于地球运动的速度 【变式训练1】（2025·江苏宿迁·三模）山西陶寺遗址考古发现，早在四千年前陶寺先民通过观象台夯土墙间的12道缝隙，观测日月星辰，划分了节气。地球绕太阳运行的轨道如图所示，则地球在夏至时（　　） A．加速度与立夏时的相同 B．动能与立夏时的相同 C．角速度与立夏时的相同 D．与太阳连线单位时间内扫过的面积与立夏时的相同 【变式训练2】在空间站中，宇航员长期处于失重状态，为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环绕中心以角速度匀速旋转（未知），圆环半径为r，质量为m的宇航员站在旋转舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知空间站到地球表面的高度为h，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是（　　） A．宇航员站在旋转舱侧壁上，跟随圆环绕中心做圆周运动的向心力 B．宇航员站在旋转舱侧壁上，跟随圆环绕中心做圆周运动的向心力 C．圆环绕中心匀速旋转的角速度 D．圆环绕中心匀速旋转的角速度 考向2 万有引力与重力 例2（2024·江苏·模拟预测）帝企鹅是南极常见的一种动物，如图所示的是一只处在南极极点的帝企鹅。如果把地球看成一个均匀的球体，关于此帝企鹅与重力有关的问题，下列说法中正确的是（　　） A．帝企鹅受到的重力的方向一定指向地心 B．帝企鹅受到的重力的方向一定偏离地心 C．帝企鹅对地面的压力就是其受到的重力 D．帝企鹅受到的重力小于地球对它的吸引力 总结提升 推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论 2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝G。 【变式训练1】（2025·江苏连云港·一模）2024年6月，嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样。采样的月壤质量为，测得其在月球表面的重力为。已知月球半径为，引力常量为。求： (1)月球表面的重力加速度； (2)月球的质量。 【变式训练2】（2024·江苏南通·模拟预测）嫦娥六号探测器将于2024年6月登月。已知探测器在近月圆轨道运行速度大小为v，月球半径为R，万有引力常量为G，不考虑月球的自转。求： （1）月球质量 （2）月球表面重力加速度大小。 考向3 利用万有引力求天体质量和密度 例3 （2024·江苏镇江·一模）在高空运行的静止卫星功能失效后，往往会被送到同步轨道上空几百公里处的“墓地轨道”，以免影响其它在轨卫星，节省轨道资源。2022年1月22日，我国实践21号卫星在地球同步轨道“捕获”已失效的北斗二号G2卫星后，成功将其送入“墓地轨道”。如图所示，已知同步轨道和“墓地轨道”的轨道半径分别为R1、R2，转移轨道与同步轨道、“墓地轨道”分别相切于P、Q点，地球自转周期为T0，万有引力常量为G。则（　　） A．由以上数据可求得地球的质量为 B．由以上数据可求得地球的质量为 C．北斗二号G2卫星沿转移轨道运行的周期为 D．北斗二号G2卫星沿转移轨道运行的周期为 总结提升 估算天体质量和密度应注意的问题 （1）利用万有引力提供天体做圆周运动所需的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。 （2）区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。 （3）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。 （4）注意黄金代换式GM＝gR2的应用。 【变式训练1】月球探测器登月前，从椭圆环月轨道转移至近月圆轨道。如图所示，探测器在椭圆轨道I上运动，运行周期为。在近月点P处减速，使探测器转移到近月圆轨道II上运动，运行周期为T。已知月球半径为R，万有引力常量为G，求： （1）月球的质量M； （2）椭圆轨道I上远月点Q距月球表面的高度h。 【变式训练2】（2024·江苏南通·三模）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为、，且，距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方随r变化的关系如图所示。行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。 （1）求行星A、B的密度之比； （2）假设有相同的人形机器人在行星A、B表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球，在初速度相同的情况下，求铅球射程的比值。 1. （2024·江苏·模拟预测）如图所示，地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星，哈雷彗星最近出现的时间是1986年。若哈雷彗星近日点与太阳中心的距离为r1，远日点与太阳中心的距离为r2，只考虑太阳对哈雷彗星的万有引力，则（　　） A．哈雷彗星在近日点与远日点的机械能不相等 B．哈雷彗星在近日点的速度比远日点的速度小 C．哈雷彗星在近日点与远日点的加速度大小之比为 D．哈雷彗星下次飞近地球约在2062年 2. （2024·江苏徐州·三模）战国时期的《甘石星经》最早记载了部分恒星位置和金、木、水、火、土五颗行星“出没”的规律。现在我们知道（　　） A．恒星都是静止不动的 B．行星绕太阳做圆周运动 C．行星绕太阳运行的速率不变 D．各行星绕太阳运行的周期不同 3. （2023·江苏南通·模拟预测）神舟十四号成功发射后，与空间站天和核心舱成功对接，航天员陈东等顺利进入天和核心舱。已知地球半径为R，空间站在距离地面高度处做匀速圆周运动，静止卫星距离地面高度为空间站高度的90倍，地球自转周期为T。则空间站绕地运行周期为（　　） A． B． C． D． 4. （2023·辽宁·一模）2021年2月10日，“天问一号”探测器成功进入环绕火星椭圆轨道，在椭圆轨道的近火点P（接近火星表面）制动后顺利进入近火轨道，Q点为近火轨道上的另一点，M点是椭圆轨道的远地点，椭圆轨道的半长轴等于圆形轨道的直径，如图所示，下列说法正确的是（    ） A．探测器在M点的速度最大 B．探测器在Q点与椭圆轨道上的P点的加速度大小不相等 C．探测器在椭圆轨道上P点与M点的速度之比为 D．探测器在椭圆轨道与圆轨道上的周期之比为 5. （2025·江苏扬州·模拟预测）木星是太阳系中最大的行星，它有众多卫星。观察测出：木星绕太阳做圆周运动的半径为r1、 周期为T1；木星的某一卫星绕木星做圆周运动的半径为r2、 周期为。已知万有引力常量为G，则根据题中给定条件（　　） A．能求出木星的密度 B．能求出木星与卫星间的万有引力 C．能求出太阳与木星间的万有引力 D．可以断定 6. （2023·河北·高考真题）我国自古就有“昼涨为潮，夜涨为汐”之说，潮汐是月球和太阳对海水的引力变化产生的周期性涨落现象，常用引潮力来解释。月球对海水的引潮力大小与月球质量成正比、与月地距离的3次方成反比，方向如图1，随着地球自转，引潮力的变化导致了海水每天2次的潮涨潮落。太阳对海水的引潮力与月球类似，但大小约为月球引潮力的0.45倍。每月2次大潮（引潮力）最大和2次小潮（引潮力最小）是太阳与月球引潮力共同作用的结果，结合图2，下列说法正确的是（    ） A．月球在位置1时会出现大潮 B．月球在位置2时会出现大潮 C．涨潮总出现在白天，退潮总出现在夜晚 D．月球引潮力和太阳引潮力的合力一定大于月球引潮力 7. （2023·江苏南通·模拟预测）如图所示，水星、地球绕太阳的公转可以看成同一平面内的匀速圆周运动。已知太阳的半径为R，地球—水星连线与地球—太阳连线夹角的最大值为θ，地球的轨道半径为L，地球的公转周期为T，万有引力常量为G。求： （1）太阳的密度； （2）水星的公转周期。 8. （2023·江苏·模拟预测）如图所示为三颗卫星绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动的示意图，其中是地球静止卫星，a在半径为r的轨道上，此时恰好相距最近，已知地球质量为M，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，则（　　） A．卫星与地心的连线单位时间扫过的面积相等 B．卫星c加速一段时间后就可能追上卫星b C．到卫星a和b下一次相距最近，还需经过时间 D．到卫星a和b下一次相距最近，还需经过时间 9. （2022·江苏苏州·模拟预测）中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料（如图所示）计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式错误的是（引力常量G已知，忽略火星自转的影响）（　　） A． B． C． D． 10. （21-22高一下·浙江宁波·期末）2022年3月30日上午10时29分，我国在酒泉卫星发射中心用长征十一号运载火箭成功将天平二号A、B、C卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，若已知A、B、C卫星绕地球做近似圆周运动，高地高度分别是、和hc，且，环绕周期分别是、和，地球表面重力加速度为g，则以下说法正确的是（　　） A．天平二号A星可能在地表上空沿某一经度线做匀速圆周运动 B．根据开普勒第三定律有 C．根据题中所给信息，可计算地球的质量 D．根据题中所给信息，无法算地球的密度 11. （2021·江苏·模拟预测）2021年2月10日，我国“天问一号”火星探测器顺利进入环火轨道。已知“天问一号”绕火星做匀速圆周运动的周期为T，距火星表面的高度为h，火星的半径为R，引力常量为G。求： （1）火星的质量M； （2）火星表面的重力加速度的大小。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 万有引力定律及其应用 目录 01考情解码·命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 考点一 开普勒定律 3 知识点1 开普勒定律 3 知识点2 开普勒定律的理解与应用 3 考向1 开普勒三大定律 3 考点二 万有引力定律及应用 5 知识点1 万有引力定律 5 知识点2 万有引力定律的应用 6 知识点3 天体质量和密度的计算 6 考向1 万有引力的计算 7 考向2 万有引力与重力 9 考向3 利用万有引力求天体质量和密度 11 04真题溯源·考向感知 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 开普勒定律 选择题 非选择题 万有引力 选择题 非选择题 考情分析： 1．万有引力与航天在江苏物理高考中的考察频率属于中等考察频率。 2．从命题思路上看，试题情景为 万有引力与航天部分的命题常以我国航空航天技术的发展成果为背景，如嫦娥六号探测、“鹊桥二号” 中继星等，体现了物理知识与实际科技应用的紧密结合。 复习目标： 目标一：精准理解万有引力定律的内涵（公式、适用条件、引力常量意义）、开普勒三大定律的物理本质（轨道规律、面积规律、周期规律），明确天体运动中的关键模型（匀速圆周运动模型、表面重力等于万有引力模型），确保无知识盲区。 目标二：能够从万有引力提供向心力的角度，推导并理解卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系，构建天体质量、密度测量的方法框架。 考点一 开普勒定律 知识点1 开普勒定律 1.定律内容 （1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是　椭圆　，太阳处在椭圆的一个　焦点　上。 （2）开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的　面积　相等。 （3）开普勒第三定律：所有行星轨道的　半长轴　的三次方跟它的　公转周期　的二次方的　比都相等　，即　＝k　。 2.适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。 知识点2 开普勒定律的理解与应用 1.微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。 2.行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。 3.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 4.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的两星体之间。 考向1 开普勒三大定律 例1 （2025·江苏·模拟预测）地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，设地球公转周期为T。下列说法正确的是（　　） A．地球做匀变速曲线运动 B．冬至地球公转的角速度比夏至大 C．夏至地球的加速度最大 D．从夏至开始经历地球正好位于秋分 【答案】B 【详解】A．地球沿椭圆轨道绕太阳运行，所受万有引力方向不断变化，加速度方向也不断变化，不是匀变速曲线运动，故 A错误； B．根据开普勒第二定律，在相等时间内，地球与太阳的连线扫过的面积相等。冬至时地球离太阳较近，夏至时离太阳较远，在相同时间内扫过相等面积，冬至时运动的弧长更长，由线速度v更大，半径r更小可知，冬至地球公转的角速度比夏至大，故 B正确； C．根据万有引力提供合外力，可得 夏至时地球离太阳远，r大，加速度小，故 C错误； D．地球绕太阳做椭圆运动，在不同轨道位置的线速度不同，从夏至开始经历，地球不是正好位于秋分，故 D错误。 故选B。 【变式训练1】（2025·江苏南通·二模）如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中在赤道平面内的一颗卫星，其对地张角θ=60°，其绕行周期为T1，Ⅱ为地球赤道上方的近地卫星（轨道半径近似等于地球半径）。求卫星Ⅱ的绕行周期T2。 【答案】 【详解】设地球半径为R，根据几何关系可得卫星I的轨道半径 根据开普勒第三定律，有 解得 【变式训练2】（2024·江苏扬州·二模）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨道如图所示，哈雷彗星最近出现在地球附近是1986年，预计下次将在2061年飞近地球．则哈雷彗星轨道的半长轴约为地球公转半径的（　　） A．8倍 B．18倍 C．28倍 D．38倍 【答案】B 【详解】设彗星的周期为，地球的公转周期为，根据题意有 根据开普勒第三定律可得 可得哈雷彗星轨道的半长轴与地球公转半径之比为 故选B。 考点二 万有引力定律及应用 知识点1 万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与　物体的质量m1和m2的乘积　成正比、与　它们之间距离r的二次方　成反比。 2.公式：F＝　G　，其中G叫作引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。 3.公式的适用条件：计算两个　质点　间的万有引力。 4.万有引力理论的主要成就 （1）发现未知天体。 （2）计算天体质量。 知识点2 万有引力定律的应用 1.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 （1）在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 （2）在两极上：G＝mg0。 （3）在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2.星体表面及上空的重力加速度（以地球为例） （1）地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝G，得g＝。 （2）地球上空的重力加速度g' 地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度g'：mg'＝，得g'＝。 知识点3 天体质量和密度的计算 一、利用天体表面重力加速度g和天体半径R计算 1.由G＝mg，得天体质量M＝。 2.天体密度ρ＝＝＝。 二、利用运行天体的轨道半径r和周期T计算 1.由G＝mr，得M＝。 2.若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 3.若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 考向1 万有引力的计算 例1 （2025·江苏常州·模拟预测）一颗小行星和地球绕太阳在同一平面内同向运行，地球公转圆轨道半径与该小行星椭圆轨道的半长轴大小相等，如图所示。图示时刻，太阳、地球和小行星恰好在同一直线上，且小行星位居地球外侧。则（　　） A．小行星绕太阳的公转周期小于1年 B．在轨道的交点处，小行星的加速度大于地球的加速度 C．图示时刻，太阳对小行星的万有引力等于对地球的万有引力 D．图示时刻，小行星运动的速度小于地球运动的速度 【答案】D 【详解】A．地球公转圆轨道半径与该小行星椭圆轨道的半长轴大小相等，根据开普勒第三定律，可知二者的周期相等，故A错误； B．根据牛顿第二定律，可知在轨道的交点处，小行星的加速度等于地球的加速度，故B错误； C．根据万有引力定律，小行星的质量一般远小于地球质量，小行星距太阳的距离大于地球的距离，故太阳对小行星的万有引力小于对地球的万有引力，故C错误； D．如图所示 虚拟一个圆轨道3，轨道半径等于此时小行星到太阳的距离，则地球的公转速度大于轨道3上某行星的速度。从此位置往后小行星做向心运动，则此时小行星的速度小于轨道3上行星的速度，而轨道3上行星的速度又小于地球的公转速度，所以此时小行星的公转速度小于地球的公转速度，故D正确。 故选D。 【变式训练1】（2025·江苏宿迁·三模）山西陶寺遗址考古发现，早在四千年前陶寺先民通过观象台夯土墙间的12道缝隙，观测日月星辰，划分了节气。地球绕太阳运行的轨道如图所示，则地球在夏至时（　　） A．加速度与立夏时的相同 B．动能与立夏时的相同 C．角速度与立夏时的相同 D．与太阳连线单位时间内扫过的面积与立夏时的相同 【答案】D 【详解】A．根据牛顿第二定律，有 解得 由图可知地球在夏至时与立夏时到太阳的距离不相等，所以加速度不相同，故A错误； B．根据开普勒第二定律可知地球由立夏到夏至速度逐渐减小，所以动能不相同，故B错误； CD．根据开普勒第二定律可知地球与太阳连线单位时间内扫过的面积相等，可知地球由立夏到夏至角速度逐渐减小，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练2】在空间站中，宇航员长期处于失重状态，为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环绕中心以角速度匀速旋转（未知），圆环半径为r，质量为m的宇航员站在旋转舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知空间站到地球表面的高度为h，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是（　　） A．宇航员站在旋转舱侧壁上，跟随圆环绕中心做圆周运动的向心力 B．宇航员站在旋转舱侧壁上，跟随圆环绕中心做圆周运动的向心力 C．圆环绕中心匀速旋转的角速度 D．圆环绕中心匀速旋转的角速度 【答案】C 【详解】宇航员绕圆环中心做圆周运动的向心力来源于支持力，可知 又由于该支持力与地球表面支持力大小相等，即 联立可得圆环绕中心匀速旋转的角速度 故选C。 考向2 万有引力与重力 例2（2024·江苏·模拟预测）帝企鹅是南极常见的一种动物，如图所示的是一只处在南极极点的帝企鹅。如果把地球看成一个均匀的球体，关于此帝企鹅与重力有关的问题，下列说法中正确的是（　　） A．帝企鹅受到的重力的方向一定指向地心 B．帝企鹅受到的重力的方向一定偏离地心 C．帝企鹅对地面的压力就是其受到的重力 D．帝企鹅受到的重力小于地球对它的吸引力 【答案】A 【详解】AB．重力的方向竖直向下，由于把地球看成一个均匀的球体，则帝企鹅受到的重力的方向一定指向地心，故A正确，B错误； C．帝企鹅对地面的压力的受力物体是地球，帝企鹅的重力的受力物体是企鹅，压力与重力作用在不同物体上，因此，不能够认为帝企鹅对地面的压力就是其受到的重力，故C错误； D．由于帝企鹅处在南极极点，帝企鹅相对于地心处于静止状态，并没有随地球自转，则帝企鹅受到的重力等于地球对它的吸引力，故D错误。 故选A。 总结提升 推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论 2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝G。 【变式训练1】（2025·江苏连云港·一模）2024年6月，嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样。采样的月壤质量为，测得其在月球表面的重力为。已知月球半径为，引力常量为。求： (1)月球表面的重力加速度； (2)月球的质量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）月壤质量为，测得其在月球表面的重力为，则有 解得 （2）在月球表面有 结合上述解得 【变式训练2】（2024·江苏南通·模拟预测）嫦娥六号探测器将于2024年6月登月。已知探测器在近月圆轨道运行速度大小为v，月球半径为R，万有引力常量为G，不考虑月球的自转。求： （1）月球质量 （2）月球表面重力加速度大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）探测器绕月球做圆周运动，万有引力定律及牛顿第二定律得 化简可得月球质量 （2）不考虑月球自转的影响，月球表面的物体受到的重力等于万有引力 将月球质量代入上式化简可得月球表面的重力加速度 考向3 利用万有引力求天体质量和密度 例3 （2024·江苏镇江·一模）在高空运行的静止卫星功能失效后，往往会被送到同步轨道上空几百公里处的“墓地轨道”，以免影响其它在轨卫星，节省轨道资源。2022年1月22日，我国实践21号卫星在地球同步轨道“捕获”已失效的北斗二号G2卫星后，成功将其送入“墓地轨道”。如图所示，已知同步轨道和“墓地轨道”的轨道半径分别为R1、R2，转移轨道与同步轨道、“墓地轨道”分别相切于P、Q点，地球自转周期为T0，万有引力常量为G。则（　　） A．由以上数据可求得地球的质量为 B．由以上数据可求得地球的质量为 C．北斗二号G2卫星沿转移轨道运行的周期为 D．北斗二号G2卫星沿转移轨道运行的周期为 【答案】C 【详解】AB．静止卫星的周期等于地球自转周期为，根据万有引力提供向心力可得 解得 故AB错误； CD．转移轨道的半长轴为 根据开普勒第三定律可得 解得 故C正确；D错误。 故选C。 总结提升 估算天体质量和密度应注意的问题 （1）利用万有引力提供天体做圆周运动所需的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。 （2）区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。 （3）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。 （4）注意黄金代换式GM＝gR2的应用。 【变式训练1】月球探测器登月前，从椭圆环月轨道转移至近月圆轨道。如图所示，探测器在椭圆轨道I上运动，运行周期为。在近月点P处减速，使探测器转移到近月圆轨道II上运动，运行周期为T。已知月球半径为R，万有引力常量为G，求： （1）月球的质量M； （2）椭圆轨道I上远月点Q距月球表面的高度h。 【答案】（1）；（2）h=2R 【详解】（1）设探测器质量为m，探测器做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 解得月球质量 （2）由题意，设椭圆轨道I的半长轴为a，则 2a=2R+h 根据开普勒第三定律得 解得 h=2R 【变式训练2】（2024·江苏南通·三模）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为、，且，距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方随r变化的关系如图所示。行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。 （1）求行星A、B的密度之比； （2）假设有相同的人形机器人在行星A、B表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球，在初速度相同的情况下，求铅球射程的比值。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设质量为m的卫星绕行星做圆周运动 整理得 由，结合图像得两行星的质量关系 密度 解得 （2）在每个行星表面 两行星表面的重力加速度之比 铅球做平抛运动，竖直方向 水平方向 解得 1. （2024·江苏·模拟预测）如图所示，地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星，哈雷彗星最近出现的时间是1986年。若哈雷彗星近日点与太阳中心的距离为r1，远日点与太阳中心的距离为r2，只考虑太阳对哈雷彗星的万有引力，则（　　） A．哈雷彗星在近日点与远日点的机械能不相等 B．哈雷彗星在近日点的速度比远日点的速度小 C．哈雷彗星在近日点与远日点的加速度大小之比为 D．哈雷彗星下次飞近地球约在2062年 【答案】D 【详解】A．哈雷彗星在近日点与远日点运行中，动能与势能相互转化，机械能守恒，故A错误； B．根据开普勒第二定律可知，哈雷彗星在近日点的速度比远日点的速度大，故B错误； C．在近日点时，由牛顿第二定律可得 在远日点时，由牛顿第二定律可得 联立解得 故C错误； D．由开普勒第三定律得 所以 即彗星下次飞近地球将在 故D正确。 故选D。 2. （2024·江苏徐州·三模）战国时期的《甘石星经》最早记载了部分恒星位置和金、木、水、火、土五颗行星“出没”的规律。现在我们知道（　　） A．恒星都是静止不动的 B．行星绕太阳做圆周运动 C．行星绕太阳运行的速率不变 D．各行星绕太阳运行的周期不同 【答案】D 【详解】A．恒星都是运动的。故A错误； B．根据开普勒第一定律可知行星绕太阳做椭圆运动。故B错误； C．根据开普勒第二定律可知行星绕太阳运行的速率与行星和太阳的距离有关。故C错误； D．根据开普勒第三定律可知，各行星绕太阳运行的周期不同。故D正确。 故选D。 3. （2023·江苏南通·模拟预测）神舟十四号成功发射后，与空间站天和核心舱成功对接，航天员陈东等顺利进入天和核心舱。已知地球半径为R，空间站在距离地面高度处做匀速圆周运动，静止卫星距离地面高度为空间站高度的90倍，地球自转周期为T。则空间站绕地运行周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设静止卫星距地面的高度为，空间站的周期为，则由开普勒第三定律有 可得 解得 故选A。 4. （2023·辽宁·一模）2021年2月10日，“天问一号”探测器成功进入环绕火星椭圆轨道，在椭圆轨道的近火点P（接近火星表面）制动后顺利进入近火轨道，Q点为近火轨道上的另一点，M点是椭圆轨道的远地点，椭圆轨道的半长轴等于圆形轨道的直径，如图所示，下列说法正确的是（    ） A．探测器在M点的速度最大 B．探测器在Q点与椭圆轨道上的P点的加速度大小不相等 C．探测器在椭圆轨道上P点与M点的速度之比为 D．探测器在椭圆轨道与圆轨道上的周期之比为 【答案】C 【详解】A．根据开普勒第二定律远地点M点速度最小，故A错误； B．由万有引力知 解得 可知探测器在Q点与椭圆轨道上的P点的加速度大小相等，故B错误； C．设火星的半径为R，根据开普勒第二定律 解得 故C正确； D．由图知椭圆的半长轴为，根据开普勒第三定律 故 故D错误。 故选C。 5. （2025·江苏扬州·模拟预测）木星是太阳系中最大的行星，它有众多卫星。观察测出：木星绕太阳做圆周运动的半径为r1、 周期为T1；木星的某一卫星绕木星做圆周运动的半径为r2、 周期为。已知万有引力常量为G，则根据题中给定条件（　　） A．能求出木星的密度 B．能求出木星与卫星间的万有引力 C．能求出太阳与木星间的万有引力 D．可以断定 【答案】C 【详解】A．对于木星的某一卫星绕木星做圆周运动，根据万有引力提供向心力有 可得 但木星的半径未知，故无法计算木星的体积，根据 可知，无法计算木星的密度，故A错误； B．根据木星的某一卫星绕木星做圆周运动的半径和周期可求出卫星的向心加速度 木星与卫星间的万有引力 但卫星的质量未知，故无法计算出木星与卫星间的万有引力，故B错误； C．根据木星绕太阳做匀速圆周运动，可求得木星的向心加速度 在忽略木星卫星影响的情况下，该力约等于太阳与木星间的万有引力，故C正确； D．木星绕太阳圆周运动，卫星绕木星圆周运动，开普勒第三定律不适用，即，故D错误。 故选C。 6. （2023·河北·高考真题）我国自古就有“昼涨为潮，夜涨为汐”之说，潮汐是月球和太阳对海水的引力变化产生的周期性涨落现象，常用引潮力来解释。月球对海水的引潮力大小与月球质量成正比、与月地距离的3次方成反比，方向如图1，随着地球自转，引潮力的变化导致了海水每天2次的潮涨潮落。太阳对海水的引潮力与月球类似，但大小约为月球引潮力的0.45倍。每月2次大潮（引潮力）最大和2次小潮（引潮力最小）是太阳与月球引潮力共同作用的结果，结合图2，下列说法正确的是（    ） A．月球在位置1时会出现大潮 B．月球在位置2时会出现大潮 C．涨潮总出现在白天，退潮总出现在夜晚 D．月球引潮力和太阳引潮力的合力一定大于月球引潮力 【答案】A 【详解】AB．太阳、月球、地球三者在同一条直线上，太阳和月球的引潮力叠加在一起，潮汐现象最明显，称为大潮，月地连线与日地连线互相垂直，太阳引潮力就会削弱月球的引潮力，形成小潮，如图2所示得月球在位置1时会出现大潮，故A正确，B错误； C．每一昼夜海水有两次上涨和两次退落，人们把每次在白天出现的海水上涨叫做“潮”，把夜晚出现的海水上涨叫做“汐”，合称潮汐，故C错误； D．月地连线与日地连线互相垂直位置（2位置）时月球引潮力和太阳引潮力的合力等于月球引潮力减太阳引潮力小于月球引潮力，故D错误。 故选A。 7. （2023·江苏南通·模拟预测）如图所示，水星、地球绕太阳的公转可以看成同一平面内的匀速圆周运动。已知太阳的半径为R，地球—水星连线与地球—太阳连线夹角的最大值为θ，地球的轨道半径为L，地球的公转周期为T，万有引力常量为G。求： （1）太阳的密度； （2）水星的公转周期。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据题意，由万有引力提供向心力有 解得 又有 解得太阳的密度 （2）根据题意可知，由几何关系可得，水星的轨道半径为 由开普勒第三定律有 解得 8. （2023·江苏·模拟预测）如图所示为三颗卫星绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动的示意图，其中是地球静止卫星，a在半径为r的轨道上，此时恰好相距最近，已知地球质量为M，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，则（　　） A．卫星与地心的连线单位时间扫过的面积相等 B．卫星c加速一段时间后就可能追上卫星b C．到卫星a和b下一次相距最近，还需经过时间 D．到卫星a和b下一次相距最近，还需经过时间 【答案】C 【详解】A．卫星为不同轨道的卫星，由题给条件无法比较它们与地心的连线单位时间扫过的面积是否相等，故A错误； B．卫星c加速后，将脱离原轨道做离心运动，不可能追上同轨道的卫星b，故B错误； CD．卫星a做圆周运动，由万有引力提供向心力有 可得 b为地球静止卫星，其角速度与地球自转的角速度相同，则卫星连续两次相距最近还需经过的时间t满足 解得 故C正确，D错误。 故选C。 9. （2022·江苏苏州·模拟预测）中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料（如图所示）计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式错误的是（引力常量G已知，忽略火星自转的影响）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设近地卫星的质量为，火星的质量为，对近地卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有 可得 可得火星的密度为 将代入上式可得 又火星对近地卫星的万有引力近似等于近地卫星的重力，则有 解得 因此火星的密度为 ACD正确，B错误。 故错误的选B。 10. （21-22高一下·浙江宁波·期末）2022年3月30日上午10时29分，我国在酒泉卫星发射中心用长征十一号运载火箭成功将天平二号A、B、C卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，若已知A、B、C卫星绕地球做近似圆周运动，高地高度分别是、和hc，且，环绕周期分别是、和，地球表面重力加速度为g，则以下说法正确的是（　　） A．天平二号A星可能在地表上空沿某一经度线做匀速圆周运动 B．根据开普勒第三定律有 C．根据题中所给信息，可计算地球的质量 D．根据题中所给信息，无法算地球的密度 【答案】C 【详解】A．由于地球在自转，所以地球卫星不可能地表上空沿某一经度线做匀速圆周运动，故A错误； B．根据开普勒第三定律有 ① 故B错误； CD．根据 结合 得 由公式①可以用题干中的已知量（其中两个卫星的高度和周期）表示出地球半径，所以可以求出地球的质量和密度，故C正确，D错误。 故选C。 11. （2021·江苏·模拟预测）2021年2月10日，我国“天问一号”火星探测器顺利进入环火轨道。已知“天问一号”绕火星做匀速圆周运动的周期为T，距火星表面的高度为h，火星的半径为R，引力常量为G。求： （1）火星的质量M； （2）火星表面的重力加速度的大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】(1)对探测器，根据万有引力提供向心力 解得 (2)在火星表面，万有引力等于重力 解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$